数学习题八级上天府前沿

1、P49天府前沿14、如图，在平行四边形 ABCD中，点E在AD上，以BE为折痕，将三角形 ABE向上翻 折，点A正好落在CD上的点F处，假设三角形FDE的周长为8，三角形FCB的周长为22, 求FC的长。答：因为折叠，EF=AE,BF=AB所以 DF+FC=DC=AB=FB(1),DE+EF=DE+EA=DA=CB(2)(1)+(2)得 DF+DE+EF=FB+CB-FCDF+DE+EF=8,FB+CB-FC=(FB+FC+CB)-2FC=22所以-2FC=8-22FC=7P49页15、如图，在平行四边形 ABCD中 AB=X分之一 BC,延长AB至F,使BF=AB 再延长BA至E,使AE=B

2、A请你判断EC与 FD的位置关系，并说明理由。答：EC交AD于M,FD交BC于N,AE=AB=BF=CD,内错角相等，据角边角定理, 三角形AEM也三角形DMC三角形BFN也三角形 DCN 二AM=DM BN=NC M,N分别为AB,BC的中点, 连接MN AB=1/2BC二 M=DC=NC=MN四边形MNCD为棱形，MC,ND为对角线，MC垂直ND 所以EC垂直FDP53页 13、如图，在梯形 ABCD中, AD/BC,AD=6,BC=16,E是BC的中点，点P以每秒1 个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长 度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动

3、时，点Q也随之停止运 动，当运动时间为丨秒时，以点P、Q E、D为顶点的四边形是平行四边形。答：AP=t，PD=6-tCQ=2t1. EQ=8-2tPD=EQ6-t=8-2tt=2s2. EQ=2t-86-t=2t-83t=14t=14/3 s v 14/3 v 18/3=6，二此时 P 未到 D 点，成立当t=2秒时，PDQE是平行四边形当t=14/3秒时，PDEQ1平行四边形14、如图，三角形ABC是等边三角形，D E分别在边BC AC上，且CD=CE 连接DE并延长至点F,使EF=AE连接AF、BE和CF 1求证三角形BDE全 等于三角形FEC判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由

4、1三角形 ABD也三角形 ACD也三角形AFD2四边形ABDF是平行四边形因为CD=CE，角ACB=60，所以三角形CDE为全等三角形。因为EF=AE，角AEF等于60度，所以三角形AEF为全等三角形，AE=AC-CE,BD=BC-DC,所以 BD=AF,在三角形 BDE 和三角形 FCE 中，角 BDE=180-60=120,角 CEF=180-60=120, DE=CE,BD=AF=EF,所以三角形 BDE和三角形FCE全等。因三角形ABC是等边三角形，角CBA等于60度；又角CDF等于60度，所以 DF/AB,又DF=AE，三角形DCE是等边三角形，所以EF+DE=AE+EC=AC=AB

5、 ， 即DF=AB,故四边形ABDF是平行四边形。15、请用两种方法解答：如图：CD为直角三角形ABC斜边AB上的高，AE平 分角BAC，并交CD于点E，过E点作EF/AB,并交BC于F点，求证：CE=BF 。方法一：证：过E作EG平行BC交AB于点G 又因为EF平行于AB，所以有EFBG为平行四边形，即有：FB=EG 再因AE平分角BAC，所以：角CAE=角BAE因为在直角三角形 ABC中，角BCA=90度，CD垂直于AB易得：角ACD=角B=角EGA因为AE是公共边所以有三角形CAE全等于三角形GAE所以有：CE=EG=BF方法二：过E作AC的垂直线交AC于M,过F作AB的垂线交AB于G,

6、DE=FG,因为AE平分角A,可证三角形ADE和三角形AEM全等，即ME=ED=FG 在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中，角B加角BCE=90,角ACE加角BCE=90, 所以，角B等于角ACE,在Rt三角形BFG和Rt三角形CEM中,ME=FG,所以 Rt三角形BFG和Rt三角形CEM全等。P5514、如下列图，在梯形 ABCD中，AD/BC,AB=AD,角BAD的平分线AE交BC于 点E，连结DE，求证四边形ABED是菱形；假设角ABC=60度，CE=2BE, 试判断三角形CDE的形状并说明理由。AD答：因为 AD/BC.AB=AD 角 BAD 的平分线 AE 交 BC 于点 E所以角

7、DAE=角AEB=角BAE，所以BE=AB=AD，所以四边形ABED是菱形 所以角DEC=角B=60度，又因为CE=2BE=2DE ,取CE重点F，连结DF ,那么EF=ED所以 CDF 是等边三角形，所以 DF=CF ，一个外角等于两个内角之和，所以角C=角DFE的一半=30度所以角 CDE=90 度，所以 CDE 是直角三角形15 、如图， AD 是 Rt 三角形 ABC 斜边 BC 上的高，角 B 的平分线交 AD 于点 E， 交AC于点G,(1)比拟AE、AG的大小，并说明理由；作GF垂直BC于点F， 连结EF，判断四边形AEFG的形状，并说明理由。3假设AD=4,BD=3,求 AE

8、的长。1.vZ C+DAC=90，/ BAD+ / DAC=90 ，二/ C= / BAD，丁 BE平分/ ABC，二/ ABE= / CBE，丁/ AGE= / BAD+ / ABE，/AEG= / C+Z CBE，二/ AGE= / AEG，二 AG=AE。2AG=GF(角平分线上的点到两边的距离相等BG=BG, 所以 ABG FBG, 故，Z AGB= Z FGB又 EG=EG AG=GF 所以 AEG FEG ,故 AE=EF,即 AG=GF= AE=EF 所以四边形 AEFG 的形状是菱形二四边形AEFG是菱形33 AD=4， BD=3 那么 AB=5，根据角平分线定理： AE/ED

9、=AB/BD 即 AE/(AD-AE)=AB/BDAE/(3-AE)=5/4解得： AE=5/3P57页：第十二题：如图8,在长方形ABCDK AB=3CM,AD=4CM, 过对角线BD的中点0作BD的垂直平分线EF，分别交AD BC于点 E、F，那么AE的长为：解：设 AE=x ，连接 BE，v OE 垂直平分 BD，二 EB=ED=4-x, 在直角三角形 ABE 中，BE2 -AE2 =AB2，即4-x2-x2 =32， 解得： x=7/8，答： AE=7/8P57页第13题：如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱 形，依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下 去，第一

10、个矩形的面积为一，那么第 n个矩形的面积为：个矩形的面积为snsn = 1/2A(2 n-2)易得第二个矩形的周长为1/2，第三个矩形的周长为1/2八2，依此类 推，第n个矩形的周长为1/2八n-1 ,面积为二1/25-1*1/2八n-1 =1/2八(2 n-2)P57页14题：如图，在三角形ABC中，点0是AC边上端点除外 的一个动点，过点0作直线MV/BC,设MN交角BCA的平分线于点E, 交角BCA的外角平分线于点F,连结AE AF，那么当点0运动到何处当点0运动到AC的中点或OA=OC时，四边形AECF是矩形.由 于CE平分/ BCA，那么有/ 1 = / 2,而MN / BC,利用平

11、行线的性 质有/ 1二/3,等量代换有/ 2二/3,于OE=OC，同理OC=OF，于是 OE=OF,而OA=OC,那么可证四边形AECF是平行四边形，又CE、CF分别是 / BCA及其外角的角平分线，易证/ ECF是90°从而可证四边形AECF是矩形. 解答：解：当点O运动到AC的中点或OA=OC时，四边形AECF是矩形.证 明： CE 平分/ BCA ,/ 仁/2,又t MN / BC,：/ 仁/3,二/ 3=72, EO=CO，同理，FO=CO,. EO=OF, 而 OA=OCAECF是平行四边形，又CE、CF分别是7 BCA及其外角的角平分线，7 ECF 是 90°,

12、P57页：15题。在平分四边 ABCD中，角BAD的平分线交直线BC于点E,交 直线DC于点F° 1在图1中证明CE=CF;2假设角ABC=90度，G是EF的中点如图2，直接写出角BDG的度数；3假设角ABC=120度，FG/CE, FG=CE，分别连接DB、DG如图3，求 角BDG的度数。解：1证明：t AF平分/ BAD二/BAF玄DAF.v四边形ABCD是平行四边形, AD/ BC,AB/ CD/. / DAF2 CEF,Z BAFW F. /-Z CEF2 F. / CE=Cf(2)连 BG、CG，t BE=AB=DC，EG=CG，Z BEG=135 =Z DCG，BEG D

13、CG，BG=DG ,/Z BGE= Z DGC ,/Z BGD= Z EGC=90BDG是等腰直角三角形，/Z BDG=45 °【曰宁分别连接 GB,GE,GC如图 4t AB/ DC,Z ABC=120 ,/Z ECFZ ABC=120 ,t FG/ CE且FG=CE/四边形CEGF是平行四边形.由1得CE=CF/.平行四边形CEGI是菱形./ EG=EC/GCFZ GCE=1/2/ ECF=60ECG是等边三角形./ EG=CGDZ GECZ GCF=60 . /Z GECZ GCF/.Z BEGZ DCG由 AD/ BC 及AF平分Z BAD可得Z BAEZ AEB./ AB=

14、BE在平行四边形 ABC冲， AB=DC. BE=DC由得 BEGA DCG/-BG=DG,1=Z 2. /Z BGDZ1+Z 3=Z 2+Z 3=Z EGC=60 . /ZB DG=(180 - Z BGD)/2=60°P59页：13题。长为1,宽为a的矩形纸片a大于二分之一小于1，如图那 样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形称第一次操作；再把剩下的 矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时的矩形宽幅的正方形 称第二次操 作；如此反复操作下去，假设在第n次操作后，剩余的矩形为正方形，那么操作 终止，当n=3时，a的值为？1- 第一次換化第二次操作1/2 v a v 1时，第一

15、次操作后剩下的矩形的长为a，宽为1-a，所以第二次操作时正方形的边长为1-a，第二次操作以后剩下的矩形的两边分别为1-a，2a-1 .此时，分两种情况： 如果 1-a > 2a-1，即 a v 2/3，那么第三次操作时正方形的边长为2a-1 .那么 2a-1= 1-a- 2a-1，解得 a=3/5; 如果1-av 2a-1，即a>2/3,那么第三次操作时正方形的边长为1-a.那么 1-a= 2a-1 : - 1-a，解得 a=3/4故答案为3/5 ;或3/4.P59页第14题：如图，点G是正方形ABCD寸角线CA的延长线上任意一点， 以线段AG为边作一个正方形AEFG线段EB和GD

16、相交点H.(1)求证：EB=GD;(2) 判断EB与GD的位置关系，并说明理由；(3)假设AB=2,AG=/2,求EB的长。g1)因为正方形 AEFG中，AE垂直于AG，那么<EAF=90o -45o= 45o 在三角形 AEB 和三角形 AGD 中，AB=AD , <EAG=<GAD=45o , AE=AG 所以三角形AEB和三角形AGD全等，所以BE=DG。2EB 丄GD，连接 BD，由1得/ ADG= / ABE 那么在 BDH 中，角 ABH+ 角HBD+角BDH=90度，角GDA=角ABH，所以，角HBD+角BDH=90度，所 以，DHB=90所以EB丄GD ;3A

17、B=2,AG=/2设BD与C交0点，在RT三角形ABD中，BDA2=ABA2+ADA2 =V(4+4)=2 V2,在 Rt 三角形 GODh GDA2=(AG+AO)A2-DOA2=&2)八2- V2八2=6 GD= V6,GD=BE所以 BE=/6。P6 1页，第15题：如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC,AD=AB=CD=2,角C=60度，M是BC的中点，1求证三角形MDC!等边三角形；将厶MD(绕点M旋转，当MD艮卩MD丨与AB交于一点E, MC即卩MC同时与 AD交于一点F时，点E, F和点A构成AAEF试探究 AEF的周长是否存在最小 值？如果不存在，请说明理由；如果存在，

18、请计算出 AEF周长的最小值.1过点D作DP丄BC于点P，过点A作AQ丄BC于点Q，得到CP=BQ= 1/2AB , CP+BQ=AB=1，得出 BC=2CD，由点 M 是 BC 的中点，推出 CM=CD，由/ C=60° , 根据等边三角形的判定即可得到答案；2A AEF的周长存在最小值，理由是连接 AM，由ABMD是菱形，得出MAB , MAD和厶MC D是等边三角形，推出/ BME= / AMF,证出 BME也 AMF ASA，得出BE=AF , ME=MF，推出 EMF是等边三角形，根据 MF 的最小值为点M到AD的距离V 3,即EF的最小值是V 3,即可求出厶AEF的 周长.解答"仑 时PC1证明：过点D作DPI BC于点P,过点A作AQL BC于点Q,即AQ/ DP, v AD/ BC,二 ADPQ1 平行四边形，二 AD=QP=AB=CD/Z C=Z B=60° ,二/ BAQM CDP=30，二 CP=BQ=1/2AB=,1 即 BC=1+1+2=4 v CD=2 二 BC=2CD v 点 M是 BC 的中点，BC=2CM二CD=CM vZ C=60，二 MD是等边三角形.2解： AEF的周长存在最小值，理由如下：连接 AM由