挑战中考数学压轴题——平行四边形存在性问题

1、课题内容平行四边形存在性问题专题攻略一、解平行四边形的存在性问题一般分三个步骤第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算二、难点在于寻找分类标准，寻找恰当的分类标准，可以使得解的个数不重复不遗漏，也可以使 计算又准又快三、 如果三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点以三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点.四、如果两个疋点，一般是把确疋的一条线段按照边或对角线分为两种情况 灵活运用向量和中心对称的性质，可以使得解题简便 .典型例题例 1如图，抛物线：y=!_x2-x-丄与x轴交于A、BA在B左侧,A- 1, 0、B3, 0,2 2顶点为

2、C 1,- 21求过A、B、C三点的圆的半径.2在抛物线上找点P,在y轴上找点E,使以A、B、P、E为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E的坐标.、E2-4 - 一_ =一_，或 yJ X422 2 21 2 93_3y= X - 2-=-,y 2 2 2综上所述，点P、E的坐标为：Pi4,倉、Ei0,倉或P2- 4,算、E20,马丨或P32,点P的纵坐标为:-：,点 P、E 的坐标为 P32,-亍、E30,21,1： A- 1, 0、B 3, 0、C 1,- 2，二 AB=3 - - 1=4,AC= ： 1 - I , |=2 . ：:, BC= ：1-|_：=鳥、E3°，汀 ：,

3、 AB2=16, AC2+BC2=8+8=16, AB2=AC2+BC2,.A ABC是直角三角形，AB是直径，故半径为2;2当AB是平行四边形的边时，PE=AB=4，且点P、E的纵坐标相等,点P的横坐标为4或-4，尸一点P、E的坐标为Pi :4,或 P2- 4,、Ei0,I如图，当AB是平行四边形的对角线时，PE平分AB , PE与x轴的交点坐标D 1, 0,过点P作PF丄AB，贝U OD=FD，点F的坐标为2, 0，点P的横坐标为2, 例2. 将抛物线沿C1： y=-贡X2心沿x轴翻折，得拋物线C2,如下列图.1请直接写出拋物线C2的表达式.2现将拋物线C1向左平移m个单位长度，平移后得到

4、的新抛物线的顶点为 M ,与x轴的交点 从左到右依次为A, B;将抛物线C2向右也平移m个单位长度，平移后得到的新抛物线的顶点为 N，与x轴交点从左到右依次为D, E. 当B，D是线段AE的三等分点时，求m的值； 在平移过程中，是否存在以点 A，N，E，M为顶点的四边形是矩形的情形？假设存在，请求出 此时m的值；假设不存在，请说明理由.V* 1V人°人，°JC八备月方法一：1根据翻折的性质可求拋物线C2的表达式；2求出拋物线C1与x轴的两个交点坐标，分当 AD二丄AE时，当BD二二AE时两种情况讨论33求解；存在理由：连接AN , NE, EM , MA 根据矩形的判定即可

5、得出. 方法二：1求出翻折后抛物线顶点坐标，并求出抛物线表达式.2抛物线cl平移m个单位长度后，求出点 A , B, D , E的坐标，并分类讨论点B在点D 左侧和右侧的两种情况，进而求出 m的值.以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形，贝U AN丄EN，利用黄金法那么二，可求出 m的值.【解答】方法一： 解：1y= x2-:；.2令-一?2+：'=0, 得 X1= - 1 , X2=1那么拋物线C1与X轴的两个交点坐标为-1, 0， 1, 0. A- 1 - m, 0，B 1 - m, 0.同理可得：D- 1+m, 0，E 1+m, 0.当 AD=-AE 时，-1+m- - 1 -

6、m=丄1+m- - 1 - m,当 BD=AE 时，1 - m 丨-1+mJ 1+m- - 1 - m，二 m=2.故当B, D是线段AE的三等分点时，m冷或2.存在.理由：连接AN , NE, EM , MA .依题意可得：M- m，丁引，Nm,-丁5.即M , N关于原点O对称，二OM=ON . A- 1 - m, 0，E 1+m, 0，二 A , E 关于原点 O 对称，二 OA=OE四边形ANEM为平行四边形.AM 2= m - 1+m2+2=4 , ME2= 1+m+m2+ - ；2=4m2+4m+4 ,AE2= 1+m+1+m2=4m2+8m+4 ,假设 AM 2+ME2=AE2

7、,贝U 4+4m2+4m+4=4m2+8m+4 ,二 m=1 , 此时 AME是直角三角形,且/ AME=90 .当m=1时，以点A , N , E , M为顶点的四边形是矩形.方法二：1略,2抛物线 Ci : y= - :;x2+ :7;,与x轴的两个交点为-1, 0， 1, 0，顶点为0,航,抛物线C2： y=-品X2-頁，与x轴的两个交点也为-1, 0， 1, 0,顶点为0 ,-逅,抛物线Ci向左平移m个单位长 度后,顶点M的坐标为-m,与x轴的两个交点为A - 1 - m , 0、B : 1 - m , 0, AB=2 , 抛物线C2向右平移m个单位长度后，顶点N的坐标为m, - U,

8、与x轴的两个交点为D- 1+m , 0、E 1+m , 0，二 AE= 1+m- 1 - m=2 : 1+m, B、D 是线段 AE 的三等分点, 有两种情况.1、B 在 D 的左侧,ABAE=2 , AE=6 ,3 2 1+m=6 , m=2 ,2、B 在 D 的右侧,AB=lAE=2 , AE=3 ,3 2 1+m3假设A、N、E、M为顶点的四边形是矩形,I A- 1 - m , 0, E 1+m , 0, Nm ,-们、M-m , V3,点A , E关于原点对称，点N , M关于原点对称， A、N、E、M为顶点的四边形是平行四边形，那么 AN 丄 EN , Kan XKen= - 1 ,

9、I A- 1 - m , 0, E 1+m , 0, Nm ,-.；,.Q+血汛_W1=- 1 1 m 1+m-IB m=1.FfVAVA强化训练1 如图，抛物线y=-§x2+bx+c与y轴交于点A0, 1，过点A的直线与抛物线交于另一点 B43,色，过点B作BC丄x轴，垂足为C点P是x轴正半轴上的一动点，过点 P作PN丄x轴, 2交直线AB于点M，交抛物线于点N，设OP的长度为m .1求抛物线的解析式；2当点P在线段OC上不与点O、C重合时，试用含m的代数式表示线段PM的长度;3连结CM，BN，当m为何值时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？解：1v抛物线y=- ； x2

10、+bx+c经过A 0,1丨和点B 3,抛物线的解析式为y= - §x2+工!x+1 ；442设直线AB的解析式为y=kx+bk0 , A0, 1，B3 , 0,，直线AB的解析式为y=x+1 , PN丄x轴,交直线AB于点M,交抛物线于点N , OP=m , P m , 0 , M m ,丄m+1, PMm+1 ；3由题意可得:m+1, MN / BC ,当 MN=BC 时,四边形BCMN为平行四边形,1S4当点P在线段OC上时,MN= -f又；BC=；,解得 m1=1 , m2=2；-m24当点P在线段OC的延长线上时,MN= ： m - 2Tm解得mi=15：T不合题意，舍去，m

11、2= 一,综上所述，当m的值为1或2或时，以B、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形.2.如图，二次函数的图象 M经过A- 1, 0，B4, 0，C2,- 6三点.1求该二次函数的解析式；2点G是线段AC上的动点点G与线段AC的端点不重合，假设 ABG与厶ABC相似， 求点G的坐标；3设图象M的对称轴为I，点Dm，n- 1vmv2是图象M上一动点，当 ACD的面积为丄L时，点D关于I的对称点为E，能否在图象M和I上分别找到点P、Q，使得以点D、E、 8P、Q为顶点的四边形为平行四边形？假设能，求出点 P的坐标；假设不能，请说明理由."* /1【解答】解：1V二次函数的图象 M经过A-

12、 1, 0，B :4, 0两点, 可设二次函数的解析式为y=ax+1x-4.二次函数的图象 M经过C2,- 6点， - 6=a2+12 -4，解得 a=1.c坐标代入可得匸-1I -6=21s=-2t=-2二次函数的解析式为y=x+1x- 4，即y=x2- 3x - 4.2设直线AC的解析式为y=sx+t，把A、线段AC的解析式为y=- 2x - 2，设点G的坐标为k，- 2k - 2. G与C点不重合， ABG与厶ABC相似只有 AGBsA ABC 一种情况. 一亠AB=5，ac=J2_t乎+_卜02=3逅，AG咄虹+i冬边k-2 乂刊乌 Dm，n 1 v mv 2， H m，- 2m -

13、2. v 点 Dm， n在图象 M 上, Dm, m2 - 3m - 4.27 ACD的面积为,k+“，伍'ST1 "一拓， K+1啬 k=|或k= -f舍去，点G的坐标为|，-号.3能.理由如下:如图，过D点作x轴的垂线交AC于点H，!厶.1 1 - 2m- 2- m2 - 3m-42 D丄-里.24m+1+2- m=，即卩 4m2 4m+1=0，解得 mSy=x2 - 3x - 4=x_ 二图象M的对称轴I为x=.2 DE丄-二=2,-假设以点D、E、P、Q为顶点的四边形为平行四边形,当DE为边时，那么有PQ/ DE且PQ=DE=2.点P的横坐标为 二+2=上或乜-2=-

14、丄2点D关于I的对称点为E,. E2 2有两种情况:12点P的纵坐标为丄-二2=2点P的坐标为丄，-寸当DE为对角线时，那么可知P点为抛物线的顶点，即或；综上可知存在满足条件的P点，其坐标为，专或诗4-却或寻，3. 直线y=kx+bk工0过点F 0, 1，与抛物线y=1x2相交于B、C两点.1如图1,当点C的横坐标为1时，求直线BC的解析式;2在1的条件下，点M是直线BC上一动点，过点M作y轴的平行线，与抛物线交于点D，是否存在这样的点M，使得以M、D、0、F为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，求出 点M的坐标；假设不存在，请说明理由；3如图2,设Bm. nmv0，过点E0.- 1的直线I

15、/ x轴，BR丄I于R，CS丄l于S， 连接FR、FS.试判断 RFS的形状，并说明理由.解：1因为点C在抛物线上，所以C 1,4又直线BC过C、F两点，故得方程组:ipblf, 3< 1解之，得hl所以直线BC的解析式为：y= - - x+1 ;42要使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形，那么 -Jlx+1，贝U D :x, 2x2，t MD / y 轴，44x2|=1,MD=OF，如图1所示,设 Mx, MD= -2 x+1 -x2,当x+1 -141由MD=OF，可得|-+1 -寺x2=1 时,解得xi=0舍或xi= - 3,所以M当7x+1 -所以M何，空叵或皿x=-3&

16、#177;V411 2_3+V 412 ，17-3 V418,-3,?,-x2, =- 1时，解得,综上所述，存在这样的点 M，使以M、D、O、F为顶点的四边形为平行四边形, -3+何 17-312 ，M点坐标为-3,L34或土姮，订巧何或；3过点F作FT丄BR于点T,如图2所示，点Bm, n在抛物线上，二m2=4n,在Rt BTF中,BF=Jb 乎+TF 2=寸(“-1 )企1 ) J4n=4y， n> 0,二 BF=n+1,又t BR=n+1，二 BF=BR . a/ BRF= / BFR，又t BR 丄 l, EF 丄 l, BR/ ef，a/ Brf= / RFE，-/ RFE=

17、/Bfr，同理可得/ EFS=Z CFS-/RFS=t / Bfc=90 , RFS是直角三角形.Yih?八E124. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax+12- 3与x轴交于A, B两点点A在点 B的左侧，与y轴交于点C °，-号，顶点为D，对称轴与x轴交于点H，过点H的直线I交 抛物线于P, Q两点，点Q在y轴的右侧.1求a的值及点A，B的坐标；2当直线I将四边形ABCD分为面积比为3: 7的两局部时，求直线I的函数表达式；3当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，那么以DP为对角线的四边 形DMPN能否为菱形？假设能，求出点 N的坐标；假设不能，请说

18、明理由.解：1v抛物线与y轴交于点C0,-：-.3a_ 3=-,解得：ax+1 2-3r当 y=0 时，有丄x+12 - 3=0,二 X1=2, X2=- 4,二 A- 4, 0，B2, 0.32： A- 4, 0，B2, 0，C0,，D- 1，- 3 S四边形1abcd=Sa adh +S 梯形 ocdh+Sa boc=一 X3 >3+ 213+3>丄 X2 X=10.23_2从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况:当直线l边AD相交与点M1时，那么Sg亍X1O=3, 1 X3X- y2=3-yt = - 2,点 M1- 2, - 2，过点 H - 1, 0和

19、 M1- 2, - 2的直线 l 的解析式为 y=2x+2.当直线l边BC相交与点M2时，同理可得点M2丄，-2，过点H- 1, 0和M2丄，-2的直线I的解析式为y=-石.综上所述：直线l的函数表达式为y=2x+2或y=-3设Pxi, yi、Qx2, y2且过点H- 1, 0的直线PQ的解析式为y=kx+b,- k+b=0,.°. b=k,.°. y=kx+k .萨二Its斗kS Y-1-3. 2-kx- k=0,. X1+X2=-2+3k, y1+y2=kx1+k+kx2+k=3k ,J点M是线段PQ的中点,由中点坐标公式的点 M-1,k2.假设存在这样的N点如图,直线

20、DN / PQ,设直线DN的解析式为y=kx+k - 3：，解得:3xi=- 1, X2=3k- 1,A N3k - 1, 3k2- 3四边形 DMPN 是菱形， DN=DM , : 3k2+3k22三2+整理得：3k4- k2- 4=0,v k2+1>0,二 3k2- 4=0,解得k=±3， kv 0,二 k=-耳，二 P- 33 - 1, 6，M-西-1 , 2，N-朋-1 , 1 PM=DN=2 . , PM / DN, 四边形DMPN是平行四边形,方法一:解:"由直线尸=X+1可知A0, 1B-3,，又点-1, 4经过二次函数,根据题意得:C=159a-3l)

21、+c-解得:57b=_c=.lX+1 ；,那么二次函数的解析式是：y=1742设 Nx,- ；X2-x+14那么MX,-h+1，pX,0.1 - MN=PN PM= =x2 X2X=那么当X= - ：_弋时，MN的最大值为右;3连接MC、BN、BM与NC互相垂直平分,即四边形BCMN是菱形，那么MN=BC，且BC=MC，即-上42厂X215TX=-，且-丄 x+12+ x+3解 x2+3x+2=0,故当N- 1,得：x= 1或x= 2舍去.4时，BM和NC互相垂直平分.方法二:1略.当t=，二 M t,1,二 MN=5 2 154t盲寸，MN有最大值，MN=3假设BM与NC相互垂直平分，那么四边形 BCMN为菱形. NC 丄 BM 且 MN=BC= ,即 t1= 1, t2= 2,4-0 t1