同济第3版-高数-(53) 第三节 定积分换元法和分部积分法

1、 在在 f( x )、g( x )原函数存在的条件下，不定积分有原函数存在的条件下，不定积分有分项积分法则分项积分法则 f( x ) g( x )d x = f( x )d x g( x )d x . . 若若 f( x )、g( x )在区间在区间 a , ,b 上的定积分存在，则上的定积分存在，则有定积分性质有定积分性质 因此不定积分分项积分法则可直接转换为定积分的因此不定积分分项积分法则可直接转换为定积分的分项积分法则。分项积分法则。 dddbbbaaaxfxgxfgxxxx. 若若 f( x )有原函数有原函数 F( x )， ( x )可微，则有不定积可微，则有不定积分凑微分法则分凑

2、微分法则 f ( x ) ( x )d x = f ( x )d ( x )= d F ( x )= F ( x )+ C . . 由牛顿由牛顿 莱布尼兹公式，这一法则也可转换为定莱布尼兹公式，这一法则也可转换为定积分的凑微分法则，即有积分的凑微分法则，即有 bbaafxfxxxxx dd d.bbaafFxxx 引例引例：计算定积分计算定积分 被积函数为无理式，从不定积分计算考虑，宜被积函数为无理式，从不定积分计算考虑，宜采用换元法将其化为有理式积分。采用换元法将其化为有理式积分。 对此简单无理式的情形，宜考虑作代换：对此简单无理式的情形，宜考虑作代换： ，即即 x = ( t )= t 2

3、 - -1， 32 0d1xxx. 1txx ，即，即 x = ( t )= t 2 - -1，d x = 2t dt，于是于是 从而由牛顿莱布尼兹公式有从而由牛顿莱布尼兹公式有 1tx令令: :222421d2 d2d211xtxttttttx 5312253CtCttt 153 12211153 txxCxxx . . 32 0d1xxxxxx 353 0761221111553. 不定积分计算目的在于求原函数，不定积分计算目的在于求原函数，当积分变量改当积分变量改变后，原函数形式也相应发生改变变后，原函数形式也相应发生改变。为求得对应于给。为求得对应于给定积分变量的原函数形式，用第二换元

4、法求不定积分定积分变量的原函数形式，用第二换元法求不定积分需作原变量回代，而原变量回代涉及代换函数需作原变量回代，而原变量回代涉及代换函数 x = ( t )的反函数计算，故第二换元法一般计算比较繁杂。的反函数计算，故第二换元法一般计算比较繁杂。 定积分计算的目的在于求值，积分变量的改变对定积分计算的目的在于求值，积分变量的改变对定积分计算并不显得特别重要。因为当积分变量改变定积分计算并不显得特别重要。因为当积分变量改变后，其相应的变化范围也随之改变，因此只要能确定后，其相应的变化范围也随之改变，因此只要能确定新变量相应的变化范围，就可直接求出定积分的值，新变量相应的变化范围，就可直接求出定积

5、分的值，这样可不必进行原变量回代并简化积分计算。这样可不必进行原变量回代并简化积分计算。 对本例，当对本例，当 x : 0 3 时时，而此时有而此时有： 故有故有 假定函数假定函数 f( x )在区间在区间 a , ,b上连续上连续，函数函数 x = ( t )满足条件满足条件(1 1) ( )= a， ( )= b ；(2 2) ( t )在在 , , ( 或或 , , )上具有连续导数，且其上具有连续导数，且其值域值域 R a , ,b，则有，则有 dd .bafxftxtt 由条件知，等式两边的被积函数在各自的积分区间由条件知，等式两边的被积函数在各自的积分区间上都是连续的，因此两边的原

6、函数及定积分均存在。上都是连续的，因此两边的原函数及定积分均存在。 设设 f( x )的原函数为的原函数为 F( x )，则由牛顿，则由牛顿 莱布尼兹莱布尼兹公式有公式有 考虑考虑 f ( x ) ( x )的原函数。记的原函数。记 ( t )= F ( t ), ,则则 ( t )是由是由 F( x )和和 x = ( t )的复合函数。因此有的复合函数。因此有即即 ( t )= F ( t )是是 f ( t ) ( t )的一个的一个原函数。原函数。 d.bafxF bF ax ddd.dddFttFtftttxt 由条件由条件 ( )= a ， ( )= b 有有 因此有因此有 .FF

7、F bF a dfttt dd .bafxftxtt 定积分分部积分法与不定积分分部积分法相对应，定积分分部积分法与不定积分分部积分法相对应，是基于不定积分的分部积分法及是基于不定积分的分部积分法及牛顿牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式而建立的一种而建立的一种定积分运算法则。定积分运算法则。 定积分分部积分法和凑定积分分部积分法和凑微分法运算相结合可将形如微分法运算相结合可将形如 的不易积出的积分转的不易积出的积分转化为另一种形式的积分化为另一种形式的积分 进行计算。进行计算。 设有连续可导函数设有连续可导函数 u = u( x )、v = v( x )，由乘积求由乘积求法则可得法则可得 u( x

8、 ) v ( x )= u( x ) v( x ) - - u ( x ) v( x ). 将上式看作函数等式，等式两边都是区间将上式看作函数等式，等式两边都是区间 a , ,b上上的连续函数，故两边在的连续函数，故两边在 a , ,b上求定积分有上求定积分有 由牛顿由牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 因为因为 v ( x )d x = d v，u ( x )d x = d u，故有故有 dddbbbaaauvxxuvxuvxxxxxx, dbbaaxuvuvxxxx. . ddbbbaaauvvuuvxxxxxx .例例：求积分求积分 含对数函数的积分，不宜直接积分。考虑通过含对数函数的积分，

9、不宜直接积分。考虑通过分部积分消去对数因子，再设法计算积分。分部积分消去对数因子，再设法计算积分。 e2 1lnd.xxx e e e222 1 1 1ddlnlnlnxxxxxxx xx e2 1e elne02lnln1 dx xxxx e32 e 112e22dln dlnxxxxx x, , 将积分重现项移至等式左端解得将积分重现项移至等式左端解得 e e232 1 112lndeln d33xxxxx x e33 112eln d39x x e33e31 11221edln399xxxxx e332 1122eed399xx e333 11212ee9272727x. .例例：设设

10、f( x )为为连续函数，证明连续函数，证明： 这是个积分恒等式的证明问题。由于所证式子这是个积分恒等式的证明问题。由于所证式子两边形式相近，可考虑等式两边的积分互化。两边形式相近，可考虑等式两边的积分互化。 0 0 0ddd .xxtftfuttxtu 0 0 0dddxxtftfutxtxtu 0 0 0 0dddtxtxttfufuxtxtuu 0 0 0 00ddddxtxtfutfutuu. 0 0 0 0 0 0dddddtxxttxttfuttfutfuuuu 0 0 0 0ddddxxxxxfutftxftfttttut 0d .xfttxtC. P. U. Math. Dep

11、t 杨访杨访 尽管尽管利用牛顿利用牛顿莱布尼兹公式定积分可通过不定莱布尼兹公式定积分可通过不定积分积分计算，但计算，但其间却存在一个问题，因为定积分和不定其间却存在一个问题，因为定积分和不定积分在概念上不是一回事。定积分是和式极限，只要被积分在概念上不是一回事。定积分是和式极限，只要被积函数连续，定积分就可积。不定积分是原函数簇，其积函数连续，定积分就可积。不定积分是原函数簇，其可积性的意义是原函数可表为初等函数。可积性的意义是原函数可表为初等函数。 如果被积函数连续，但其原函数如果被积函数连续，但其原函数不能表示为初等函数，就会出现定不能表示为初等函数，就会出现定积分虽然可积，但实际却无法求

12、出积分虽然可积，但实际却无法求出的情形。这也是定积分计算要的情形。这也是定积分计算要讨论和解决的一类重要问题。讨论和解决的一类重要问题。 dbafxFFxba 由于定积分计算并不依赖于不定积分是否可直接积由于定积分计算并不依赖于不定积分是否可直接积出，只依赖于原函数的两个函数出，只依赖于原函数的两个函数 F( a ), , F( b )的值。因的值。因此还可考虑通过其它途径求定积分的值，其中利用定积此还可考虑通过其它途径求定积分的值，其中利用定积分的几何意义及相应对称性就是一种常用的计算方法。分的几何意义及相应对称性就是一种常用的计算方法。 例例：设设 f( x )在对称区间在对称区间 - -

13、a , ,a 上连续，证明上连续，证明： 若若 f( x )为为 - -a , ,a 上的偶函数，则上的偶函数，则 若若 f( x )为为 - -a , ,a 上的奇函数，则上的奇函数，则 所证命题实际表达了函数所证命题实际表达了函数 f( x )在区间在区间 - -a , ,a 上的积分上的积分 与其在与其在 0 , ,a 上的积分上的积分 的关系。由于奇函数和偶函数在对称区间上有明显的几的关系。由于奇函数和偶函数在对称区间上有明显的几何对称性，故可从分析几何意义出发考察所证命题。何对称性，故可从分析几何意义出发考察所证命题。 0d2daaafxfxxx; d0aafxx. . daafxx

14、 0dafxxyyaaaa daafxx daafxx 曲边梯形对称于曲边梯形对称于 y 轴，轴，故两边面积相等，且对应符故两边面积相等，且对应符号相同。号相同。 曲边梯形对称于原点，曲边梯形对称于原点，故两边面积相等，但对应符故两边面积相等，但对应符号相反。号相反。 ffxx ffxxxOxO 0 0ddd .aaaafxfxfxxxx 为比较两部分积分，考虑将它们化为同一区间上为比较两部分积分，考虑将它们化为同一区间上的积分考察。的积分考察。 对第一个积分作代换对第一个积分作代换 x = - - t ，当当 x : :- - a 0 时，时，t : a 0, , 从而有从而有 0 0 0

15、0ddddaaaafxfftftxtttt 0dafxx. . 0 0dddaaaafxfxfxxxx 0 0 0ddd .aaafxfxxffxxxx 若若 f( x )为为- -a , ,a 上的偶函数，上的偶函数，即即 f( -x )= f( x )，则，则 若若 f( x )为为- -a , ,a上的奇函数，上的奇函数，即即 f( -x )= - f( x )，则则 本题结果对定积分计算有重要作用，即若给定积分本题结果对定积分计算有重要作用，即若给定积分区间是对称区间，应注意考察被积函数的奇偶性。区间是对称区间，应注意考察被积函数的奇偶性。 0ddaaafxxffxxx 0 0d2d

16、.aaxfxffxxx 0ddaaafxxffxxx 0 0d0d0.aaxxffxx例例：求积分求积分 给定积分区间为对称区间，宜考虑利用对称区间上给定积分区间为对称区间，宜考虑利用对称区间上积分的性质简化计算。由于被积函数为偶函数，故有积分的性质简化计算。由于被积函数为偶函数，故有 为体会利用对称性对积分计算的简化，考察直接计为体会利用对称性对积分计算的简化，考察直接计算此积分的过程：算此积分的过程： 23 2coscosd.xxx 2232 02coscosd2cos1 cosdxxxxxx 22 0 02cosd2cossin dsinxxxxx x 232 2 0 0242cosdc

17、os2cos33.xxx 23 2coscosdxxx 0 222 02cos1cosdcos1cosdxxxxxx 0 2 02cossindcossindxxxxxx 0 2 02cossindcossindxxxxxx 0 2 02cosd coscosd cosxxxx 0 332 22 0222224.coscos33333xx 利用被积分函数的奇偶性简化定积分计算是通过被利用被积分函数的奇偶性简化定积分计算是通过被积分函数关于积分函数关于 y 轴和原点的对称性考虑定积分的计算。轴和原点的对称性考虑定积分的计算。实际上，根据定积分的几何意义还可实际上，根据定积分的几何意义还可更一般地

18、考虑利用对称关系来考虑更一般地考虑利用对称关系来考虑定积分的计算。定积分的计算。 通过曲边梯形对称关系的分析通过曲边梯形对称关系的分析不仅可简化定积分计算，还可使一不仅可简化定积分计算，还可使一些原函数不易求得的积分变得易于些原函数不易求得的积分变得易于计算。因此利用对称关系解决定积分计算。因此利用对称关系解决定积分计算问题也是定积分计算的重要途径。计算问题也是定积分计算的重要途径。例例：设设 f( x )在区间在区间 0 , ,a 上连续，证明上连续，证明：( 2 ) 若若 f ( x )= f( a - - x )，则则 对于对于抽象函数的定积分关系证明问题，应先弄抽象函数的定积分关系证明

19、问题，应先弄 清所证关系式的实质清所证关系式的实质，再根据其意义考虑相应证明。再根据其意义考虑相应证明。 第一个关系式表述的是两函数第一个关系式表述的是两函数 f( x )和和 f( a - - x )在在同一区间同一区间 0 , ,a 上积上积分间的关系，这种关系实际取决于分间的关系，这种关系实际取决于两函数间的关系。从直观看，两函数对应于两函数间的关系。从直观看，两函数对应于0 , ,a 上的上的两条曲线。其中两条曲线。其中 y = f( a - - x )可看成是可看成是曲线曲线 y = f( x )先沿先沿 y 轴翻转轴翻转，再向右平移再向右平移 a 个单位得到的个单位得到的。 00

20、1 dd aafxfxxax , 2 00d2d aafxfxxx. .xOy yfxyfxyfaxaa 从定积分计算的角度看，上述翻转和平移过程对应从定积分计算的角度看，上述翻转和平移过程对应于两次代换于两次代换 x = - - u 和和 t = u + + a ，这两次代换可合并为一，这两次代换可合并为一次代换次代换 x = a - - t 因此有如下解法：因此有如下解法： 令令: : x = a - - t，则当，则当 x : 0 a 时，时，t : a 0 . . 于是有于是有 000 ddd aaafxfatftxatat 00 dd . aaftfxatax 第二个关系式第二个关系

21、式要求在条件要求在条件 f( x )= f( a - - x )下导出下导出 为证明此关系式，也应先考察此条件的意义。为证明此关系式，也应先考察此条件的意义。 200 d2d aafxfxxx . .xOyyfax yfx12xaaxOy yfxa12xa 由图可见，条件由图可见，条件 f( x )= f( a - - x )的几何意义是曲线的几何意义是曲线 y = f( x )关于直线关于直线 x = =1/ /2 a 对称。因此考虑将区间对称。因此考虑将区间 0 , ,a 上的积分上的积分拆分成两个部分区间拆分成两个部分区间 0, ,1/ /2 a 和和 1/ /2 a , ,a 上上的积分考察，即的积分考察，即 于是，为证所论命题可考虑证明上式第二项积分与于是，为证所论命题可考虑证明上式第二项积分与第一项积分相等。第一项积分相等。 由几何直观知，两部分积分的关系对应于曲边梯形由几何直观知，两部分积分的关系对应于曲边梯