梁板式结构分析的有限条法

1、2022-3-2212 梁板式结构分析的有限条法有限条法 (1)板条 (2)平面应力条 (3)薄壳条 (4)连续结构分析高级有限条样条有限条法组合有限条法小结本章参考文献1968年，Cheung Y.K教授创立了结构有限条分析法，并成功应用于简支板的计算Powell和Qgden（1968）将此法应用到板桥的分析中，拉开了有限条法在桥梁结构分析中应用的大门用有限条法分析箱梁桥，连续板、梁结构、加肋板、振动问题、稳定问题等逐步发展起来，CheungY.k.教授在1976年对有限条法在桥梁工程中的应用以及研究成果分别进行了总结在后来的二十多年中，有限条法的应用范围不断拓宽，不仅应用到各种复杂结构的分

2、析中，还在非线性分析方面显示出优势，有限层法、有限棱柱法和样条有限条法也发展起来，并得到广泛应用。有限条法是一种混合法，它具有一般结构法和有限元法的优点。有限条单元结构的组合单元是沿结构纵向分布的“条”，条间纵向用接线连接，由于桥梁的纵向结构和这种“条”式单元基本一致，故采用此法分析时十分有效。 有限条法(1)板条(a）位移函数在有限板条中，选用条带节线中点的挠度（w）及x向（桥梁的横向）的转角 作为位移函数。图示为一简支板式桥的典型有限条。该板条的纵向挠曲形状可采用正弦函数模拟，而挠曲面的横向（xx）截面可用连接若干个多项式函数来模拟。现将位移函数取为)(xw板划分为有限条 lymxfyxw

3、mrmsin)(),(1342321)(xaxaxaaxfmlymxwlymxwlymwwlymwwjmrmjjimrmiijmrmjimrmisinsinsinsin1111常数 可用变形协调条件)4 , 3 , 2 , 1( iaiimmimmxfwfx)0(,)0(, 0jmmjmmxbfwbfbx)(,)(,得出方程jmjmimimbabaawbababaaawa24323423212132,求出lymxNwxNxNwxNyxwjmjmimimrmsin)()()()(),(43211lymNzxwimrmisin),(1(b）能量方程iiiVU lxyyxbiyxyxwMywMxwM

4、U 0 22222 0 dd221 lbiyxyxwyxqV 0 0 dd),(),(典型有限条 lbiTilbxyyxiyxMyxyxwywxwMMMU 0 0 22222 0 0 dd21dd221、2122222imimrmmByxwywxw曲率向量 ykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNykNBmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmimcos2 cos2 cos2 cos2sin sin sin sinsin sin sin sin432142322124321弯矩或扭矩 yxwDMxwDywDMywDxwDMxyxyyyxx2221222

5、21222)()( 0 00 0 11mbmxyyxxyyxDDDDDDMMMMimimiblbTimTimrnrmiyxBDBUdd21 0 0 11 yxlzmyxqNVlbTTimrmidd 0 0 1sin),( （c）刚度矩阵 总势能 iniiniiniVU111最小势能原理 0Tm011iminiiminiTmVUyxLymyxqNyxBDBlbTimibibnilbTimdddd 0 0 1 0 0 sin),( imimnjimPK1 - - 2365154231kkkkkkkkkkKKKKKbjjTbijbijbijim对称1224315651270136DkblDkblDb

6、klDblkmxymymx12243215215421012DbklDbklDkblDblkmxymymx1224223535420113DklDklDkblDblkmxymymx1224345651214096DbklDkblDbklDblkmxymymx1224225105840133DklDklDkblDblkmxymymx1224363015280DbklDbklDkblDblkmxymymx（d）荷载向量将各单元的节点荷载用正弦级数展开。该正弦级数应在板条 方向上展开并和位移函数相似，即lyqlyqq2sinsin21yxlymyxqNMPMPPlbTjmjmimimimdd 0 0

7、 sin),(单元的荷载向量 均布荷载mlqbbbbPmim022) 1(1 122122集中荷载 0004030201sin)(),(),(),(ykFxNxNxNxNPmTim局部均布荷载 mimCqbxbxbxbxbxbxxbxbxxP024324232432342343 2 43222nnnxxx12)cos(cos121ykykkCmmmm（e）其它支承条件的位移函数选取对于板条来说，选择合适的位移函数非常重要，一般情况下板条的位移函数可写为)(),(mmrmyYNyxw1kyCkyCkyCkyCyYchsh4321cossin)(两端均简支 ykyYmmsin( 两端均固结 )(c

8、ossin)(ykykykykyYmmmmmmchshlklklklkmmmmmchcosshsin而 是方程1- 的解 lkm0chcosklkl 一端简支另一端固结ykykyYmmmmsh sin)(lklkmmmshsin而 是方程 的解，当 时， lkmklklthtg5mmlkm41两端均自由; 1, 1)(11kyY1,21)(22klzyY)ch(cosshsin)(ykykykykyYmmmmmm 表达式同情况,当 时, 于情况2中的一端固结另一端自由m3mmk2mk)(cossin)(ykykykykyYmmmmmmchshlklklklkmmmmmchcosshsin而 是

9、方程 的解。当 时， lkm0chcos1klkl10m)5 . 0( mlkm一端简支另一端自由1,)(11klyyYykykyYmmmmshsin)(的表达式同情况，当 2时， 等于情况的mmmk1mk(2) 平面应力条（a）位移函数 假定沿板的厚度方向的应力可略去不计，如图所示，则应变变形关系xvyuyvxuxyyx应力应变关系 )(pxyyxxyxzyzyyxxyxxyyxDEEEEE1 0 00 0 11简支的矩形板边界条件 0),()0 ,( , 0),()0 ,(lxxlxuxuyy位移函数 ykxdxddykxcxccvummrmcos)(sin)(221022101,/101

10、0ddcclmkm利用条之间的变形协调关系有rmjmjmimimmmmmrmmmNvuvuykbxykbxykbxykbxvu11cos 0 cos)1 ( 0 0 sin 0 sin11mmrmB 1mmrmPBDykbykkbxykbykkbxykkbxykkbxykbykbBmmmmmmmmmmmmmcoscoscoscossinsinsinsin1 1 1 0 1 0 0 1 0 1应力,应变（b）刚度矩阵和荷载向量 平面应力条的应变能yxtUxyxyyyxxblidd)(200yxtTbldd200yxBDBtmmplbTmrmTmdd2001 荷载势能 yxqqvuyxldd -V

11、b00yxqqNyxTmblTmrmdd001yxqqNyxTmblTmrmdd001yxBDBtKmpTmblmdd 002356164231 - - kkkkkkkkkktKKKKKpjjTijpijpiimp对称刚度矩阵 xymxymElbkEblkElbkEblk122 62214211225222122 62ElbkEblkElbkEblkmxymxyxymxmxymxmElkElkkElkElkk44 441613荷载向量 yxqqNPyxTmblmdd00集中力作用)cos(cos0/0/12100ykykkqbxbxPmmmxm 线荷载作用 ,)cos(cos0/0/12100

12、ykykkqbxbxPmmmxm 仅有均布载 作用在整个板条上xP mlbPPxmm) 1(1 021021xqxPyxFF ,(3) 薄壳条（a）刚度矩阵和荷载向量 在分析箱形梁用薄壳条，薄壳条是由板条和平面应力条组合而成。对于两边简支结构，总势能可写为2111mTmrmmmTmrmPKVUTjmjmjmjmimimimimmwvuwvu ,位移列向量 bjjTbijpjjTpijbijbiipijpiimKKKKKKKKK 0 0 0 0 0 0 0 0 板条 平面应力条 TjmjmyjmxjmimimyimximmMPPPMPPPP,（b）坐标转换imimimimimimimimimim

13、wuwvvwuucossinsincos 00 mmmTtt1 0 0 0 0 cos 0 sin0 0 1 0 0 sin 0 cost坐标转换 (4) 连续结构分析 对于连梁板或箱梁结构，可以先将中支承全部解除，代以未知反力 ，那么结构是在外荷载和未知反力共同作用下的简支结构，跨径为两桥台支点之距。而 应满足下式 jrjrjr0 2121212222111211nnnnnnnnrrr0r只要联立有限条方程和此式进行求解即可。此法称为柔度法，求解连续结构的刚度法及支点沉降的处理可参见文献高级有限条 上节所介绍的有限条位移函数，只能使条的横向斜率和位移在节线处（或板边）连续，但条的曲率和弯矩不

14、能满足连续条件，且自由边上的弯矩也不等于零。这个问题可通过下述两种途径来解决：（a）增加节线上的自由度；（b）在条内加入内节线，此即为高级有限条。 （1） 曲率连续板条如图所示，在板条节线处增加一个位移参数横向曲率 ，这样，板条的横向曲率和弯矩均是连续的，其计算结果将更精确 曲率连续板条这种板条位移可写为lymNNNNNNNwrmmrmmmsin,165432115431615101XXXN)3861 (4322XXXxN)(.322333150XXXxN543461510XXXN)374(4325XXXxN)(.3226250XXXxNbxX/Tjmjmjmimimimmww,imimxw)

15、/(22位移函数的曲率向量 ,12222mrmmTByxwywxw 2 2 2 2 2 2 654625242654321322212321ykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNykNkykNkykNkykNkykNkykNkykNykNykNBmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmcoscoscossinsinsinsinsinsincoscoscossinsinsinsinsinsinlmkm/ 弯矩向量 mrmmBDM1 刚度矩阵 3651211924111081987365241 - - - kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk

16、Km对称317120720710462181bDbCbBbAkbDbCbBAbk3519235163583465523235331563092403353bDCbBbAbk2247607101434620311bDCBAbkbDbCbBAbk73428455440281353511306018480232246DCbBbAbk37712072071023125bDbCbBbAk328760731434620151bDCBAbkbDbCbBAbk7342845544018139bDbCbBAbk351083570198019310354105210138601322411DCbBbAbk7063

17、012601108833512bDCbBbAbkxymymDlkBDlkA242 21xmlDDDlkC2 2114条的荷载向量 mlqbbbbbbpmTm0323211120102120102)(,集中荷载用00060201ykpxNxNxNpmTmsin)(,),(),(2) 内节线板条 如图所示，在板条内增加一条内节线c，通常可将节线c放在板条中央，这样，位移函数可用5次抛物线表示为内节线板条lymNNNNNNNwrmmrmmmsin,16543211Tjmjmcmcmimimmwww,54321246866231XXXXN)4121361 (4322XXXXxN)1632164323X

18、XXN)(43241640328XXXXxN543252452347XXXXN)485(4326XXXXxNbxX/72981061436512941183721 - - - - 0 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKm对称313550921052781052783465523bDbCbBbAk刚度矩阵 2223511381055921013231019bDCBAbk335512105256105256634bDCbBbAk22473842182186938bDCBAbk3535150810522105226930131bDbCbBbAk2263524270701386029bDCBA

19、bkbDbCbBAbk3533245245234652372285128105810583152bDCBAbkbDbCbBAbk76431543154115539bDbCbBAbk3538126126462031031151024105512105512315128bDbCbBbAkbDbCbBAbk7256315128315128346532312xymymDlkBDlkA242 21xmlDDDlkC 12满布均布荷载向量mlqbbbbbpmTm0221160307015860307)(, 值得注意的是，此种条元在边界上的曲率亦是不协调的，但其解的精度要高一些。因为内节线与其它条元无法连接

20、，在装配总刚前可用静力凝聚法给出内节线 的位移参数 c(3) 内节线平面应力条如下图所示，取位移函数为rmjmjmcmcmimimmmmvuvuvuNNNvu1321 cos 00 sinykNykNNmimiim21231XXN2244XXN232XXNbxX/rmmmB1rmmmpmBD1 - 0 0 0 0 - 0 0 332323211121ykNykNkykNykNkykNkykNykNkykNykNkykNkykNykNBmmmmmmmmmmmmmmmmmmmcoscoscossinsinsincoscoscossinsinsin内节线平面应力条刚度矩阵 7284961436511

21、841043721 - - - 0 - kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKm对称xymElbkEblk1567211xymxElkEkmlk4412xymElbkEblk3034213xymxElkEkmlk3314xymxmElkEk lk121216xymElbkEblk606215xymEblEbklk6715227xymEblEbklk3430228xymElbkEblk154382110 xymEblEbklk660229xymEblEbklk381542211yxzyxxvvEEvvEE1,121内节线位移参数亦可由静力凝聚法获得 分析箱形梁时，可采用由高级板条和高级平面应

22、力条组合而成的高阶薄壳条 样条有限条法(1) 样条函数三次B样条函数 为)(ym其它 0 333 333 612132131211231312112312323mmmmmmmmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyhyyhhyyyyyyyhyyhhyyyyyhy)()()()()()()()()( 函数 及其一阶导数、二阶导数曲线如图所示，其节点数值可查有关表 为了用样条函数来插值任意连续函数 可将 分解为节点为 的等间距段，且)(ym),()(bayyf,bamyrabmyybyaymr/ )(,00),(rom则在节点上的函数值 为)(yS11)()(rmmmyCyS其中待定系数由 下

23、式获得)()(),()()()()(00rrmmyfySromyfySyfyS则可得到求解未知系数 的线性方程组 mC)()(21),()()4(61)()(211111011rrrmmmmyfCChromyfCCCyfCCh11rmmyfyCyS)()()(为了获得较高的精度，如将集中载作用点和支承点作为节点时，会用到变间距样条函数，变间距三次B样条边数可写为 0 0221413121212yyyyyfyyyfyyyfyyyfyyymmmmmmmmmmm)()()()()(2111112312212mmmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyff)()()()(1211121312243m

24、mmmmmmmmmmyyyyyyyyyyyyff)()()(12212324mmmmmmmyyyyyyyyf(2)薄壳样条有限条 由Y.K.Cheung和Fam在1983年提出的用于板桥、加肋板桥和箱梁桥分析的薄壳样条有限条如图所示薄壳样条有限条1143211111)()()()1 ()()()1 (rmjmmjmmimmimmrmjmvimimvimrmjmuimimuimNwNNwNwvyXvyXvuyXuyXu)()(yXXNwimm321231)()(yXXxNimm2221)()23(323yXXNwjmm)()(24yXXxNjmmbxX/ 有了位移函数，条刚度矩阵，荷载向量等可按

25、前述有限条法获得条的位移组合有限条法 如图所示的由桥面板、纵梁、横梁和立柱组合而成的桥梁结构，可以采用Puckett和Gutkowski于1983年提出的组合有限条进行分析。组合条的刚度矩可以写为ccttllDeKKKKK 板条或薄壳条的刚度矩阵； 单条纵梁刚度矩阵； 单条横梁刚度矩阵； DKlKtK 单条立柱刚度矩阵； 组合条刚度矩阵。 cKeK将 装配成总体刚度阵矩 ，其求解过程同一般有限条eKK组合有限条(1) 矩形组合条 矩形组合条如图所示，包括板条或薄壳条、纵梁、横梁和立柱。板条和薄壳条的刚度矩阵 已给出。 DK在组合条中，任意点的位移rmmmrmmmNyYNNNNw114321)(

26、,Tjmjmimimmww,321231XXNm)21 (22XXxNm32323XXNm)(24XXxNmbxX/)(,4321yYNNNNNmm附加单元（梁、柱）的刚度矩阵分述如下 （a）纵梁的弯曲刚度矩阵纵梁的弯曲应变能为lllflyywIEU 0 22d2lrnnnrmmmllflyNyNywIEU 0 122122d2lmnTmllrmrnmyyNyNIE 0 222211d21rmnrnflmnTnK11 21444333423222413121114 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNIIEKllflmn对称 lnyyyI 0 m4dYY)()( 梁的抗弯刚度； 纵梁的弯曲

27、刚度矩阵 llIEflmnK（b）纵梁的扭转刚度矩阵纵梁的扭转应变能为yyxwJGUlltld222lmTmlltlmnyyxNyxNJGK 0 22d444333423222413121115 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNIJGKlltlmn对称 lnmyyYyYI 0 5d)()( 纵梁的抗扭刚度； 纵梁的扭转刚度矩阵。（c）横梁的弯曲刚度矩阵llJGtlmnK横梁的弯曲应变能bttflxxwIEU 0 222d2bnTmttftmnxxNxNIEK 0 2222d 4 6- 12 2 6- 4 6 12- 6 122322323bbbbbbbbb/bYYIEKnmttftmn

28、/对称 横梁的抗弯刚度； 横梁的弯曲刚度矩阵 ttIEftmnK（d）横梁的扭转刚度矩阵横梁的扭转应变能xyxwJGUbttttd2022bnTmttttmnxyxNyxNJGK 0 22d 4 3 36 3- 4 3 36- 3 6330222bbbbbbbYYbJGKnmttttmn对称横梁的扭转刚度矩阵（e）柱的轴 向 刚 度 矩阵221caacwkU44433342322241312111 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNYYkNNkKnmanTmaacmn对称立柱的轴向应变能横梁的抗扭刚度（f）柱的弯曲刚度矩阵 立柱的弯曲应变能由两部分组成，分别是立柱的横向转动和纵向转动。

29、横向转动应变能221xwkUcxxc44433342322241312111 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNYYkxNxNkKnmxnTmxxcmn对称纵向转动应变能221ywkUcyyc44433342322241312111 NNNNNNNNNNNNNNNNNNNNYYkyNyNkKnmynTmyycmn对称、 立柱柱顶的横、纵向抗转动刚度 立柱的横、纵向弯曲刚度矩阵 xkykycmnxcmnKK 获得条中板和所有支承单元的刚度矩阵后，组合条单元刚度矩阵 可写为emnKnclycmncxmnacmnntlttmnftmnnlitlmnflmnpmnemnKKKKKKKKK)()(

30、)( 条中纵梁个数； 条中横梁个数； 条中立柱个数nlntnc(2) 矩形B样条组合条采用薄壳样条有限条时，纵梁、横梁和立柱的应变能分别为纵梁： lllllyllllyyxwJGywAEywevAEU 0 222222d21)(横梁： bttttxtttlxyxwTGxwAEyweuAEU 0 222222d21)( 立柱： 22221xwkywkwkUxyac、 纵、横梁重心离板重心之距。应用位移函数，不难得到此种样条组合条的刚度矩阵 lete 小结 有限条法在桥梁结构静力、动力和稳定分析方面得到广泛应用，并取得良好的效果，不仅因为此种方法综合了一般结构解析分析方法和数值分析方法的优点，更重

31、要的是其所采用的单元与桥梁这种狭长结构不谋而合。 有限条法自从诞生以来，其发展速度，应用范围不亚于有限元法。 在众多国内外学者的大量研究和实践中，提出了有限层法、有限棱柱法、双样条子域法、有限条传递矩阵法等新方法。并扩展应用到斜桥、弯桥。任意形状板桥及材料几何非线性分析等方面。以下就常见的用有限条法分析桥梁结构问题进行讨论。（1） 有限条方法选择（a）有限条法、有限层法和有限棱柱法有限条法：薄板结构，其中：基本有限条法：仅关心纵向位移和应力的精度；高级有限条法：同时关心纵、横向位移和应力的精度；样条有限条法：有内力矩突变、集中荷载作用时，精度会提高，可分析任意形状板桥。适于因定支承、自由支撑、

32、带有中支承桥、弯桥等。有限层法：等厚度厚板桥，如上图所示有限层 有限棱柱法：变厚度厚板桥、空心板桥和厚壁箱形梁桥，有限棱柱空心板 厚壁箱梁（b）板条、平面应力条和薄壳条，均适于薄板结构，其中 板 条：板桥承受竖向荷载； 单面应力条：是向薄壳条的过渡，在桥梁上无对应结构； 薄 壳 条：薄壁箱梁桥。（2） 桥梁结构的有限条模型建立（a）板 桥：薄板有限元，高级有限条样条有限条（b）肋梁桥：板面板按薄板分析，按厚板分析（c）箱梁桥：厚壁箱，薄壁箱。可根据要求的精度不同，加 密或减少条的数量，但一般情况下，腹板可分 为1-3个条，翼板（在每两腹板间）。可分为 2-5个条。 薄壁箱梁分条d）节线和条的编号 编号将影响刚度矩度的半带宽，合理的编号可减小半带宽，从而节省计算时间，如图所示a优于b节线和条的编号