信号与系统第六章

1、信号与系统 第六章 离散系统的Z域分析w 6.1 Z变换变换 w 6.2 Z反变换反变换 w6.3 Z变换的性质变换的性质 w6.4 离散时间系统的离散时间系统的Z域分析域分析变换的地位和作用类似于连续系统中的拉普拉斯变换，利用变换把差分方程变换为代数方程，从而使离散系统的分析较为简便。本章主要介绍和讨论变换的定义及其性质；离散系统变换分析法；离散系统函数及系统稳定性等概念。 6.1 Z变换变换 6.1.1 Z变换的定义及其收敛域变换的定义及其收敛域离散序列Z变换 定义为 （6.1.1）即 是 的一个幂级数，其中 的系数就是 的值。式（6.1.1）称为离散序列的Z变换定义式，可记为 （6.1.

2、2） ,1,0,1,fffnf zF nnnznfznfzfzfzfzF101101 zF1znz nf nnznfnfZzF一个连续函数 以均匀间隔进行抽样后的函数 ,可以表示为抽样后 的离散序列的拉普拉斯变换为 （6.1.3）如令 或 s = ，则 （6.1.4）由此可见，离散信号 的Z变换式在本质上仍然是离散信号的拉普拉斯变换。 tf tfs nTtnTfnTttftfnns tf nnsTnssenTfnTtnTfLtfLsFsTez zTln1 zFznTfsFnnZTssln1 nf变换定义式（6.1.1）称为双边z变换。单边z变换定义为 （6.1.5）工程实际的应用主要考虑单边的

3、z变换。一般地，称 为序列 的象函数；称 为 的原函数。若 已知，根据复变函数的理论，原函数 可由下式确定 （6.1.6） 0nnznfzF zF nf zF nf zF nf nf dzzzFjnc121Z变换对变换关系可表示为z变换对又可简记为 由式（6.1.4）可以看到，由于s是拉普拉斯变换中的复频率，T为抽样间隔，所以z 为一复数，它必可表示在一个复平面内，这个复平面称为Z平面。绝对收敛的区域满足条件为 nfZzF zFZnf1 zFnf 0nnznfsTez 图6.1.1 收敛域关于的绝对收敛域，大致有以下几种情形：（1）在整个平面绝对收敛。（2）在部分平面绝对收敛。如图6.1.1所

4、示；6.1.2 典型序列的Z变换及其与收敛域的对应关系 （1）单位序列因为，将代入式6.1.5）得即单位序列的变换等于常数1，它在全平面收敛。记为 n 1n 0, 00, 1nnn n 01nnznnZzF（2）阶跃序列阶跃序列为，故有上式为一等比级数求和的问题，当，即时，该式收敛，并等于记为 n 0, 00, 1nnn 00nnnnzznnZzF11z1z 1111zzznZ 1zzn （3）指数序列 由定义得对于该级数，当，即时，级数收敛，并有这就是说，对指数序列，当收敛域为z平面上半经的圆外区域时，才存在。这里把R称为收敛半径。 332210101zazaazazznanaZzFnnnn

5、nn11azaz azzazzF111aRz zF对于在有限区间内的有界序列，其收敛域是整个平面。阶跃序列、指数序列以及许多类似的单边序列（也称为右边序列），其变换收敛域总在半径为R的圆外区域。而左边序列的收敛域是以半径R的圆内部分。如是从负无穷延伸到正无穷的无限双边序列，它的收敛域通常是环形。常用序列的变换见表6.1.1。6.1.3 Z变换与拉普拉斯变换的关系 Z平面和S平面的映射关系。从式（6.1.4）知道，s 和z的关系是 或 （6.1.6）如果将s表示为直角坐标形式 将z表示为极坐标形式 将它们代入式（6.1.6）中，得到 （6.1.7） （6.1.8）sTez zTsln1jsjpe

6、z TepT为简单起见，令，则由上式可以表明S平面与Z平面有如下映射关系：（1）S平面的虚轴（ = 0，s = j）映射到Z平面是单位圆（R =1， = ）；（2）S平面的左半平面（ 0）映射到Z平面是单位圆内（R 0）映射到Z平面是单位圆外（R 1）；（4）S平面的实轴（ = 0，s =）映射到Z平面是正实轴，平行于实轴的直线（为常数）映射到Z平面是是始于原点的辐射线。S平面与Z平面的映射关系如表6.1.2所示。1Tep 表6.1.2 S平面与Z平面的映射关系6.2 Z反变换 6.2.1 幂级数展开法（长除法）6.2.2 部分分式展开法 6.2.3 围线积分法（留数法）6.2.1 幂级数展开

7、法（长除法）由z变换的定义式可知， 是 的幂级数。当已知 时，则只要把 按 的幂级数展开，那么级数的系数就是原序列 。在一般情况下，原序列 是因果序列（右边序列），只要将 的分子分母多项式按z的降幂排列，然后利用长除法，便可将 展开成幂级数，从而得到原序列 。 0nnznfzF zF1z nf zF zF1z nf zF zF nf【例6.2.1】 求 的反变换 ，其收敛域为 。解 将 按z的降幂排列成下列形式做长除法如下 21zzzF nf1z zF 122zzzzF32321212111232134363223242221232zzzzzzzzzzzzzzzzzz从而有即可得 032132

8、nnnzzzzzF nnnf, 4 , 3 , 2 , 1 , 0 【例6.2.2】 若 ，试求其反变换 。解 由于指数函数 可展开成幂级数为所以 可展开为 上式 的系数即为原序列 zaezFxe032! 3! 21nnxnxxxxe zF 00!nnnnnzaznanzaezFnz nf ! nanfn6.2.2 部分分式展开法 在离散系统分析中，一般而言， 是的有理分式，即 = （6.2.1）可以象拉普拉斯反变换一样，先将上式分解为部分分式之和，然后反变换求得原序列。为了便于计算，可以先将 展开成部分分式，然后再对每个分式乘以z 。式（6.2.1）中分母多项式的根为的极点。下面就的不同极点

9、情况介绍部分分式展开法。 zF zF zDzN01110111azazazbzbzbzbnnnmmmm zzF（1） 中仅含有单极点如 的极点z1、z2、z3、zn都互不相同，则 可展开为 = = （6.2.2）式中 ，各系数 （6.2.3）将求得的系数代入到式（6.2.2）后，等式两端同乘以z，得即可得 的反变换为 （6.2.4） zFzzF)( zFzzF)(nnzzKzzKzK 110niiizzK000z nizzFzzKizzii, 1 , 0, niiizzzKKzF10 niniinzKnKnf10 zF【例6.2.3】 设z变换 ，求其原序列。解 因为 =故 = =由式（6.2

10、.3）得 zF23122zzzz 23122zzzzzF2112zzzzzzF)(2112zzzzz21210zKzKzK 2100zzFK 1111zzzFzK 5 . 1222zzzFzK故对上式取反变换得 25 . 1121zzzzzF nnnnfnn25 . 1121【例6.2.4】 求象函数 ， 的z反变换。解：首先求出 的极点，它是方程 的根，所以 有两个单极点故可得 =由式（6.2.3）可求得 所以有 取上式的反变换得 zF232 zzz2z zF022zz zFzzF)(1212321zkzkzz1, 121KK zF12zzzz nnfnn12（2） 含有重极点设 在 处有m

11、阶极点，则 中一定含有如下一项仿照拉普拉斯反变换的方法，将 展开为 = 式中 项是由于 除z以后自动增加了 的极点所致。上式的系数如下确定： （6.2.5） zF1zz zF mzzzNzF1 zFzzF)(zzF)(zKzzKzzKzzKmmm0111112111 zK00z zF 11111!11zzmnnnzzFzzdzdnK式中 。各系数确定以后，则有 （6.2.6）可利用查表的方式得到上式的反变换 （6.2.7）mn, 3 , 2 , 1 zF0111112111KzzzKzzzKzzzKmmm nzmnnnmzzzZmnm111121!11 【例6.2.5】 若 （ ）， 试求其反

12、变换。 解 在 是二重极点, 在 是单极点，因而展开成部分方式为 =其中 zF2131zzzz3z zF11z32zzzF)(311212211ZKzKzK11K 11131!111122zzzzz =所以 它的反变换为12K11131!121122zzzzzdzd13131322zzzzzK zF1132zzzzzz nnnfn13（3） 含共轭单极点如果 有一对共轭单极点 ，则 含有共轭极点部分 展开为 = （6.2.8）将 的共轭极点写为指数形式，即令 zF zFjdcz2, 1zzF)(zzFa)(zzFa)(jdczKjdczKzzKzzK212211jejdcz2, 1 zF式中

13、， 令 ，则可以证明 ，将 代入式（6.2.8），得即得 其原函数为 （6.2.9）cddcarctan22jeKK11jeKK122121,KKzz jjjjaezeKezeKzzF11 jjjjaezzeKezzeKzF11 nnKeeKeeKnfnnjnjnjnjacos2111【例6.2.6】 若 （ ）， 试求其反变换。解 将 展开为其极点分别为即上式可展开为 zF41623zzz2zzzF)(2216416)(323jzjzzzzzzzzzzF24, 32122, 1, 0jejzzz242321221)(jjezKezKzKzKzzF上式中的各系数为将各系数代入展开式，得其原函数

14、为 2301zzFK 1112zzzFzK 04 .6323452jjzezzFjzK 04 .6323452jjzezzFjzK 24 .6324 .6324524512300jjjjezeezezzzF nnnnfnn04 .632cos2251236.2.3 围线积分法（留数法） 若 已知，根据复变函数的理论，原函数 可由下式围线积分确定图6.2.1 为的收敛域， zF nf RzdzzzFjnfCn121图6.2.1 的收敛域 zF 在收敛域内选取一个闭合路经C，由于 在 内绝对收敛，所以C的内部包围了 全部极点，则根据复变函数的留数定理有 （6.2.10）式中Res表示极点的留数，式

15、（6.2.10）表明，原序列等于内的所有极点的留数之和。所以该方法也称为留数法。 zFRz Rz 0Re2111nzzFsdzzzFjnfinCn 如果 在 有单极点，则 （6.2.11） 如果 在 有m重极点，则 （6.2.12） 1nzzFizz izzinizzzzFs1Re 1nzzFizz isRe izznmimmzzFzzdzdm111!11 【例6.2.7】 用留数法求【例6.2.5】中 的反变换。 解 它在 有单极点，在 有二重极点，由式（6.2.11）可求得其在 留数为由式（6.2.12）可求得其在 的留数为 zF 1nzzF2131zzzzn32z11z2z 0311Re

16、322122nzzzzzzzFzsnznzzniz2m 0131!121Re11nnzzzdzdzszn所以根据式（6.2.10）得其结果与【例6.2.5】完全相同。 nnnfn136.3 Z变换的性质 6.3.1 线性性质6.3.2 移位特性 6.3.3 尺度变换6.3.4 初值定理6.3.5 终值定理6.3.6 卷积定理6.3.1 线性性质z变换的线性性质表现为齐次性和可加性，即若 则 （6.3.1）式中a和b为任意常数。相加后序列的变换收敛域一般为两个收敛域的重叠部分，如果在这些组合中某些零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。 zFnfzFnf2211 zbFzaFnbfnaf2121【例

17、6.3.1】 求序列 的z变换。解 根据欧拉公式由线性性质，再利用查表6.1.1可得 可以记为 0cosn0021cos0jnjneenZnZ0cos0021jnjnee002121jnjneZeZ0021jjezzezz1cos2cos0202zzzz0cosn1cos2cos0202zzzz6.3.2 移位特性 图6.3.1 序列的移位 对于双边序列 ，其右移m位后的单边z变换为 （6.3.2）对于单边序列，因为 ，故由式（6.3.2）可得 （6.3.3）因为 ，由移位特性，显然有 nfmnf mkkmzkfzFz1, 02, 01ff zFzmnmnfm 1, 1zznn1zzzmnzm

18、nmm【例6.3.2】 求 变换。解 因为 根据式（6.3.3）得 = 6 = 1251nnfn 22zzn 1251nZzFn21zzz25z【例6.3.3】 求图6.3.2所示矩形序列 的z变换。解 由图所示，该矩形序列可表示为图6.3.2 序列的移位 nf 4nnnf由于 ，根据移位特性，得由线性性质可得图所示矩形序列也表示为故有 1zzn111434zzzzzn 32331111zzzzzzzznf 32331111zzzzzzzznf 32332111zzzzzzznf【例6.3.4】 求周期为N的单边周期性单位序列=的z变换。解 根据线性特性和移位特性，单边周期性单位序列的z变换为

19、 mNnNnNnnnnN20mmNn 111132NNNmNNNNNzzzzzzznnZ6.3.3 尺度变换设 ，则 乘以指数序列的z变换为 （6.3.4）上式表明，若 乘以指数序列 的z变换只要将的变换中的每个z除以a即可。 【例6.3.5】 若已知 的z变换，求序列 的变换。 zFnf nf azFnfanna nf0cosn0cosnan解 从【例6.3.1】可知根据式（6.3.4）的尺度变换可以得到 = =0cosn1cos2cos0202zzzz0cosnan1cos2cos0202azazazaz220101cos21cos1zaazaz2020cos2cosaazzazz6.3.

20、4 初值定理若 ，且 存在，则 的初值为 （6.3.5）这个性质表明，离散序列 的初值 可以通过 取时 的极限值而得到。 zFnf zFzlim nf zFfz lim0 0f nf zFz6.3.5 终值定理若 ，则若 的终值为 = 6.3.6）必须注意，为了保证 存在，只有当 时， 收敛才可应用. zFnf nf f nfnlim zFzzz1lim1 fn nf【例6.3.6】 某序列的z变换为 试求 。解 按式（6.3.6）求初值按式（6.3.6）求终值为 = = 当 时， ；当 时， 。由题意知，原序列为 ，可见以上结果是正确的。 azzzFaz ff,0 1limlim0azzzF

21、fzz f nfnlimazzzzz1lim1azzz1lim11a 0f 0f 1f nanfn6.3.6 卷积定理设 则 与 卷积和的变换为 （6.3.7） zFnfzFnf2211, nf1 nf2 zFzFnfnf2121 【例6.3.7】 求下列两单边指数序列的卷积和 。解 因为由式（6.3.7）得显然， 的收敛域为 与 的重叠部分，把 展开成部分分式，得 nbnfnanfnn21 bzbzzzFazazzzF21 zFzFzY21bzazz2 zYaz bz zYbzbzazazba1显然，的收敛域为与的重叠部分，把展开成部分分式，得取其反变换，即为序列与的卷积和= 卷积定理还在求

22、解离散系统的零状态响应时非常有用。由于离散系统的零状态响应等于输入序列与单位响应的卷积和，即 由卷积定理得 （6.3.8）式（6.3.8）中称为系统函数，它是单位响应的变换。后面会详细介绍系统函数。取其反z变换，即为序列 与 的卷积和 = 卷积定理还在求解离散系统的零状态响应时非常有用。由于离散系统的零状态响应等于输入序列与单位响应的卷积和，即由卷积定理得 （6.3.8）式（6.3.8）中 称为系统函数，它是单位响应 的z变换。 nf1 nf2 nfnfny21 nbabann111 nhnfinhifnyizs zHzFzYzs zH nh【例6.3.8】 已知一离散系统的单位响应 和输入序

23、列 ，即试在域求系统的零状态响应。解 因为 由卷积定理 ，得 nh nf nnfnnhnn3121 3121zzzFzzzH zHzFzYzs zYzs31212zzz将上式展开成部分分式可得取其反变换即得系统的零状态响应变换还有一些运算性质，就不一一介绍， 变换的常用性质如表6.3.1所示。 zYzs312213zzzz nyzs nnn3122136.4 离散时间系统的Z域分析6.4.1 利用Z变换求解差分方程 6.4.2 离散系统函数 6.4.3 离散系统的稳定性线性非时变离散系统是用常系数差分方程描述的，而z变换是求解线性差分方程的最有力工具，它的主要优点是：求解步骤简明而有规律，其初

24、始状态自然地包含在z域方程中，可一次性求得方程的全解；z变换把差分方程变换为代数方程，求解非常方便。6.4.1 利用Z变换求解差分方程 描述k阶系统的后向差分方程的一般形式可写为 （6.4.1）根据单边z变换的移位特性， 右移i个单位的z变换为 （6.4.2）因 是在 时接入的，所以 的z变换为 （6.4.3）jnfbinyamjjmkiik00 ny 10innizinyzYziny nf0njnf zFzjnfj将式（6.4.1）两边取变换，并把式（6.4.2）、式（6.4.3）代入，得即可得 （6.4.4）由式（6.4.4）可见，第一项仅与初始状态有关而与输入无关；其第二项仅与输入有关而

25、与初始状态无关。由此取上式的反变换，得系统的全响应。 zFzbzinyzYzajmjjminnikiik0100 zFzazbzazinyazYkiiikmjjjmkiiikinnkiik000100由上述分析可知，利用变换求解系统的差分方程的响应一般步骤为：（1）对给定的差分方程进行z变换，将时域内的激励 和响应 分别变换成z域内的激励 和 响应。（2）对差分方程z变换后得到的代数方程求解，求得z域内的响应 。（3）对 进行反z变换，即可求的得待求的时域响应 。 nf ny zF zY zY zY ny【例6.4.1】 用变换分析法求解某离散系统的零输入响应 。描述系统的差分方程为初始条件为

26、 和 。解 对差分方程z变换，根据移位特性，可得则由给定的初始条件和确定所需的初始条件有 nyzi 02615nynyny 20 y 31 y 021615121yyzzYzyzYzzY zYzYzi211651162615zzzyyy 026150016051yyyyyy从中解出将初始条件 和 代入 的式中，整理后可得将上式进行部分分式展开，得到 =对进行反z变换，可得零输入响应为36232,671yy1y2y zYzi zYzi657222zzzz zYzi32722zzzz323zzzz nnynnzi323【例6.4.2】 描述某线性离散系统的差分方程为若输入激励序列为 ，初始条件 求

27、系统的零状态响应。解 对差分方程两边取z变换，得到因为初始条件 ，激励序列的z变换为 则上述方程变为 nfnbyny1 nanfn 01y zFbyzYbzzY1101 y zFazz azzzYbzzY1解出 ，并整理得到 将其进行部分分式展开，得到对 进行反z变换，即得到其零状态响应 zY bzazzzY2 zYbzbzazazba1 zY nyzs nbabann1116.4.2 离散系统函数 （1） 的概念 = （6.4.6）式（6.4.6）表明：系统函数 仅决定于系统的差分方程，而与激励和响应的形式无关. zH zFzYzskiiikmjjjmzazb00 zH zH引入系统函数的概

28、念以后，零状态响应的象函数就可表示为 （6.4.7）当系统函数和激励的象函数均已知时，则系统的零状态响应随之可定，即 （6.4.8）由前面可知，系统的零状态响应是单位响应与激励的卷积和，即 （6.4.9）重要结论:零状态响应的象函数等于系统函数与激励象函数的乘积 zHzFzYzs zHzFZnyzs1 nhnfnyzs当系统的激励为单位序列 时，其零状态响应称为单位响应 ，那么此时有故式（6.4.6）变成为 则有 或 （6.4.10）可见，系统函数与单位响应构成z变换对。 n nh 1nZzF zHzYzs zHnhZ zHZnh1【例6.4.4】 已知一个线性时不变系统的系统函数为试确定该系

29、统的差分方程。解 将展开成如下形式因此差分方程为 zH11214312111zzz zH zFzYzzzz21218341121 zFzzzYzz21212183411 212283141nfnfnfnynyny【例6.4.5】 设有一数据控制系统的差分方程为求系统函数 和单位响应 ；若激励为 求其零状态响应.解 （1）求 在零状态下对系统差分方程两边取z变换，得故 = = 12216. 016 . 0nfnfnynyny zH nh nnfn4 . 0 zH zFzzYzz1212116. 06 . 01 zH zFzY21116. 06 . 0121zzz16. 06 . 0222zzzz

30、（2）求 由于已经求出系统函数 ，取其z反变换即求得 。将 进行部分分式展开得求出系数 2.2 ，所以有取反变换即得单位响应 nh zH nh zH8 . 02 . 08 . 02 . 02)(21zKzKzzzzzH1K2 . 12K zH8 . 02 . 12 . 02 . 2zzzz nh nnn8 . 02 . 12 . 02 . 2（3） 当 时，有 由式（6.4.7）得系统的零状态响应的象函数为 =利用部分分式展开法，得到对其进行反变换即得系统在激励作用下的零状态响应 nnfn4 . 0 zF4 . 0zz zHzFzYzs4 . 08 . 02 . 022zzzzz zYzs4 . 048 . 08 . 02 . 02 . 2zzzzzz nyzs nnnn)4 . 0(48 . 08 . 02 . 02 . 2（2） 的零极点分布与 单位响应变化规律的关系 为了认识系统的特性，有必要讨论系统函数的极点所在位置与时域响应的变化规律之间的关系。设系统函数为式中为系统函数的零点；式中为的极点；为