切向和法向分量

1、关于切向和法向分量现在学习的是第一页，共20页概述概述：质点沿曲线运动时的速度相切于其运动路径，：质点沿曲线运动时的速度相切于其运动路径，但加速度并不如此。而把其加速度分解到其运动但加速度并不如此。而把其加速度分解到其运动路径的切向和法向时可以对其加速度进行方便的路径的切向和法向时可以对其加速度进行方便的研究。研究。本节内容本节内容质点的平面运动质点的平面运动质点的空间运动质点的空间运动11.13.11.13.切向和法向分量切向和法向分量现在学习的是第二页，共20页质点的平面运动质点的平面运动 首先设想一个质点如图首先设想一个质点如图所示的平面上做曲线运所示的平面上做曲线运动。设动。设P P为

2、某时刻的位置，为某时刻的位置，在在P P点，记单位矢量点，记单位矢量e et t与与运动轨迹相切，指向运运动轨迹相切，指向运动方向（图动方向（图11.21a11.21a），），记记e et t为为P P相对应的单位相对应的单位矢量。矢量。 y x OPenetetP图11.21a现在学习的是第三页，共20页将将e et t 和和e et t移于同一坐标原点移于同一坐标原点O O，如图，如图11.21b11.21b得得 e et t 大小为大小为2sin(2sin(/2)/2)，且，且由由 得得由于质点的速度由于质点的速度v v与运动路径相切则与运动路径相切则对其两边关于对其两边关于t 求导得求

3、导得002sin/ 2sin(/2)lim= lim=1/2（）tn=ddee0limtnee（11.35）V=vet(11.36)O/2retetet图11.21b现在学习的是第四页，共20页由于由于 其中其中ds/dt=v,ds/dt=v, de det t/d/d=e=en n，d/ds=1/d/ds=1/( (为曲率半径，图为曲率半径，图11.22)11.22)ttdddvvdtdtdtevaettdede ddsdtdds dt（11.37）yxO圆心圆心sPetet=s/P图11.22现在学习的是第五页，共20页所以所以将公式代入将公式代入 得得因此两分量分别为因此两分量分别为综上

4、综上：加速度的切向分量反应质点运动速率变化的加速度的切向分量反应质点运动速率变化的快慢，而法向分量反应质点运动方向的变化。只快慢，而法向分量反应质点运动方向的变化。只有当加速度的两个分量都为零时，加速度才会为有当加速度的两个分量都为零时，加速度才会为零。零。 tndvdteettdddvvdtdtdtevae2tndvvdtaeetdvadt2nva（11.38）（11.39）（11.40）现在学习的是第六页，共20页应用应用：质点运动的加速度的法向分量与路径的曲率半径有关，质点运动的加速度的法向分量与路径的曲率半径有关，这一点在设计飞机机翼、火车铁轨以及凸轮的结构或这一点在设计飞机机翼、火车

5、铁轨以及凸轮的结构或尺寸时常被考虑在内，为了避免空气流过机翼是加速尺寸时常被考虑在内，为了避免空气流过机翼是加速度的突然变化，机翼的轮廓常常设计成流线形的，同度的突然变化，机翼的轮廓常常设计成流线形的，同样对于火车铁轨，为避免加速度的突然变化（不利于样对于火车铁轨，为避免加速度的突然变化（不利于设备和旅客）常常在直铁轨和圆弧铁轨间加过渡性的设备和旅客）常常在直铁轨和圆弧铁轨间加过渡性的特殊铁轨。通过过渡曲线防止了加速度的突变，是加特殊铁轨。通过过渡曲线防止了加速度的突变，是加速度连续的变化。速度连续的变化。如下图：如下图：现在学习的是第七页，共20页凸轮凸轮 铁轨铁轨机翼机翼现在学习的是第八页

6、，共20页质点的空间运动质点的空间运动 和和 、 的关系在空间的质点的关系在空间的质点的移动中同样适用的移动中同样适用 , 然而然而由于空间曲线在由于空间曲线在P P点有无点有无数条直线与数条直线与P P点的切线方向垂直点的切线方向垂直（图图11.24a11.24a） ，因，因此，有必要更准确的定义单位矢量此，有必要更准确的定义单位矢量e en n。 2tndvvdtaeetdvadt2nvaxzyPPetet切面切面xzyetet et现在学习的是第九页，共20页密切面密切面xzyPPetet密切面密切面etxzyPeten（在密切面内）（在密切面内）密切面密切面eb（垂直于（垂直于密切面）

7、密切面）结论：质点在：质点在P处的处的加速度可以分解为两加速度可以分解为两个分量，一个沿切线个分量，一个沿切线方向，另一个沿主法方向，另一个沿主法线线eb方向。方向。 xoy面内曲线的密面内曲线的密切面是不是切面是不是xoy面？面？肯定是！现在学习的是第十页，共20页11.1411.14径向和横向分量径向和横向分量在某些平面运动中，质点在某些平面运动中，质点P P的位置，由极坐标的位置，由极坐标r r和和（图（图11.25a11.25a）确定。这样就可以将质点的速度和加）确定。这样就可以将质点的速度和加速度方便的分解到平行于垂直于速度方便的分解到平行于垂直于OPOP的方向上（图的方向上（图11

8、.25b11.25b） 。分量。分量e er r和和e e分别称为径向分量和横向分别称为径向分量和横向分量的单位向量。分量的单位向量。图11.25arPOPO图11.25br=rereer现在学习的是第十一页，共20页与与11.1311.13相似通过求导得到：相似通过求导得到： -e-er r代表与代表与e er r反向的单位向量（图反向的单位向量（图11.25c11.25c）通过微分的）通过微分的连锁规则，我们对连锁规则，我们对e er r， e e关于时间关于时间t t求导求导 rddeerdd ee（11.41）rrdddddtddtdteeerdddddtddtdteeeee e er

9、ererO现在学习的是第十二页，共20页用点来代替关于用点来代替关于t t的导数的导数 为获得质点为获得质点P P的速度的速度v v，P P点的位置矢量点的位置矢量r r可由标量可由标量r r和单和单位矢量位矢量e er r表示，对其两边关于表示，对其两边关于t t求导得求导得或由（或由（11.4211.42）得）得为获得加速度再次对其关于时间为获得加速度再次对其关于时间t t求导求导 reeree（11.42）()rrrdrrrdtveee （11.43）erervr现在学习的是第十三页，共20页联立联立 和和 ，提出，提出e er r和和e e得得速度和加速度在径向和横向的分量的大小为速度

10、和加速度在径向和横向的分量的大小为 特别的注意到特别的注意到a ar r不等于不等于v vr r对时间的导数，对时间的导数，a a也也不等于不等于v v对时间的导数对时间的导数 rrdrrrrrdtvaeeeee2(2)rrrrra)ee（11.44）rvr vr2arr2arr（11.45）（11.46）ee ree现在学习的是第十四页，共20页在质点绕圆心在质点绕圆心O O做圆周运动中，由于做圆周运动中，由于r r为常量，为常量， 公式公式（11.4311.43）和（）和（11.4411.44）分别变为）分别变为 0 rr rve2rrraee以下内容 为扩 展现在学习的是第十五页，共20

11、页质点运动的空间扩展：柱面坐标质点运动的空间扩展：柱面坐标 质点质点P P的空间的空间位置，有时通位置，有时通过它的柱面坐过它的柱面坐标标R,R,，z z（图（图11.26a11.26a）表示表示xzyPRz图11.26a现在学习的是第十六页，共20页方便的用单位向量方便的用单位向量 ， 和和 k k （图（图11.26b11.26b）将质点）将质点P P的位置矢量的位置矢量r r分解到这些单位矢量的方向上，得到分解到这些单位矢量的方向上，得到 和和 分别表示在水平面分别表示在水平面xyxy平面上的径向矢量和平面上的径向矢量和横向矢量，矢量横向矢量，矢量k k 代表轴的方向在方向和大小上的常代表轴的方向在方向和大小上的常量，我们容