裂项相消法求和附答案

1、精品字里行间裂项相消法利用列项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面剩两项，再就是通项公式列项后，有时需要调整前面的系数，使列项前后等式两边保持相等。（ 1）若是 an 等差数列，则11.( 11 )11 .(11 )an an 1d anan 1,2d anan 2an an 2（ 2）1111） nn1n（ n（ 3）1k)1 ( 1n1)n( nknk（ 4）11 (11)（2n 1（)2n 1） 2 2n 1 2n 1（ 5）12)1 1(n1n( n1)(n2n(n 1)1)( n2)（ 6）1n1nn1n（ 7）1k1 (nkn)nnk1

2、.已知数列的前 n 项和为，（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前 n 项和为解析 (1)时 , 得 :放心做自己想做的精品字里行间即3分在 中令, 有, 即， 5分故对2.已知 an是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为 Sn， S4=2S2+8（）求公差d 的值；（）若 a1=1，设 Tn 是数列 的前 n 项和，求使不等式Tn对所有的 nN*恒成立的最大正整数m 的值；解析 （）设数列an的公差为d， S4=2S2+8，即 4a1+6d=2(2a1+d) +8，化简得： 4d=8，解得 d=2 4分（）由a1=1， d=2，得 an=2n-1， 5分= 6分 Tn= ， 8分又不

3、等式 Tn对所有的n N* 恒成立，放心做自己想做的精品字里行间， 分10化简得： m2-5m-60，解得： -1 m6 m 的最大正整数值为6 分123.)已知各项均不相同的等差数列a n的前四项和S4=14,且 a1,a3,a7 成等比数列 .( )求数列 an的通项公式 ;( )设 Tn 为数列的前 n 项和 ,求 T2 012 的值 .答案 ( )设公差为 d,由已知得(3 分)解得 d=1 或 d=0(舍去 ), a1=2. (5 分 )故 an=n+1. (6 分 )()=-,(8 分)Tn= - +-+-= -=. (10 分)T2 012=. (12 分)4.)已知数列 an是

4、等差数列 ,-=8n+4,设数列 |a n| 的前 n 项和为 Sn,数列的前 n 项和为Tn.(1)求数列 an的通项公式 ;(2)求证 : Tn<1.答案 (1)设等差数列 an的公差为d,则 an=a1+(n-1)d. (2 分 ) - =8n+4, (an+1+an)(an+1-an)=d(2a1-d+2nd)=8n+4.放心做自己想做的精品字里行间当 n=1 时,d(2a1+d)=12;当 n=2 时,d(2a1+3d)=20.解方程组得或(4 分)经检验知 ,an=2n 或 an=-2n都满足要求 . an=2n 或 an=-2n. (6 分 )(2)证明 :由 (1) 知

5、:an=2n 或 an=-2n. |a n|=2n.Sn=n(n+1). (8 分 )=-.Tn=1- + - +-=1-. (10 分 ) T<1. (12 分 )n5.已知等差数列an的公差为2,前 n 项和为 Sn,且 S1,S2,S4 成等比数列 .( )求数列 an的通项公式 ;( )令 bn=(-1)n-1,求数列 bn的前 n 项和 Tn.答案 查看解析解析 ( )因为 S1=a1,S2 =2a1 +× 2=2a1+2,S4=4a1+× 2=4a1+12,2由题意得 (2a1+2) =a1(4a1+12),放心做自己想做的精品字里行间解得 a1=1,所以

6、 an=2n-1.( )bn=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1.当 n 为偶数时 ,Tn=-+-=1-= .当 n 为奇数时 ,Tn=-+-+=1+=.所以 Tn=6. 已知点的图象上一点，等比数列放心做自己想做的精品字里行间的首项为，且前项和( ) 求数列和的通项公式；( ) 若数列的前项和为，问的最小正整数是多少？解析 解： ( ) 因为，所以，所以，又数列是等比数列，所以，所以，又公比，所以，因为，又，所以，所以，所以数列构成一个首项为1，公差为1 的等差数列，所以，当时，放心做自己想做的精品字里行间所以. （6分）() 由() 得，（10 分）由得，满足的最小正整数为72

7、. （12 分）7. 在数列，中，且成等差数列，成等比数列（） .（）求，及，由此归纳出，的通项公式，并证明你的结论；（）证明：.解析 （）由条件得，由此可得.猜测. （4分）用数学归纳法证明： 当时，由上可得结论成立. 假设当时，结论成立，即，放心做自己想做的精品字里行间那么当时，.所以当时，结论也成立.由，可知对一切正整数都成立. （ 7 分）（）因为.当时，由（）知.所以.综上所述，原不等式成立. (12 分）8.已知数列的前项和是，且（）求数列的通项公式；放心做自己想做的精品字里行间（） 设，求使成立的最小的正整数的值解析 （ 1） 当时，由，1分当时，是以为首项，为公比的等比数列4分

8、故6分（2）由（ 1）知，8分，故使成立的最小的正整数的值. 分12放心做自己想做的精品字里行间9. 己知各项均不相等的等差数列 an的前四项和 S4=14，且 a1， a3， a7 成等比数列（ I）求数列 an的通项公式；（ II）设 Tn 为数列的前 n 项和，若 Tn¨对恒成立，求实数的最小值解析 122.（）设公差为d. 由已知得3分解得，所以6分（），9分对恒成立，即对恒成立又 的最小值为分1210. 已知数列前项和为 ，首项为，且 ，成等差数列 .（）求数列的通项公式；（ II）数列满足，求证：，放心做自己想做的精品字里行间解析 （）成等差数列 , ，当时，,两式相减得

9、：.所以数列是首项为，公比为2 的等比数列，.（ 6 分）( )， （8分），.（12 分）11.等差数列 an各项均为正整数, a1=3, 前 n 项和为 Sn, 等比数列 bn中 , b1 =1, 且 b2S2=64, 是公比为 64 的等比数列 . ( ) 求 an 与 bn;() 证明:+< .答案 ( ) 设 an的公差为d, bn的公比为q, 则 d 为正整数 ,an=3+(n-1) d, bn=qn-1.依题意有放心做自己想做的精品字里行间由 (6+d) q=64 知 q 为正有理数 , 又由 q= 知 , d 为 6 的因子 1, 2, 3, 6 之一 , 解 得 d=2

10、, q=8.n-1故 an=3+2(n-1) =2n+1, bn=8.( ) 证明 :Sn=3+5+ +(2n+1) =n(n+2) ,所以+=+=< .12. 等比数列 an的各项均为正数, 且 2a1 +3a2 =1,=9a2 a6 .( ) 求数列 an的通项公式 ;( ) 设 bn=log3a1+log3a2+ +log3an, 求数列的前 n 项和 .答案 ( ) 设数列 an的公比为q. 由=9a2a6 得=9, 所以 q2= .因为条件可知q>0, 故 q= .由 2a1+3a2=1 得 2a1+3a1q=1, 所以 a1= .故数列 an的通项公式为an=.( )

11、bn=log3a1+log3a2+ +log3an=-(1+2+ +n)=-,故=-=-2,放心做自己想做的精品字里行间+ =-2+=-.所以数列的前 n 项和为 -.13.等差数列 an的各项均为正数 ,a1=3,其前 n 项和为 Sn,bn为等比数列 ,b1=1,且 b2S2=16,b3S3=60.( )求 an 和 bn;()求+ .答案 ( )设 an的公差为d,且 d 为正数 ,bn的公比为q,an=3+(n-1)d,bn=qn-1,依题意有b2S2=q·(6+d)=16,b3S3=q2 ·(9+3d)=60,(2 分 )解得 d=2,q=2.(4 分 )故 an

12、=3+2(n-1)=2n+1,bn=2n-1.(6 分 ) ( )Sn=3+5+ +(2n+1)=n(n+2),(8分 )所以+=+=(10 分)= -.(12 分 )14.设数列 an的前 n 项和 Sn 满足 :Sn=nan-2n(n-1). 等比数列 bn的前 n 项和为 Tn,公比为 a1, 且 T5=T3+2b5.放心做自己想做的精品字里行间(1)求数列 an的通项公式 ;(2)设数列的前 n 项和为 M n,求证 : Mn< .答案 (1) T5=T3+2b5, b4+b5=2b5,即 (a1-1)b4=0,又 b4 0, a1=1.n2时 ,an=Sn-Sn-1=nan-(n-1)a n-1-4