中线倍长法及截长补短经典讲义

1、图4-1几何证明中常用辅助线（一）中线倍长法：例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。1已知：如图， ABC中，AD 是 BC边上的中线，求证：AD < - 2(AB+AC)小结：涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边 AR AC和两个角/ BAD和/ CAD集中于同一个三 角形中，以利于问题的获解。例2、中线一倍辅助线作法方式1:延长AD到E,使 DE=AD,连接BE方式2:间接倍长方式3:傕CFL AD于F,作BEX AD的延长线于连接BE延长MD到N, 使DN=MD, 连接CD例3、 ABC中，AB=5, AC=3,求

2、中线 AD的取值范围例4、已知在 ABC中，AB=AC, D在AB上，E在AC的延长线上,于 F,且 DF=EF 求证：BD=CE课堂练习： 已知CD=AB, / BDA=/ BAD, AE是4ABD的中线, 求证：/ C=Z BAE作业:1、在四边形 ABCD中，AB/ DC, E为BC边的中点，/ BAE=/ EAF, AF与DC的延长线相交于点F。试探究线段 AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论2、已知：如图， ABC中， C=90 , CM AB于M, AT平分 交CM于D,交BC于T,过D作DE3:已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC延长BE

3、交AC于F, 求证：AF=EFC（二）截长补短法教八年级上册课本中，在全等三角形部分介绍了角的平分线的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，在无法进行直接证明的情形下，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例1.已知，如图1-1,在四边形 ABCD中，BC>AB, AD=DC, BD平分 /ABC求证：/ BAD+/BCD=180分析：因为平角等于180。，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺E少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点

4、E,彳DF± BC于点F,如图1-2 BD平分/ ABC,DE=DF,在 RtMDE 与 RtA CDF 中，DE DFAD CD RtAADE RtCDRHL）,，/ DAE=/DCF又/ BAD+/DAE=180° , . . / BAD+Z DCF=180° ,即/ BAD+Z BCD=180°例2.如图 2-1, AD/ BC,点 E在线段 AB上，/ ADE=/CDE / DCE=Z ECB求证：CD=AD+BC分析：结论是CD=AD+BC,可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在 CD上截取CF=CB, 只要再证DF=DA即可，这就转化为证明

5、两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的.证明：在CD上截取 CF=BC,如图2-2在 FCE与 BCE中，CF CBFCE BCECE CE .FCW BCE (SAS ,./ 2=7 1.又AD/ BC, ./ ADC+Z BCD=180° ,/ DC&/CDE=90，/2+/3=90° , / 1 + 7 4=90° , .3=/4.在 FDE与 ADE中，FDE ADEDE DE34 .FDE ADE (ASA) ,DF=DA, CD=DF+CF,CD=AD+BC例3.已知，如图 3-1 , / 1=/ 2, P 为 BN 上一点，且 PD

6、7; BC于点 D, AB+BC=2BD.求证：/ BAP+Z BCP=180° .让它们是邻补角，即证分析：与例1相类似，证两个角的和是 180。，可把它们移到一起, 明/ BCF=/EAP,因而此题适用“补短”进行全等三角形的构造 .证明：过点P作PE垂直BA的延长线于点 E,如图3-2 / 1=/2,且 PD± BC,PE=PD,在 RtABPE与 RtA BPD 中，PE PDBP BPE RtA BPE RtA BPD(HL),BE=BD. AB+BC=2BD,AB+BD+DC=BD+BE, . . AB+DC=BE 即DC=BE-AB=AE.PE PDPEA P

7、DCAE DC在 RtAAPE与 RtCPD中， RtAAPE RtACPD(SAS)/. / PAE=Z PCD又 / BAP+Z PAE=180° ,./ BAP+Z BCP=180例4.已知：如图 4-1,在 4ABC中，/C= 2/B, /1 =求证：AB=AC+CD.分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化, 即延长AC至E使CE=CD,或在AB上截取AF=AC.证明：方法一（补短法）图4-2延长AC到E,使DC=CE则/ CD巳/ CED如图4-2 / ACB= 2/ E, / ACB= 2/ B,Z B= Z E,在 ABDA AED中，1 2B EAD

8、AD. .AB4 AED （AAS） , . AB=AE图4-3又 AE=AC+CE=AC+DC,AB=AC+DC 方法二（截长法）在AB上截取 AF=AC,如图4-3在 AFD与4ACD中，AF AC1 2AD AD.AF4 ACD （SAS ,- DF=DC, / AFD= ZACD.又 /ACB= 2/B,，/FDB=/B, . FD=FB AB=AF+FB=AC+FD, . . AB=AC+CD.上述两种方法在实际应用中，时常是互为补充，但应结合具体题目恰当选择合适思路 进行分析。让掌握学生掌握好 “截长补短法”对于更好的理解数学中的化归思想有较大的帮 助。作业：1、已知：如图， AB

9、CD是正方形，/FAD=/FAE求证：BE+DF=AE2、五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE=CD, Z ABC+Z AED=180 °,求证：AD 平分/CDED（三）其它几种常见的形式：1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例1、如图1:已知 AD为4ABC的中线，且/ 1 = /2,/3=/4,求证：BE+ CF> EF.2、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图 2: AD为4ABC的中线，且/ 1 = /2, /3=/4,求证：BE+ CF>EF.练习：已知 ABC, AD是BC边上的中线，

10、分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4,求证E已2AD。3、延长已知边构造三角形：例如：如图6:已知AC= BD, AD± AC于A ,求证：AD= BC4、连接四边形的对角线，例如：如图7: AB/ CD,5、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8:在 RtA ABC 中，AB= AC, Z BAO 90° , /1 = /2, CH BD 的 延长于E 。求证：BD= 2CE.6、连接已知点，构造全等三角形。例如：已知：如图9; AG BD相交于。点，且AB= DC,D.8、取线段中点构造全等三有形。例如：如图 10: AB=

11、 DC, /A=/D 求证：/ ABO / DCB.截长补短专题训练作业:1、如图，等腰梯形 ABCD中，AD/BC, AB=DC, E为AD中点，连接 BE, CE (1)求证：BE=CE(2)若/ BEC=90,过点B作BF,CD,垂足为点F,交CE于点G,连接DG,求证：BG=DG+CDCDB2题图2.如图，DABCD中，E是BC边的中点，连接AE, F为CD边上一点，且满足/ DFA=2/BAE.(1)若/D=105°, /DAF=35°.求 / FAE的度数；(2)求证：AF=CD+CF.3、如图，直角梯形 ABCD中，AD/BC, Z B=90°, /

12、 D=45°.(1)若 AB=6cm,sinNBCA二。，求梯形ABCD的面积;5(2)若 E、F、G、H分别是梯形 ABCD的边 AB、BC、CD DA 上一点，且满足 EF=GH / EFH=/ FHG, 求证：HD=BE+BF4、如图，梯形 ABCD中，AD/ BC,点E在BC上，AE=BE且 AU AB,连接 EF.(1)若 EH AF, AF=4, AB=6,求 AE 的长.(2)若点F是CD的中点，求证： CE=B曰AD.5.在 ABCD中，对角线 BD BC , G为BD延长线上一点且ABG为等边三角形,BAD、CBD的平分线相交于点E,连接AE交BD于F ,连接GE.(1)若口 ABCD的面积为9百,(2)求证：AE BE GE.求AG的长;6.已知：如图，在矩形 ABCD中，AP PC. PC交 AD于点 N ,AC是对角线.点P为矩形外 连接DP ,过点P作PM(1)：若 AP.5, AB -BC,求矩形ABCD的面积;(2):若 CD3PM ,求证：AC AP PN.A市DN一点且满足 AP PPD交AD于M .DP 交 DP7、如图，在正方形 ABCD中，点P是AB的中点，连接 D