7.1 非线性系统概述;§7.2相平

1、自动控制原理自动控制原理 自自 动动 控控 制制 原原 理理 教教 学学 组组自动控制原理自动控制原理 本次课程作业本次课程作业(36)7 1, 2(1, 2), 37 4(选作选作)联系并准备实验联系并准备实验 9自动控制原理自动控制原理 （第（第 36 讲）讲）7 7 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 7.1 7.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 7.2 7.2 相平面法相平面法 7.3 7.3 描述函数法描述函数法 7.4 7.4 改善非线性系统性能的措施改善非线性系统性能的措施自动控制原理自动控制原理（第（第 36 讲）讲）7 7 非线性控制系统分析非线性控制系统分析 7.

2、1 7.1 非线性控制系统概述非线性控制系统概述 7.2 7.2 相平面法相平面法 7 7 非线性控制系统分析非线性控制系统分析（1 1） 7.1.17.1.1 非线性现象的普遍性非线性现象的普遍性 非线性是宇宙间的普遍规律非线性是宇宙间的普遍规律 非线性系统的运动形式多样，种类繁多非线性系统的运动形式多样，种类繁多 线性模型是实际系统在特定条件下的近似描述线性模型是实际系统在特定条件下的近似描述7.1.2 7.1.2 控制系统中的典型非线性特性控制系统中的典型非线性特性 （演示）演示） 饱和饱和 死区死区( (不灵敏区不灵敏区) ) 间隙间隙 继电特性继电特性7.17.1概述概述7 7 非线

3、性控制系统分析非线性控制系统分析（2 2）7.1.3 7.1.3 非非线性系统运动的特殊性线性系统运动的特殊性 （1）不满足叠加原理不满足叠加原理 线性系统理论原则上不能运用线性系统理论原则上不能运用 （2）稳定性问题）稳定性问题 不仅与自身结构参数，且与输入，初条件不仅与自身结构参数，且与输入，初条件 有关，平衡点可能不唯一有关，平衡点可能不唯一 nonlinear1nonlinear1 （3）自振运动）自振运动 非线性系统特有的运动形式非线性系统特有的运动形式 nonlinear6nonlinear6 （4）频率响应的复杂性）频率响应的复杂性 跳频响应，倍跳频响应，倍/分频响应，组合振荡分

4、频响应，组合振荡 (混沌混沌)全数字仿真全数字仿真 半实物仿真半实物仿真相平面法相平面法 描述函数法描述函数法波波夫法波波夫法反馈线性化法反馈线性化法微分几何方法微分几何方法7.1.4 7.1.4 非非线性控制系统的分析方法线性控制系统的分析方法 （1）小扰动线性化小扰动线性化 （2）非线性系统研究方法非线性系统研究方法 （3） 仿真方法仿真方法7.27.2 相平面法相平面法（1 1） 7.2.1 7.2.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 相平面：相平面：相轨迹：相轨迹：)1(5)( sssG系统变量及其导数系统变量及其导数随时间变化随时间变化在相平面上描绘出来的轨迹在相平面上描绘出来的轨

5、迹。cc ,由系统某变量及其导数由系统某变量及其导数( (如如 ) )构成的用以描述系统状态的平面。构成的用以描述系统状态的平面。例例1 1 单位反馈系统单位反馈系统 2236. 0236. 2 n)(1)(ttr 相平面、相轨迹和相轨迹图相平面、相轨迹和相轨迹图相轨迹图：相轨迹图：相平面相平面 + + 相轨迹簇相轨迹簇7.27.2 相平面法相平面法（2 2） 7.2.2 7.2.2 相轨迹的性质相轨迹的性质00 xx ( , )00dxf x xdxx 对于线性定常系统，对于线性定常系统，原点是唯一的平衡点原点是唯一的平衡点(3)(3)相轨迹的运动方向相轨迹的运动方向上半平面上半平面: :

6、向右移动向右移动0 x 0 x 下半平面下半平面: : 向左移动向左移动顺时针运动顺时针运动(4)(4)相轨迹通过横轴的方向相轨迹通过横轴的方向( , )00f x xx (2)(2)相轨迹的奇点相轨迹的奇点 (平衡点平衡点)0),( xxfx 设非线性系统方程为：设非线性系统方程为：相轨迹上斜率不确定的点相轨迹上斜率不确定的点(1)(1)相轨迹的斜率相轨迹的斜率( , )dxdx dtf x xdxdx dtx ( , )dxdx dxdxxxf x xdtdx dtdx 相轨迹以相轨迹以90穿越穿越 x 轴轴( , )dxf x xdxx 7.27.2 相平面法相平面法（3 3） 例例2

7、2 设系统方程为设系统方程为 ， 试绘制系统的相轨迹。试绘制系统的相轨迹。02 xxn tdxdxdxdtdxdx 解解xxdxdxn2 xdxxdxn 2 Cxxn 222221 222222ACxxnn 122222 nAxAx 椭圆方程椭圆方程7.2.3 7.2.3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 解析法解析法7.27.2 相平面法相平面法（4 4） 解解例例3 3 系统方程系统方程 , ,用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。用等倾斜线法绘制系统相轨迹图。0 xxx 系统方程系统方程0),( xxfx ),(xxfxdxdxtdxdxdxdx xxxfxdxd),( xxxf),( )(xxxdxd

8、xx xxx)( 1xx 等倾斜线方程等倾斜线方程等倾斜线等倾斜线 相轨迹斜率为常数的曲线相轨迹斜率为常数的曲线xx )1( 7.2.3 7.2.3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 等倾斜线法等倾斜线法7.27.2 相平面法相平面法（5 5） 75.3 19.2 58.1 18.1 82.0 42.0 19.0 75.1 1xx 75. 3 36. 0 2019. 2 84. 0 4058.1 73. 1 6018.1 67. 5 8082. 0 76. 5 10042. 0 73. 1 12019. 084. 0 14075. 136. 0 160 00. 0 180 1 1 11arctan 7

9、.27.2 相平面法相平面法（6 6） 7.2.4 7.2.4 由相轨迹求时间解由相轨迹求时间解BAABABxxxxtt 2ABABxxx 2()BAABABxxtxx 相轨迹相轨迹A-B段的平均速度：段的平均速度： 相轨迹相轨迹A-B段所用的时间：段所用的时间： 7.27.2 相平面法相平面法（7 7） 极点分布极点分布7.2.5 7.2.5 二阶系统的相轨迹二阶系统的相轨迹奇点奇点相迹图相迹图（演示）（演示）中心点中心点稳定的稳定的 焦点焦点稳定的稳定的 节点节点鞍鞍 点点不稳定不稳定的焦点的焦点不稳定不稳定的节点的节点极点分布极点分布奇点奇点相迹图相迹图7.27.2 相平面法相平面法（8

10、 8） 例例4 4 设系统方程为设系统方程为 求系统的平衡点求系统的平衡点xe，并判定平衡点附近，并判定平衡点附近相轨迹的性质。相轨迹的性质。0)5 . 03(2 xxxxx 0 xx 解解 令令0)1(2 xxxx 1021eexx 不稳定焦点不稳定焦点线化线化 0)1()1(5 . 005 . 02xxxxxxx 121xxxxxxxxee 05 . 005 . 0 xxxxxx 015 . 0015 . 022ssss特征特征方程方程s = 0.25j0.970.78s =-1.28鞍点鞍点7.2.6 7.2.6 非线性系统的相平面分析非线性系统的相平面分析(1) (1) 非本质非线性系

11、统的相平面分析非本质非线性系统的相平面分析7.27.2 相平面法相平面法（9 9） 例例5 5 设系统方程为设系统方程为 ，求系统的平衡点，求系统的平衡点xe， 并判定平衡点附近并判定平衡点附近相轨迹的性质。相轨迹的性质。0sin xx 0 xx 解解 令令当当xxxkx sin)2sin(sin 00 xxxx 010122ss特征特征方程方程 11sjs0sin x kxe ex k2xxx sinsin )12( k线化线化 中心点中心点鞍点鞍点课程小结课程小结 7.17.1概述概述 7.1.17.1.1 非线性现象的普遍性非线性现象的普遍性 7.1.2 7.1.2 典型非线性特性典型非

12、线性特性 7.1.3 7.1.3 非非线性系统运动的特殊性线性系统运动的特殊性 7.1.4 7.1.4 非非线性控制系统的分析方法线性控制系统的分析方法7.2 7.2 相平面法相平面法 7.2.1 7.2.1 相平面的基本概念相平面的基本概念 （相平面、相轨迹和相平面图）（相平面、相轨迹和相平面图） 7.2.27.2.2 相轨迹的性质相轨迹的性质 （斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴）（斜率，奇点，运动方向，垂直过横轴） 7.2.3 7.2.3 相轨迹的绘制相轨迹的绘制 （解析法（解析法 ，图解法），图解法） 7.2.4 7.2.4 由由相轨迹求时间解相轨迹求时间解 （增量法）（增量法） 7.2.5