电磁场与电磁波课件

1、第三章 静态电磁场及其边值问题的解李婷主要内容n静电场分析n恒定电场分析n恒定磁场分析n惟一性定理n镜像法3.1 静电场分析n一个源变量n两个场变量电场强度电通密度（或电位移矢量）ReRqE24ReRqD24ED静电场分析的基本变量SSD d q0ll dE0E D积分形式微分形式ED本构方程3.1.1 静电场的基本方程和边界条件1. 基本方程 的法向分量边界条件的法向分量边界条件 (the normal component) D 为分界面上自由电荷面密度，不包括极化电荷。为分界面上自由电荷面密度，不包括极化电荷。 s若边界面上不存在自由电荷，则若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。法向连续

2、。 DsDD1n2n 的切向分量边界条件的切向分量边界条件 (the tangential component) E2n1nDD在两种媒质分界面上，在两种媒质分界面上， 切向连续。切向连续。 E2t1tEE 2. 边界条件n221n1EE22t1t 1DD3.1.2 电位函数n电位：静电场中，单位正电荷自某点移至无限远处电场力所作的功，称为该点的电位。n定义式：n如果Q点是电位参考点，则Pl dEQPPl dEn电位是相对值。n通常只要全部电荷都处在有限空间区域内，选取无限远作为参考点，可带来很大的方便。n点电荷在真空中产生的电位rrRrqRqdRl deRq144402020电位的计算也满足

3、叠加原理niiiRq1041以无穷远为参考点时， n个点电荷产生的电位：n体电荷，面电荷和线电荷分布形成的电位：llSRdlRdSRd0004141411. 电场强度与电位的关系n在球坐标系中erererrsin11Eerqerqrrr20044Erq04n电位与电场强度的关系n利用 ，已知电荷求场强。如果高斯面找不出来，或高斯面不规则，矢量积分就很困难n这时就可以用 求场强n注意：如果已知求E，则E是唯一的如果已知E求，则不是唯一的。必须通过无穷远点的=0来确定唯一的。 ESSE d q ENoImage 无限长线电荷的电位无限长线电荷的电位 EPQP02lrEer0(lnln)2lPQPr

4、r 电位参考点不能位于无穷远点，否则表电位参考点不能位于无穷远点，否则表达式无意义。达式无意义。 根据表达式最简单原则，选取根据表达式最简单原则，选取r =1柱面柱面为电位参考面，即为电位参考面，即1Qr 得：得：0ln2lPPr 无限长线电流在空间中产生的电位无限长线电流在空间中产生的电位 2. 电位的微分方程电位的微分方程n高斯定理的微分形式n电位与电场强度的关系n真空中的泊松方程n当 时，即场中无电荷分布，则0 E E02002真空中的拉普拉斯方程 电位边界条件电位边界条件 (electric potential boundary condition) 在介质边界两边，电位分布同样遵照某

5、种规律变化，这种在介质边界两边，电位分布同样遵照某种规律变化，这种变化规律即为电位的边界条件。变化规律即为电位的边界条件。 tnEtEn tnEeetn ttnnEE eE e2121Snnn由21120ttEE120tt120电位边界条件电位边界条件 sDD1n2nsEE1n1n22n电位的边界条件Snn112221n如果分界面上没有自由面电荷，则01122nn21n如果第二种媒质为导体，则Sn11常数1例n半径为a的带电导体球，已知球体电位为U（无穷远处电位为0），计算球内外空间的电位函数和电场强度。n解：球外空间的电位满足拉普拉斯方程，边界条件是r=a，=U；r，=0。电位及其电场均具有

6、对称性，建立球坐标系NoImage解：导体球是等势体。解：导体球是等势体。ra时：时：0UE ra时：时：200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr 2raUer22222222sin1sinsin11rrrrrr)()(n例：两块无限大接地导体平板分别置于x=0和x=a处，在两板之间的x=b处有一面电荷密度为S0的均匀电荷分布。求两导体平板之间的电位和电场。abOxy)(1x)(2x解：在两块无限大接地导体平板之间，除x=b处有均匀电荷分布外，其余空间无电荷分布，所以电位满足拉普拉斯方程0d)(d212xx0

7、d)(d222xx方程的解为111)(DxCx222)(DxCx利用边界条件0)0(01x0)(2aax)()(21bbbx02010)()(SxxxxbxSnn22112101D2211DbCDbC022 DaC0021SCC0202222222zyxabaCS001)(01DabCS002002bDS最后得111)(DxCx222)(DxCxxabaxS001)()()()(002xaabxSabaeSx00)()()(11xxExxexd)(d1)()(22xxExxexd)(d2abeSx00n例：有一厚度为d，体密度为的均匀带电无限大平板。求空间I、II、III区域内的电位与电场强度

8、分布。n解题步骤：建立坐标系选择电位参考点列方程，求解根据边界条件确定待定常数0d)(d212xx0d)(d232xx111)(DxCx333)(DxCx方程的解为0222d)(dxx022222222zyx222022)(DxCxx直角坐标系坐标原点d/2-d/2Oxy)(1x)(2x)(3xIIIIII02利用边界条件002x002xx322dx022010 xxdx02C220211282DCddDCdd/2-d/2Oxy)(1x)(2x)(3xIIIIII212dx023020 xxdx111)(DxCx333)(DxCx222022)(DxCxx02D2012CdC332202228

9、DCdDCdd3202CCdSnn221121所以020182)(dxdx2022)(xx020382)(dxdx电场强度为02dex)()(11xxExxexd)(d1)()(22xxExxexd)(d2xdex002dex)()(33xxExxexd)(d3d/2-d/2Oxy)(1x)(2x)(3xIIIIII3.1.3 电容（电容（capacity） 由物理学得知，平板电容器正极板上携带的由物理学得知，平板电容器正极板上携带的电量电量 q 与极板间的电位差与极板间的电位差 U 的比值是一个常数，的比值是一个常数，此常数称为平板电容器的此常数称为平板电容器的电容电容，即电容为，即电容为

10、UqC 电容的单位电容的单位F（法拉）太大。例如半径大如地（法拉）太大。例如半径大如地球的弧立导体的电容只有球的弧立导体的电容只有 F。实际中，。实际中，通常取通常取 F （微法）及（微法）及 pF （皮法）作为电容单（皮法）作为电容单位。位。310708. 0F10pF 1 F,10F11261. 双导体的电容计算双导体的电容计算n常用传输线，如平行板线、平行双导线、同轴电常用传输线，如平行板线、平行双导线、同轴电缆都是双导体系统缆都是双导体系统n通常，它们的纵向尺寸远大于横向尺寸通常，它们的纵向尺寸远大于横向尺寸n因而，可作为平行平面电场（二维场）来研究，因而，可作为平行平面电场（二维场）

11、来研究，只需计算传输线单位长度的电容。只需计算传输线单位长度的电容。n计算步骤如下：计算步骤如下：根据导体的几何形状，选取适当的坐标系根据导体的几何形状，选取适当的坐标系假定两导体上分别带电荷假定两导体上分别带电荷+q和和-q根据假定的电荷求出根据假定的电荷求出E由由 求得电位差求得电位差求出比值求出比值C=q/U21l dE例例 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为 a，外导体的内半径为，外导体的内半径为b，内外导体之，内外导体之间填充介质的介电常数为间填充介质的介电常数为 。试求单位长度内外导体之间的电容。试求单位长度内外导体之间的电容。 解解 由于电场强度一定垂直于导体表面，

12、因此，由于电场强度一定垂直于导体表面，因此，同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又同轴线中电场强度方向一定沿径向方向。又因结构对称，可以应用高斯定律。因结构对称，可以应用高斯定律。 ab 设内导体单位长度内的电量为设内导体单位长度内的电量为q，围绕，围绕内导体作一个圆柱面作为高斯面内导体作一个圆柱面作为高斯面S，则，则Sq dSE那么内外导体之间的电位差那么内外导体之间的电位差 U 为为 baabqrEU ln2d因此同轴线单位长度内的电容为因此同轴线单位长度内的电容为 abUqCln2rrqeE2例：半径为例：半径为a的带电导体球，求该导体球的电容。的带电导体球，求该导体球的电容。解：导体球

13、是等势体，设导体球的电位是解：导体球是等势体，设导体球的电位是U。ra时：时：200r arU221()00r arddrr drdrU120r arccrU aUrE ()()sinreeaUerrrr 2raUerUqC ED0reraU 20aU0arD24 aqUa04aUqC04 对于多导体之间的电容计算，需要引入对于多导体之间的电容计算，需要引入部分部分电容电容概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅概念。多导体系统中，每个导体的电位不仅与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电与导体本身电荷有关，同时还与其他导体上的电荷有关，因为周围导体上电荷的存在必然影响周荷有关，因为周围导体上

14、电荷的存在必然影响周围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们围空间静电场的分布，而多导体的电场是由它们共同产生的。所谓共同产生的。所谓部分电容部分电容，是指多导体系统中，是指多导体系统中，一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构一个导体在其余导体的影响下，与另一个导体构成的电容。成的电容。 2. 部分电容部分电容NoImage部分电容部分电容若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容若电容器由多个导体构成。则电容器之间、导体与地之间均存在电容 单个导体上的电量单个导体上的电量qC 两个导体存在，且考虑大地影响时，相当于两个导体存在，且考虑大地影响时，相当于3 3个导体的情

15、况，其个导体的情况，其中一个导体上的电量为中一个导体上的电量为 11212111qCC其中其中C12为导体为导体1,21,2间的电容，间的电容，C11为导体与大地间的电容为导体与大地间的电容 N个导体存在，导体个导体存在，导体i上的电量与它和其它导体之间的电位差上的电量与它和其它导体之间的电位差（包括大地）有关，即有（包括大地）有关，即有 12311C33C22C12C23C13C式中：式中：iiC导体与地之间电容，称导体自电容导体与地之间电容，称导体自电容ijC导体之间的电容，称导体互电容导体之间的电容，称导体互电容ijjiCC说明：说明：3.1.4 电场能量电场能量 1. 1. 空间总电场

16、能量空间总电场能量空间电荷分布为空间电荷分布为 ，在空间中产生电位为，在空间中产生电位为 。( )r( )r空间中总电场能量为：空间中总电场能量为：1( ) ( )2eVWrr dV 此公式只适用于静电场能量求解；此公式只适用于静电场能量求解； 公式中公式中 不表示电场能量密度；不表示电场能量密度；12 为空间中自由电荷分布；为空间中自由电荷分布；( )r 积分范围积分范围 为整个空间，但可退化到电荷分布区域。为整个空间，但可退化到电荷分布区域。V关于空间总电场能量的说明：关于空间总电场能量的说明： 分布电荷总能量分布电荷总能量NoImage12eWq 若电量为若电量为q的电荷分布在导体上，导

17、体电位为的电荷分布在导体上，导体电位为 ，则空间中总静，则空间中总静电场能量为：电场能量为：对带电多导体系统对带电多导体系统12eiiiWq式中：式中： 为为 导体上所带电量；导体上所带电量；iqi 为为 导体电位；导体电位；ii 带电导体系统总能量带电导体系统总能量注意：上面所有的电荷都是指自由电荷，不包括束缚电荷。注意：上面所有的电荷都是指自由电荷，不包括束缚电荷。VWVd 21eED2. 2. 电场能量密度电场能量密度ED21ew对于各向同性的线性介质，对于各向同性的线性介质， ，代入后得，代入后得 ED 2e 21Ew则电场的总能量为则电场的总能量为 由边界条件知在边界两边由边界条件知

18、在边界两边 连续。连续。E解：设同轴线内导体单位长度带电量为解：设同轴线内导体单位长度带电量为 110(2)rl ErlEQ110(2)lrEer 110ln(2)blabUE dra 同轴线内外导体半径分别为同轴线内外导体半径分别为a, ,b，导体间部分填充介质，导体间部分填充介质，介质介电常数为介质介电常数为 ，如图所示。已知内外导体间电压为，如图所示。已知内外导体间电压为U。求：导体间单位长度内的电场能量。求：导体间单位长度内的电场能量。例例 110(2)lnlnlUba (lnln )rUEeba rlb01aSSD d q两种方法求电场能量：两种方法求电场能量：或应用导体系统能量求解

19、公式或应用导体系统能量求解公式12eiiiWqU12ellWU110(2)lnlnlUba 21101(2)2 (lnln )Uba 12eWQU212eWCU知识延展：知识延展：对于由导体系统组成的电容器，其总电场能量可采用如下方法求解对于由导体系统组成的电容器，其总电场能量可采用如下方法求解3.2 导电媒质中的恒定电场分析导电媒质中的恒定电场分析恒定电场：恒定电流恒定电场：恒定电流( (运动电荷运动电荷) )产生的电场。产生的电场。一、恒定电场的基本方程一、恒定电场的基本方程恒定电场的基本量：恒定电场的基本量：EJ电流连续性方程：电流连续性方程：0Jt00tJ 恒定电场仍然是保守场，因此恒定电场仍然是保守场，因此