矩阵的初等变换与初等矩阵

1、 一、 二、矩阵的标准形 三、初等矩阵的概念 四、初等矩阵的应用定义定义1下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵的初等行变换初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调jirrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 k）记记作作行行乘乘（第第krkii , .3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的jikrrikjk 定义定义2 矩阵的矩阵的初等列变换初等列变换与与初等行变换初等行变换统称统称为为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换

2、的逆变换仍为初等变换, 且变换类且变换类型相同型相同 同理可定义矩阵的同理可定义矩阵的初等列变换初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)jirr kri 逆变换逆变换;jirr 逆变换逆变换;)1(krkrii 或或jikrr 逆变换逆变换.)(jijikrrrkr 或或等价关系的性质：等价关系的性质：；反反身身性性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对称性对称性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（等等价价，记记作作与与就就称称矩矩阵阵，矩矩阵阵经经有有限限次次初初等等变变换换变变成成如如果果矩矩阵阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价关系具有

3、上述三条性质的关系称为等价关系二、矩阵的标准形二、矩阵的标准形 97963422644121121112B197963211322111241211B 21rr 23 r看一个例子看一个例子:331000620000111041211B 979632113221112412111B13322rrrr 143rr 234330635500222041211B 13322rrrr 143rr 23252rrr 243rr 5 00000310003011040101B 310006200001110412113B43rr 342rr 4 00000310000111041211B 43rr 342

4、rr 21rr 32rr 特点特点:（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；5 00000310003011040101B （2）、每个台）、每个台阶阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元(称为首非零元称为首非零元)矩阵矩阵B4和和B5都称为都称为行阶梯形矩阵行阶梯形矩阵. .1 5的的其其他他元元素素都都为为零零列列，且且这这些些非非零零元元所所在在的的零零行行的的第第一一个个非非零零元元为为即即非非

5、还还称称为为行行最最简简形形矩矩阵阵，行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵B.,A nm和和行行最最简简形形变变换换把把他他变变为为行行阶阶梯梯形形总总可可经经过过有有限限次次初初等等行行对对于于任任何何矩矩阵阵 行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标准形准形 000003100030110401015 B214ccc 3215334cccc 例如，例如，F 00000001000001000001 0000030100310104100143 cc 00000301003001040001.的的标标准准形形称称为为矩矩阵阵矩矩阵阵BF.为为零零阵阵，其其余余元元素素

6、全全的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩F标标准准形形总总可可经经过过初初等等变变换换化化为为矩矩阵阵 Anm nmrOOOEF .,的的行行数数行行阶阶梯梯形形矩矩阵阵中中非非零零行行就就是是三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由rrnm特点：特点： 若若AB,则则A与与B有相同的标准形有相同的标准形. 设设A是是n阶方阵阶方阵,经初等变换后化为经初等变换后化为B, 则当则当|A|0时时必有必有|B|0,当当|A|=0时必有时必有|B|=0. 由此由此,对于对于n阶可逆方阵阶可逆方阵A,它的标准形它的标准形F也也可逆可逆,故故F是是n阶单位矩阵阶单位矩阵En; 反之反

7、之,若若n阶方阵阶方阵A的标准形的标准形F=En,则则A可逆可逆. 因此因此,我们有我们有定理定理 n阶方阵阶方阵A可逆的充分必要条件是可逆的充分必要条件是A的标的标准形为准形为n阶单位矩阵阶单位矩阵,即即AEn.定义定义 由单位矩阵由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵阵称为初等矩阵. .E三种初等变换对应着三种初等方阵三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛用广泛.三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以数数乘乘某某行行或

8、或某某列列；以以数数对对调调两两行行或或两两列列；kk. 30. 2. 1，得得初初等等方方阵阵两两行行，即即中中第第对对调调)(,jirrjiE对对调调两两行行或或两两列列、1 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 j，得得左左乘乘阶阶初初等等矩矩阵阵用用nmijmaAjiEm )(),( mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第i行行第第 j).( jirrjiAA行行对对调调行行与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，

9、AjiEnn),( mnmimjmnijnijnaaaaaaaaaaaajiAE12222111111),().( jiccjiAA列列对对调调列列与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵 02乘乘某某行行或或某某列列、以以数数 k).()(0 kiEkriki矩矩阵阵，得得初初等等行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数 1111)(kkiE行行第第i；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)(kriAki mnmminiinmaaakakakaaaaAkiE212111211)(行行第第i类类似似地地，左乘矩阵左乘矩阵以以AkiEm)( ).(

10、)(kciAkAkiEin 列列的第的第乘乘相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(03 k，列上列上列加到第列加到第的第的第乘乘或以或以行上行上行加到第行加到第的第的第乘乘以以)()( ijjikccjiEkkrrijEk 1111)(kkijE行行第第i行行第第j，左左乘乘矩矩阵阵以以AkijEm)( mnmmjnjjjninjijinmaaaaaaaakaakaaaaaAkijE2121221111211)().(jikrrikjA 行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第相相当当于于把把 ).()(ijnkc

11、cjkiAAkijE 列列上上加加到到第第列列乘乘的的第第把把，其其结结果果相相当当于于右右乘乘矩矩阵阵类类似似地地，以以 mnmimjmimnijinijinakaaaaakaaaaakaaaakijAE1222221111111)( 定理定理1 1 设设 是一个是一个 矩阵，对矩阵，对 施行一施行一次初等行变换，相当于在次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于施行一次初等列变换，相当于在在 的右边乘以相应的的右边乘以相应的 阶初等矩阵阶初等矩阵. .nm mnAAAAA四、初等矩阵的应用四、初等矩阵的应用初等变换初等

12、变换初等矩阵初等矩阵初等逆变换初等逆变换初等逆矩阵初等逆矩阵 ),(),(1；则则的的逆逆变变换换是是其其本本身身，变变换换jiEjiErrji );1()(11kiEkiEkrkrii 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换. )()()(1kijEkijErkrkrrjiji 则则，的的逆逆变变换换为为变变换换定理定理2 2 设设A A为可逆方阵，则存在有限个初等方阵为可逆方阵，则存在有限个初等方阵.,2121llPPPAPPP 使使证证 , EA使使即存在有限个初等方阵即存在有限个初等方阵,21lPPPAPEPPPPlrr 121.PPPAl21 即即.,: BPAQQnPmBAnm 使使阶

13、可逆方阵阶可逆方阵及及阶可逆方阵阶可逆方阵存在存在的充分必要条件是的充分必要条件是矩阵矩阵推论推论,AE 经经有有限限次次初初等等变变换换可可变变故故利用初等变换求逆阵的方法：利用初等变换求逆阵的方法：，有有时时，由由当当lPPPAA21 0 ,11111EAPPPll , 111111 AEPPPll及及 EPPPAPPPllll1111111111 1 AE EAPPPll11111 . )(2 1 AEEAEAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对. ,343122321 1 AA求求设设 解解例例 103620012520001

14、321 100343010122001321EA122rr 133rr 21rr 23rr 11110001252001120121rr 23rr 111100563020231001312rr 325rr 312rr 325rr ）（22 r）（13 r.111253232311 A 11110025323010231001）（22 r）（13 r . 1BA 矩阵矩阵的方法，还可用于求的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵利用初等行变换求逆阵E)()( 11BAEBAA )(BABA1 即即初等行变换初等行变换例例.341352,343122321 , BABAXX，其中，其中使使求矩阵求

15、矩阵解解.1BAXA 可可逆逆，则则若若 343431312252321)(BA 1226209152052321 311009152041201 311006402023001122rr 133rr 21rr 23rr 312rr 325rr ， 311003201023001.313223 X）（22 r）（13 r 311006402023001312rr 325rr .1 CAY即即可可得得作作初初等等行行变变换换，也也可可改改为为对对),(TTCA , 1作作初初等等列列变变换换，则则可可对对矩矩阵阵如如果果要要求求 CACAY,CA 1 CAE列变换列变换),)( ,(),1TTT

16、TCAECA （行变换行变换TT1C)( AYT即可得即可得,C)(T1 TA.Y即可求得即可求得. ,1000110011102222A1, njiijAAn式式之之和和中中所所有有元元素素的的代代数数余余子子求求方方阵阵已已知知解解例例3 3, 02 A.可逆可逆A.1* AAA且且 10001000010011000010111000012222EA 100010001100010001100010001210001行变换行变换,100011000110001211 A,21* AA njiijA1,故故. 1)1()1(21 2 nn小结小结1. 1. 单位矩阵单位矩阵 初等矩阵初等矩阵. .一次初等变换一次初等变换2. 利用初等变换求逆阵的步骤是利用初等变换求逆阵的步骤是: ;1 EAEA或或构构造造矩矩阵阵 .,(,211 AEEAEAAEEAEA对应部分即为对应部分即为后后划为单位阵划为单位阵将将变换变换施行初等列施行初等列或对或对对应部分即为对应部分即为右边右边后后化为单位矩阵化为单位矩阵将将施行初等行变换