阿贝尔分部求和公式地推广与应用

1、WORD格式关于阿贝尔分部求和公式引理 Abel 变换设 an, bnp1是两数列，记 Bki1bi k 1,2,. ，那么pp 1k 1akbka pbpak 1 ak Bkk 1证明：把等式左边展开得 :pakbkk 1pa1B1k 2 ak BkBk 1ppa1B1k 2 ak Bkk 2 ak Bk 1p1p 1k 1 ak Bkk 1 ak 1 Bkap B pa pB pp 1ak 1 ak Bkk 1上式也称为分部求和公式a5a4a3a2a1上B1B2B3B4B5图是当an0,bn0 ，且an单调增加时， Abel 变换的直观的示意图中矩形0, B50, a5被分割成9个小矩形，

2、根据所标出的各个小矩形的面积，即得到p=5 的 Abel 变换：54ak 1 ak Bkk 1 akbka5 B5k 1事实上， Abel 变换就是离散形式的分部积分公式记 G xxg (t)dt , 那么分a专业资料整理WORD格式部积分公式可以写成专业资料整理WORD格式bf (x) g( x)dx f (b) G(b)baa G (x)df x 将数列的通项类比于函数，求和类比于求积分，求差类比于求微分，ak 1ak对应于 dfx ，那么两者是一致的三阿贝耳分部求和公式的推广及应用一关于数论方面的推广和应用定理 1设 x1，b( n)是一个数论函数，B xn xb n 再设 a x 是区

3、间x1 , x2上的连续可微函数，x2 >x10. 那么有a n b na x1 B x1x2 B x a ' x dx xnxa x2 B x2x112证明：设 n1 x1， n2 x2我们有约定 B 0 0a(n)b(n) =a n b nx1n x2x1<n n2n2= B n B n 1 a nn n11n21= B n1 a n1 1 B n a n 1 a n +Bn2an2n n11n21n 1a ' x dx Bn2an2=B n1a n11B nnn n11 B n1 a n1 1nB x a ' x dx B n2a n22n11此外还有

4、专业资料整理WORD格式n11B x a ' x dx Bn11xx2B x a ' x dx Bn22nan11 ax1.ax2a n2.专业资料整理WORD格式注意到 B x Bn， Bx Bn，由以上三式即得公式成立1122由阿贝耳求和公式可知，如果我们知道了数论函数bn的均值 B x 的渐专业资料整理WORD格式进公式，那么，对于满足适当条件的函数ax，数论函数bn a n的均值的渐进公式有可能通过定理公式得到。二关于阿贝耳引理及其推广和应用1 关于级数收敛性问题定理 2 (Abel 引理 )设1ak为单调数列； 2BkBkkbi,kM>0,对一切 k，成i 11

5、,2,. 为有界数列，即存在立Bk M ，那么pk 1 akbkM a12 ap证明：由 Abel 变换可得，pp 1p 1k 1 akbkap B pk 1ak 1 a k BkM apk 1ak 1 ak由于 ak 单调，所以专业资料整理WORD格式p 1k 1pak 1 ak ap a1专业资料整理WORD格式akbkMa12 apk1定理 1 级数的 Abel 判别法an 单调有界，bn 收敛，那么级数bnn 1n 1 an敛证明：设anM ，由于收敛，那么对于任意给定的0，存在正整n 1 bn数 N，使得对于一切 n>N和 pN ,成立p nbk.k 1 n专业资料整理WORD

6、格式p n对于 k1 n bkak应用Abel引理，即得p nk 1 n bkakan 12 ap n3M .定理2 阿贝耳定理设 n0ans,那么x1 n0an xn s.lim证明：容易看出nf ( x)在 0x1 上为一致收敛事实上，对a n xn0np任给正数，有 N 使得当 n>N 时knak从而由阿贝耳引理可知同时有n pnk nak xkx，只要 0 x1 因此由函数数项级数的连续性定理可得limf ( x) f(1) s.x1定理 2(级数乘法原理 )令 cna0bna1bn1. anb0又设级数an,bn ,cn都收敛那么n 0 cnn 0 ann 0 bn证明：因为绝

7、对收敛的级数可以相乘，因此nnn 0 bn xnn 0 cn xn 0 an xs1( x)s2( x) 0 x1 于是由阿贝耳定理便可得到limn lim(x)s2( x) lim( x)lim(x)n 0cnx 1n 0cnxx1 s1x 1s1x 1s2 s1(1)s2(1)n0 ann 0 bn例题 1试证112111111111111.2 (1.)2(1)12312342332454专业资料整理WORD格式n1证明：应用阿贝耳关于级数乘法的定理， 取 an bn 1 n=1,2,3, ,na0 =b0 =0, 那么有cn a1bn 1a2bn 2 an 1b1n1n ，此处111.1

8、(n2)nn 1 11 n 1 2 n 2 3 n 3显然有nn =(1+1)+(2+1)+ +(1+1)nn 21n 1=2(1+1 +1) 2ln n2+o(1) (n)2n 1其中 为欧拉常数于是0 又因为n n+1n 1 nn 2nn 12 >0n n n 1 n 1n+1n 1n n =n故得n0 cnn1n从而由莱布尼兹收敛判别法可见级数n 02n 是收敛的，最后由级数乘法原理可知该命题是成立的例题 2设0,0, p 0试证二重级数cos mnm,nmnp为收敛的分析：不难看出sm,nmn4 cos1cos 1cos kjk 1j 122以及专业资料整理WORD格式m 1bm

9、,n bm 1,nmp dx0 ，p 1xn专业资料整理WORD格式bm,n bm,n 1 bm 1,n 1m 1n 1p( p1)=dxp 2dy 0 ，mnxyp专业资料整理WORD格式其中bm, n mn0 当 m+n时专业资料整理WORD格式2关于级数求和问题例题 11111.=ln2.234n 11证明: 当0x1 时，可得nln(1+x)1nxn 11n 1故得1 limnlimln(1+x) ln2.nnx1x 1 1x 1例题 2 设a1,b1,ab.求证xab111x dxn 1 n a n bb a 01 x证明：显然左端的级数是收敛的，把它写成1111，n 1 n a n

10、 b.n a n bb a n 1而作函数f (x) 1xn an baxb x1ba1nn从而11abf '(x) xn a 1xn b 1xx b ab a 11 x 1 x由于 f (0) 0,故xab1( tt ) dt 0x 1 f (x) 10bat专业资料整理WORD格式因此，应用定理便可得到要证明的等式专业资料整理WORD格式三关于连续变量的阿贝耳分部求和公式及其应用当下标 n 变成连续变量时，与和差变换相应的是分部积分公式，与阿贝耳引理相应的是鲍纳的积分中值定理 我们已经熟悉掌握了黎曼积分的初步知识，所以这里可以把一些命题变成较一般的形式定理 1分部积分法 设黎曼积分

11、bb( x)df (x) 存在，那么f ( x)d ( x) 也存在，aa并且有分部积分公式bbbaf ( x)d (x) f ( x) ( x)aa( x)df ( x) 证明：以表示 a,b 的任意划分：a=x0x1x2.xn =b,并记 max( xvxv1)1vn . 应用和差变换于积分和nxkxk 1,fk，k 1其中计值点组,.n适合 xk1kxkk=1,2, ,n , 我们12得到,n1(xk) f (xn) f ( x0) f ( 1)k1k 1)f ( k )n )n1x(a) f ()f (a)1(k) f (k1)f ( k)1k(b) f (b)f ()(b) f (b

12、)(a) f (a)n,(b) f (b)(a) f (a) ，其中为划分 a012.nnb ，1而计值点组(a, x1, x2., xn1, b)，于 是,为 积 分b(x)df (x)的积分和，并且amax(vv 1 )2(1vn1)所以令0 时，便得b( x) lim,lim,(b) f (b)(a) f (a)f (x)d专业资料整理WORD格式a00专业资料整理WORD格式b(a) f ( a)( x)df ( x) (b) f (b)a注意：假设 f (x) 连续而(x) 为有界变差的函数，那么积分b(x) 存在f (x)da( x) 为连续而 f ( x) 为有界变差时，积分b(

13、 x) 也存在而由本命题可知，当f ( x)da定理 2第一中值定理设( x) 为一单调函数而f ( x) 为实值连续函数，那么有中值公式bf ( x)d( x) f ( )(b)(a)ab a提示：此命题的证法与通常黎曼积分的中值公式证法相似定理 3第二中值定理设在 a,b 上(x) 为一实值连续函数而f ( x) 为一单调函数那么必有 , ab ，使得bbf ( x)d ( x) f (a)d ( x) f (b)d (x) aa提示：应用分部积分公式后再应用第一中值定理即得例题 1 设g1( x) 和g2( x) 满足xxa g1(t)dta g2(t )dt( a x b)bba g1

14、(t)dta g 2(t) dt又设 f ( x) 为非增函数，那么bb专业资料整理WORD格式a f (x)g1(x)dxaf (x)g 2( x)dxxg1证明：令 G(t)=a g2(t )(t ) dt ,那么G(x) 0 ( a x b) .G(a)=G(b) =0,所以有bbba f (t)g 2(t) dt af (t)g1(t )dtaf (t )d G(t)b f (t )G(t ) baaG (t) df (t )b0 G (t)df (t )abf (t) dtbaf (t ) dt1式中例题 2 不等式baf (t ) g(t )dta对每一个不增的函数f (t)都成立

15、的充分必要条件是函数bg(t)dt ag (t ) 对所有专业资料整理WORD格式x a,b 满足专业资料整理WORD格式0bbx 且xa(2)g (t )dt0g(t)dt xxa证明：必要性：设 f (t )1( t x )xa a给出g(t )dtx0( t x )，那么不等式 (1)ab0g(t )dtx(4)设 ax b ，那么有 (4) 得( x a)x) +b0 .g(t )dt =( x ag (t )dtax设 ax a，那么有 3得bx x a a xg(t)dt g (t)dtxa所以 3和 (4)对所有的 x a,b 都成立同样可证xbb xg(t)dt0 ，g (t )dtax对于所有的 x a,b 成立成立xa，3( axb ),0专业资料整理WORD格式所以当不等式 1对所有的不增的f (t ) 成立时不等式(2)成立专业资料整理WORD格式充分性：由可得abaaf (t ) dtaf (t) g (t )dt ab) f (t ) g (t)dtf