工程测量ppt第五章测量误差的基本知识

1、第五章第五章 测量误差的基本知识测量误差的基本知识5.1 测量误差及其分类 一 、测量误差及其来源 观测误差来源于三个方面：观测误差来源于三个方面： 观测者视觉鉴别能力和技术水平；观测者视觉鉴别能力和技术水平； 仪器、工具的精密程度；仪器、工具的精密程度； 观测时外界条件的好坏。观测时外界条件的好坏。 三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件将影响观测成果的精度。观测条件相同的各次观测称为成果的精度。观测条件相同的各次观测称为等精度观测等精度观测；观测条件不相同的各次观测，称为观测条件不相同的各次观测，称为非等精度观测非等精度观测。 一般认为，

2、在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至一般认为，在测量中人们总希望测量误差越小越好，甚至趋近于零。趋近于零。 在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的在实际生产中，据不同的测量目的，允许含有一定程度的误差误差二 测量误差的分类根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差根据性质不同，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。两类。（1 1）系统误差）系统误差在一定的观测条件下进行一系列在一定的观测条件下进行一系列观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，观测时，符号和大小保持不变或按一定规律变化的误差，称为系统误差。称为系统误差。系统误差具有积累性，对测量结果影响很大系统误差

3、具有积累性，对测量结果影响很大。二 测量误差的分类在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方在测量工作中，应尽量设法消除和减小系统误差。方法有：法有：在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或在观测方法和观测程度上采用必要的措施，限制或削弱系统误差的影响削弱系统误差的影响。找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系找出产生系统误差的原因和规律，对观测值进行系统误差的改正统误差的改正。将系统误差限制在允许范围内将系统误差限制在允许范围内。二 测量误差的分类(2)(2)偶然误差偶然误差在一定的观测条件下，对某量进行一系列观在一定的观测条件下，对某量进行一系列观测时，符号和大小均不一定，这种

4、误差称为偶然误差。测时，符号和大小均不一定，这种误差称为偶然误差。产生偶然误差的原因往往是产生偶然误差的原因往往是不固定的不固定的和和难以控制难以控制的。的。系统误差系统误差能够加以改正，而能够加以改正，而偶然误差是不可避免偶然误差是不可避免的，的，并且是消并且是消除不了的除不了的。从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性从单个偶然误差来看，其出现的符号和大小没有一定的规律性，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且，但对大量的偶然误差进行大量统计分析，就能发现规律性，并且误差个数越多，规律性越明显。误差个数越多，规律性越明显。三 偶然误差的特性在测量工作中，观测

5、的对象如长度在测量工作中，观测的对象如长度 角度和高差等，称为角度和高差等，称为观测观测量量。任一个观测量，客观上存在着一个能代表其真正大小的数值，任一个观测量，客观上存在着一个能代表其真正大小的数值，称为该量的称为该量的“真值真值”。测量所获得的数值称为测量所获得的数值称为观测值观测值。进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上进行多次测量时，观测值之间往往存在差异。这种差异实质上表现为表现为观测值观测值与其与其真实值真实值( (简称为简称为真值真值) )之间的差异，这种差异称为之间的差异，这种差异称为 真误差真误差，简称误差。，简称误差。i i=L=Li i-X-X式中式中i

6、i就是观测误差，通常称为就是观测误差，通常称为 真误差，简称误差。真误差，简称误差。 几个概念几个概念三 偶然误差的特性例如某一测区在相同观测条件下观测了例如某一测区在相同观测条件下观测了358个三角形的全部内角个三角形的全部内角。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等。由于观测值含有偶然误差，故平面三角形内角之和不一定等于真值于真值180三 偶然误差的特性以误差大小为以误差大小为横坐标，以频率横坐标，以频率k/n与区间与区间d的比的比值为纵坐标，值为纵坐标，绘制绘制成成频率直方图频率直方图该组误差的分布表现出如下规律：该组误差的分布表现出如下规律：小误差比大误差出现的小误差比大

7、误差出现的频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最频率高，绝对值相等的正、负误差出现的个数和频率相近，最大误差不超过大误差不超过24。可以设想，当误差个数可以设想，当误差个数n，同时又无限缩小误差区间，同时又无限缩小误差区间d，各，各矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为矩形的顶边折线就成为一条光滑的曲线。该曲线称为误差分布曲线误差分布曲线。22221e其函数式为：其函数式为：2221( )2yfe 三 偶然误差的特性统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：统计大量的实验结果，表明偶然误差具有如下特性：特性特性1 在一定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值在一

8、定观测条件下的有限个观测中，偶然误差的绝对值不超过一定的限值。不超过一定的限值。(范围范围)特性特性2 绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出绝对值较小的误差出现的频率大，绝对值较大的误差出现的频率小。现的频率小。(绝对值大小绝对值大小)特性特性3 绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。绝对值相等的正、负误差出现的频率大致相等。(符号符号)特性特性4 当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为当观测次数无限增多时，偶然误差平均值的极限为0，即即(抵偿性抵偿性) 12limlim0nnnnn L52衡量精度的指标 一 精度 精度：是指对某一个量的多次观测中，误差分布精度：是指对某

9、一个量的多次观测中，误差分布的的密集密集或或离散离散程度。程度。在相同观测条件下，在相同观测条件下，对某一量所进行的对某一量所进行的一组观测，虽然它一组观测，虽然它们的真实误差不相们的真实误差不相等，但都对应于同等，但都对应于同一误差分布，故这一误差分布，故这些观测值误差是相些观测值误差是相等的。等的。52衡量精度的指标2limnmn二二 衡量精度的指标衡量精度的指标1 中误差（标准差）中误差（标准差）2 mn 设在相同的观测条件下，对某量进行设在相同的观测条件下，对某量进行n次重复次重复观测，其观测值为观测，其观测值为l1，l2、，ln，相应的真误，相应的真误差为差为1，2，n。则观测值的中

10、误差。则观测值的中误差m为：为： 22221n 真误差的平方和，真误差的平方和， 1 中误差（标准差）中误差（标准差）例例5-1 5-1 设有设有1 1、2 2两组观测值，各组均为等精度观测，它们的两组观测值，各组均为等精度观测，它们的真误差分别为：真误差分别为：甲组：甲组：+4+4，-2-2，00，-4-4，+3+3；乙组：乙组：+6+6，-5-5，00，+1+1，-1-1；试计算试计算1 1、2 2两组各自的观测精度。两组各自的观测精度。解解 1、2两组观测值的中误差为：两组观测值的中误差为：m1=3.0m2=3.5比较比较m1和和m2可知，可知，1组的观测精度比组的观测精度比2组高。组高

11、。中误差所代中误差所代表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次表的是某一组观测值的精度，而不是这组观测中某一次的观测精度。的观测精度。limnn 2 平均误差平均误差在相同的观测条件下，一组独立的真误差为1、 2 3、 n那么平均误差为当观测次数有限时n 计算例计算例5-1的平均误差的平均误差1=2.62=2.6我国一般采用中误差作为评判精度的指标（3）容许误差（限差）容许误差（限差）在实际应用的测量规范中，在实际应用的测量规范中，常以常以2倍倍或或3倍倍中误差作为中误差作为偶然误差的容许值，偶然误差的容许值，即即容容=22m或或容容=33m如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则

12、认如果观测值中出现了大于容许误差的偶然误差，则认为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。为该观测值不可靠，应舍去不用，并重测。在一定条件下，偶然误差绝对值不应超过的限值称称为为容许误差，也称为限差或极限误差容许误差，也称为限差或极限误差（4）相对误差）相对误差上式中当上式中当m为中误差时，为中误差时，K称为称为相对中误差相对中误差。| |1DmmKD相对误差相对误差K是误差是误差m的绝对值与观测值的绝对值与观测值D大小的比值大小的比值：中误差是绝对误差。在距离丈量中，中误差不能准确地反映出中误差是绝对误差。在距离丈量中，中误差不能准确地反映出观测值的精度。例如丈量两段距离，观测值的精度。例如丈量

13、两段距离，D1100m，m11cm和和D2300m，m21cm，虽然两者中误差相等，虽然两者中误差相等，m1m2，显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的，这时应采用相显然，不能认为这两段距离丈量精度是相同的，这时应采用相对中误差对中误差K来作为衡量精度的标准。来作为衡量精度的标准。K1=1/10000; k2=1/3000上面例相对误差为：5-3 算术平均值及其中误差 一 算术平均值（与真值的关系） 设对某未知量进行n次等精度观测，其观测值分别为l1，l2，ln ,则其算术平均值为 算术平均值x作为该未知量的最可靠的数值，又称最或然值。算术平均值比这组内任一观测值都更为接近真值。 nlnll

14、lLn 21(1) XlXlXlnn2211 设观测量的真值为设观测量的真值为X，观测值为，观测值为li（i=1，2，3n)，则观测值的真误差为：则观测值的真误差为： 将各式两边相加，并除以将各式两边相加，并除以n，得，得将将(1)式代入上式，并移项，得式代入上式，并移项，得 nXLXnln 0lim nnXLn lim根据偶然误差的特性，当观测次数根据偶然误差的特性，当观测次数n无限增大时，则有无限增大时，则有那么同时可得那么同时可得由上式可知，由上式可知，当观测次数当观测次数n无限增大时，算无限增大时，算术平均值趋近于真值术平均值趋近于真值。但在实际测量工作中，。但在实际测量工作中，观测次

15、数总是有限的，因此，算术平均值较观观测次数总是有限的，因此，算术平均值较观测值更接近于真值。我们测值更接近于真值。我们将最接近于真值的算将最接近于真值的算术平均值称为最或然值或最可靠值术平均值称为最或然值或最可靠值。 二、观测值改正数二、观测值改正数(定义、特性）定义、特性） 观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测量的算术平均值与观测值之差，称为观测值改正数，用观测值改正数，用v表示。当观测次数为表示。当观测次数为n时，有时，有 nnlLvlLvlLv2211 将上面各式两边相加，得将上面各式两边相加，得 lnLv 0 v观测值改正数的重要特性，即对于等精度观测，观观测值改正数的重要特性，即

16、对于等精度观测，观测值改正数的总和为零。测值改正数的总和为零。 nlnlllLn 21又因又因 三、三、由观测值改正数计算观测值中误差由观测值改正数计算观测值中误差 计算中误差时，需要知道观测值的真误差，计算中误差时，需要知道观测值的真误差，但在测量中，我们常常无法求得观测值的但在测量中，我们常常无法求得观测值的真误差。一般用观测值改正数来计算观测真误差。一般用观测值改正数来计算观测值的中误差。值的中误差。 XlXlXlnn2211 inlLvlLvlLv2211真误差：真误差：观测值改正数：观测值改正数：真误差与观测值改正数的定义为：真误差与观测值改正数的定义为：以上两式相加，可得 nnvX

17、LvXLvXL)()()(2211 vXLvvXLn)(2)(2 各式两边同时平方并相加，得各式两边同时平方并相加，得 0 v)(XL nvv 因令 2 nvvn两边再除以两边再除以n关键求XL nlL nnXlXnlXL )22(113221222212222nnnnn )(21322122nnnn 0lim13221 nnnn因因 所以所以 故故=n ,21nn 13221为真误差，所以为真误差，所以由于由于也具有偶然误差的特性。当也具有偶然误差的特性。当n时，则有时，则有所以所以 nnn 122 带入前式 nnnvvn 1 nm 2 nmnvvm22 1 nvvm因此即因为故这就是用观测

18、值改正数求观测值中误差的计算公式这就是用观测值改正数求观测值中误差的计算公式 算术平均值的中误差算术平均值的中误差 )1( nnvvnmM例例 某一段距离共丈量了六次，结果为：某一段距离共丈量了六次，结果为：148.643m,148.590m,148.610m,148.624m,148.654m,148.647m ，求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及求算术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。相对误差。 m628.148 nlL解：测次测次观测值观测值/ / m观测值改正观测值改正数数v/ / m mvv1148.643152252148.5903814443148.6

19、10183244148.6244165148.654266766148.64719361平均值平均值148.6283046 mm7 .241630461 nvvm mm1 .1016630461 nnvvM147161628.1480101. 0 DMmK观测中误差观测中误差算术平均值的中误差算术平均值的中误差相对误差相对误差第四节第四节 误差传播律误差传播律在测量工作中，有些未知量往往不能直接测得，在测量工作中，有些未知量往往不能直接测得，而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计而需要由其它的直接观测值按一定的函数关系计算出来。算出来。由于独立观测值存在误差，导致其函数由于独立观测值存在误

20、差，导致其函数也必然存在误差，也必然存在误差，这种关系称为这种关系称为误差传播误差传播。阐述。阐述观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定观测值中误差与观测值函数中误差之间关系的定律称为误差传播律。律称为误差传播律。一、线性函数的中误差一、线性函数的中误差 设线性函数设线性函数 (观测值计算结果）观测值计算结果） 设独立直接观测值设独立直接观测值x、y相应的中误差为相应的中误差为mx、my，函数函数Z的中误差为的中误差为mZ。当观测值。当观测值x、y中分别含有真中分别含有真误差误差x、y时，函数时，函数Z产生真误差产生真误差z，即，即ykxkZ21 式中式中 k1、k2常数；常数；x、y独立

21、直接观测值。独立直接观测值。)()(21yykxxkZZ 上面两式相减上面两式相减 ykxkZ 2112111ykxkZ 22212ykxkZ nnnykxkZ 21设对设对x、y 各独立观测了各独立观测了n次，则有次，则有取上式两端平方和，并除以取上式两端平方和，并除以n，得，得 nyxkknyknxknZ 2122222122从偶然误差的特性可知，当从偶然误差的特性可知，当n时，时， nyx 趋近于零。趋近于零。上式可变为上式可变为 根据中误差的定义，得根据中误差的定义，得 nyknxknZ2222212 2222212yxZmkmkm 222221yxZmkmkm 或或 根据上面的推导方

22、法，可求得根据上面的推导方法，可求得Z的中误差为的中误差为当当Z是一组观测值是一组观测值x1、x2、xn的线性函的线性函数时，即数时，即nnxkxkxkZ 2211由上式可推知和差函数与倍数函数的中误差。由上式可推知和差函数与倍数函数的中误差。 2222222121nnZmkmkmkm （1）对于和差函数）对于和差函数Zxy，有，有22yxZmmm 如果如果mx=mym，则，则mmZ2 当当Z是是n个独立观测值的代数和时，即个独立观测值的代数和时，即nxxxZ 21可推得可推得22221nZmmmm （2）对于倍数函数）对于倍数函数Zkx，有，有如果如果m1m2mnm，则，则mnmZ xZkm

23、m 例例1 设对某量进行了设对某量进行了n次等精度观测，其观测值次等精度观测，其观测值分别为分别为l1、l2、ln，每一观测值的中误差为，每一观测值的中误差为m，算术平均值为算术平均值为L，求算术平均值的中误差，求算术平均值的中误差M。解解 算术平均值为算术平均值为nnlnlnlnnlllL1112121 222221111mnmnmnmnM nmM 算术平均值中误差算术平均值中误差 例例2 在在1：500的地形图上测量两点间的距离，图的地形图上测量两点间的距离，图上的距离上的距离d42.3mm，在地形图上量距误差，在地形图上量距误差md0.2mm，求实地距离及，求实地距离及md。解解m15.

24、21mm21150mm3 .42500500 dD m1 . 0mm100mm0 . 2500500 dDmm二、非线性函数的中误差二、非线性函数的中误差设非线性函数为设非线性函数为 nxxxfZ，21 式中式中 x1，x2，xn独立直接观测值；独立直接观测值； Z未知量。未知量。设设x1，x2，xn为独立直接观测值，中误差分别为为独立直接观测值，中误差分别为m1，m2，mn，函数，函数Z的中误差为的中误差为mZ。如果。如果x1，x2，xn包含有真误差包含有真误差x1，x2，xn，则函，则函数数Z也产生真误差也产生真误差Z。上式用泰勒级数展开成线性函数的形式，再对线性函数上式用泰勒级数展开成线

25、性函数的形式，再对线性函数取全微分，可得取全微分，可得nnxxfxxfxxfZdddd2211 由于真误差均很小，用其近似地代替上式中的由于真误差均很小，用其近似地代替上式中的dZ、dx1、dx2、dxn，可得真误差关系式，可得真误差关系式nnxxfxxfxxfZ 2211 nixfi, 2 , 1 是函数对各独立观测值是函数对各独立观测值xi的偏导数的偏导数因此，函数因此，函数Z的中误差为的中误差为2222222121nnZmxfmxfmxfm 例例1 在地面上有一矩形在地面上有一矩形ABCD，AB40.38 m0.03 m ，BC33.42 m0.02 m，求面积及其中误差。，求面积及其中误差。解解 设设ABa40.38 m，ma0.03 m，BCb33.42 m，m