第7章FIR数字滤波器的设计

1、 线性相位FIR滤波器的性质 窗函数法设计FIR滤波器 频率取样法设计线性相位FIR滤波器 线性相位FIR滤波器的优化设计线性相位线性相位FIR滤波器的性质滤波器的性质线性相位系统的线性相位系统的时域特性时域特性线性相位系统的线性相位系统的频域特性频域特性线性相位系统线性相位系统H(z)的零点分布特性的零点分布特性FIR滤波器的定义滤波器的定义kkMkzbzH0)(M阶阶(长度长度N=M+1) 的的FIR数字滤波器数字滤波器其它0, 1 , 0MkbkkhFIR滤波器的特点滤波器的特点1)hk在有限范围内非零，系统总是稳定的。在有限范围内非零，系统总是稳定的。2)容易设计成线性相位容易设计成线

2、性相位3)可利用可利用FFT实现实现4)运算量比运算量比IIR大大FIR滤波器设计指标滤波器设计指标严格线性相位定义严格线性相位定义)(jjje)e()e(HH例： 单频信号exp(j0 k)通过线性相位(LTI)系统的响应)(jjj000e)e(ekkHT若()= , 则称系统H(z)是严格线性相位的。广义广义线性相位定义线性相位定义)( jje)()e( AHA ()称为幅度频函数线性相位系统的线性相位系统的时域特性时域特性01234M=4 偶对称偶对称01234M=3 偶对称偶对称 01234M=4 奇对称奇对称01234M=3 奇对称奇对称 定理：定理：为线性相位的充要条件为为线性相位

3、的充要条件为hk= hM kkkMkzbzH0)(线性相位系统的线性相位系统的频域特性频域特性1) 1型: (hk=hMk, M为偶数) 例：M=4 , hk=h0, h1, h2, h1, h02342)(1 )1(0)(jjjjjeheeheheH2222cos 1 22cos02jjjeheheh2cos222cos 1222)(hhhAkkakkLhLhALkLkcoscos2)(012/ML kkaALkcos)(0)2(A)(A)(A)(AA ()关于0和p 点偶对称例：h k=1,2, 1, M=22/cos4e)e(2jjHp p2 p p40A( )2(pA)(A2) II型

4、:( hk=hMk), M为奇数M=3 hk=h0, h1, h1, h0)(1 )1(0)(23jjjjeeheheH5 . 0cos 1 2)5 . 1cos(025 . 15 . 1jjeheh)5 . 1cos(02)5 . 0cos( 1 2)(hhAcos(0.5) 的周期= 4pcos(1.5) 的周期= (4/3)pA () 的周期= 4p)2/1cos(0kkbLk)5 . 01cos( 11 2)5 . 00cos(01 2)(hhALM2/ ) 1(记：A (p )=0不能用于高通、带阻滤波器的设计不能用于高通、带阻滤波器的设计)2)(2/1cos()2(0ppkkbAL

5、k)2/1(2cos(0kkkbLkpp)(AH ( )关于关于 =p p 点奇对称点奇对称)5 . 0cos(2)(0kkLhALk)5 . 1cos(02)5 . 0cos( 1 2)(hhA例：hk=(d k+d k1)/2)2/cos(e)e(2/jjH0 012ppA ( )3)III型型: hk= hM k, M为偶数为偶数M=4 hk=h0, h1, 0, h1, h0)e(1 )e1(0)(3j4jjjehheHsine 1 j2)2sin(e 0j22j2jhh)2sin(222sin 122)(hhALM2/记：)sin()sin(2)(11kkckkLhALkLk)2(p

6、A)(A)(A)(AA ()关于0和p 点奇数对称A (0)= A (p)=0 不能用于高通和低通滤波器的设计例：例：hk=(d d k d d k22)/2jje)sin(j)e(H0A ( )12 2p pp p4) IV型: hk= hMk, M 为奇数M=3 hk=h0, h1, h1, h0)ee(1 )e1(0)(2jj3jhheHj5 . 0sine 1 j2)5 . 1sin(e 0j25 . 1 j5 . 1 jhh)5 . 01 (sin11 2)5 . 00(sin01 2)(hhALM2/ ) 1(记：)2/1sin( )2/1sin(2)(00kkdkkLhALkLk

7、A (0)=0 不能用于低通滤波器的设计不能用于低通滤波器的设计)()2(AA例：hk=(d k-d k1)/25 . 0je)5 . 0sin(j)(jeH0 0A ( )12p2pp p线性相位FIR滤波器频率响应一般形式可写为)(e)e()5 . 0j(jAHM-表 5-1 四种线性相位 FIR 滤波器的性质类型IIIIIIIV阶数 M偶奇偶奇hk的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称A()关于0的对称性偶对称偶对称奇对称奇对称A()关于p的对称性偶对称奇对称奇对称偶对称A()的周期2p4p2p4p000.5p0.5pA(0)任意任意00A(p)任意00任意可适用的滤波器类型LP,HP,BP,

8、BS 等LP, BP微分器,Hilbert变换器微分器,Hilbert变换器，HP线性相位系统线性相位系统H(z)的零点分布特性的零点分布特性kMhkh)()(1zHzzHMz=0不可能有系统的零点zk是系统的零点，则zk1也是系统的零点。 hk是实的,kjkkerz,kjker,1kjkerkjker11)432111)( zazbzazzHRe(z)Im(z)2)Re(z)Im(z)2121)( zazzHRe(z)Im(z)2131)( zazzH3)Re(z)Im(z)4)141)( zzH任意线性相位系统是上述四种子系统的组合任意线性相位系统是上述四种子系统的组合hk奇对称时，奇对称

9、时，H(z)在在z=1处一定有奇数阶零点。处一定有奇数阶零点。 四种不同类型的线性相位系统在zk=1的零点：(1)I 型FIR滤波器(M为偶)： 在zk=1和zk= 1无零点或者有偶数个零点。(2)II 型FIR滤波器(M为奇)： 在zk= 1有奇数个零点，在zk=1无零点或者有偶数个零点。(3)III 型FIR滤波器(M为偶)： 在zk=1和zk= 1有奇数个零点。(4)IV 型FIR滤波器(M为奇)： 在zk=1有奇数个零点，在zk=1无零点或者有偶数个零点。最小积分平方误差设计最小积分平方误差设计FIR滤波器滤波器吉伯斯吉伯斯(Gibbs)现象现象常用窗函数常用窗函数窗函数法设计窗函数法

10、设计FIR滤波器滤波器问题：已知Hd(ej)，设计 使其频率响应逼近Hd(ej)。kMkzkhzH)(0pppd)(21jkjddeeHkhhd k一般情况下是无穷序列，需对其进行截断。设 M=2K, wk=RN+1kh k= hd kKRN+1k方案1：设Hd (ej)是实偶函数， 则hd k是实偶对称的。h Mk= hd MkM/2 RN+1 k= hd (kN /2) RN+1 k = hk= hd kMRN+1k最小积分平方误差设计最小积分平方误差设计FIR滤波器滤波器例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为c的理想低通。解：设其他01)(dcjeH)(Sa121kd

11、ekhccjkdccpp()MkMkMkhkhccd0 ,2/(Sa2/p 方案2：设Hd (ej)为 Hd (ej) =Ad()exp(j( 0.5M+)I型和II: =0 ; III型和IV:=p/2。h k= hd kRN+1k例：设计一个线性相位的FIR滤波器。其频率响应能逼近截频为c的理想低通。解：设其他 00e)(5 . 0jdcMjeH()2/(Sae21j0.5MkdekhccjkMdccpp()MkMkkhcc0 ,)2/(Sap 例：理想数字微分器的频率响应为 HDIF(ej)=j ,|p试用窗口法设计一线性相位FIR滤波器，使其幅度响应逼近理想数字微分器。解：设理想微分器

12、的频率响应为HDIF(ej)= ej(0.5p0.5M) , |pde2j)5 . 0(jDIFMkkhp为奇为偶为偶MMkMkMMkMMkMkMk )5 . 0()1(5 . 0 , , 05 . 0, ,5 . 0)1(2)5 . 05 . 0()5 . 0(A()pp0ppA()0M10M9积分平方误差定义为d)()e (212jd2jeHH由Parseval等式， 2可表示为22khkhdk212021khkhkhkhdMkdMkdk可选择 hk= hdk， 0k M使积分平方误差最小。吉伯斯吉伯斯(Gibbs)现象现象000.510.2p0.4p0.6p0.8ppA()M=14M=6

13、00.2p000.510.4p0.6p0.8ppA()矩形窗对矩形窗对H(e j )的影响的影响kwkhkhNdpppdeWeHeHjNjdj)()(21)()(kRkwNN当：)2/sin()2/sin()(2/ )1(NeeWNjj矩形窗的幅度函数为)2/sin()2/sin()(NWNp2Np2Np4Np4Npp主瓣旁瓣)(W矩形窗的幅度函数将理想滤波器的频率响应表示为2/ )1()()(NjdjdeAeH则可得FIR滤波器的频率响应为pppdeWeAeHNjNjdj2/ )1)(2/ )1()()(21)(pppdWAedNj)()(212/ )1(所以FIR滤波器的幅度函数为pppd

14、WAAd)()(21)()(Accppppcc)(W)(dA)(Accppccpp)(dA)(W)(dA)(Wccpp)(Accpp由矩形窗截断产生的波峰大约是9%，所以阻带最小衰减为 20log10(9%)21dB。用矩形窗设计的c=p/2 FIR滤波器的幅度响应00.250.50.751-40-30-21-100M=14M=30Gain db常用窗函数常用窗函数矩形窗矩形窗其它 001Mkkw Ap 0.82dB, As 21dBHann(汉纳汉纳)窗窗( (w=hanning(M+1)(M+1)其他 00)/2cos(5 . 05 . 0MkMkkwpAp 0.056dB, As 44d

15、B由由Hanning窗设计的窗设计的 c=p p/2 FIR滤波器的频响特性滤波器的频响特性(M=38)00.250.50.751-80-60-44-200Square HanningGain dB00.250.50.751-80-60-52-200Square HammingHammingHamming（哈明）窗（哈明）窗( ( w=hamming(M+1) ) )其他 00)/2cos(46. 054. 0MkMkkwpGain dbBlackmanBlackman窗窗 ( ( w=blackman(M+1) ) )其它 00)/4cos(08. 0)/2cos(5 . 042. 0MkM

16、kNkkwpp00.250.50.751-100-75-60-40-200Square BlackmanGain dbKaiser窗窗( w=kaiser(M+1,beta) )MkIMkIkw0 ,)()/21 1(020 是一可调参数是一可调参数 。I0 0( ( ): ): the modified zeroth-order Bessel function.I0 0( ( ) )可用幂级数表示为可用幂级数表示为210!)2/(1)( nxxInn一般求一般求20项就能达到所需精度。项就能达到所需精度。 用Kaiser窗设计FIR滤波器的步骤：1. 估计滤波器的阶数M A= 20log10

17、(mindp，ds )21 ,285. 295. 7spAAM2. 估计 21 , 05021 ),21(07886. 0)21(5842. 050 ),7 . 8(1102. 04 . 0AAAAAA1. 估计滤波器的阶数M 285. 295. 7spsAM2. 估计 0.1102(As-)3. 设定理想低通的截频2/ )(spc4. hk=hdk*wk例例: : 用Kaiser窗设计一满足下列指标的I型线性相位FIR低通滤波器。 p=0.2p, s=0.4p，Ap=0.3dB, As=50dBGain response of lowpass FIR filter00.10.20.30.40

18、.5-80-50-300Normalized frequencyGain, dBM=30Ap=0.0105 dBAs=50.7524 dB例：用Hamming窗设计一个逼近截频为c的线性相位FIR 高通滤波器选I型FIR(M为偶)ppdekhjkNdcc5 . 0j2e21MkMkMkkhcc, 1 , 0),5 . 0(Sa5 . 0pd其它 0)(5 . 0pcMjjdeeH其它 02)(5 . 0ccMjjdeeHpk0.5M()ccdMkkhp)5 . 0(Sak=0.5MpcdMh15 . 0选IV型FIR(M为奇)其它 02j)(5 . 0ccMjjdeeHpppdjkhjkMjd

19、ccee215 . 02()ccMkjMkjMkpp)5 . 0()2)(5 . 0(ee)5 . 0(21()ccMkjMkjMkp)5 . 0()5 . 0(ee)5 . 0(21()5 . 0()5 . 0(cosMkMkcpNkMkMkkhc, 1 , 0,)5 . 0()5 . 0(cosp用用Hamming窗设计的窗设计的 c=0.6p p FIR滤波器滤波器HP的幅度响应的幅度响应 I 型型 N=50 I V型型 N=51 00.40.60.81-110-80-530Gain response of highpass FIR filterNormalized frequencyG

20、ain, dBtype I type IV窗函数法设计窗函数法设计FIR滤波器滤波器窗函数法设计窗函数法设计FIR滤波器滤波器问题提出问题提出基本思路基本思路I 型型线性相位系统线性相位系统II型型线性相位系统线性相位系统III型型线性相位系统线性相位系统VI 型型线性相位系统线性相位系统频率取样法频率取样法问题问题 已知Hd(ej)在M+1点上的抽样值Hd (ejm) ；m=0,1,.,M，设计 hk; k=0,1,.,M，使设计出的滤波器H(z)满足 Hd (ejm)= H (ejm) 基本思路基本思路kMkzkhzH)(0Hd (ejm) ；m=0,1,.,M，已确定。则可通过求解方程

21、mmjkMkjdekheH)(0 得出khhk的附加约束：系数是实的，满足线性相位条件。I型取样(m=2p m/(M+1) ; m=0,1,.,M)mkMMkdMmWkhmHH1012jd)e(mkMdMkWmHMkh1011线性相位FIR滤波器频率响应一般形式为)()()5 . 0j(AeeHM-j)e(12jddMmHmHee)1/(2(eed1jjd1jjmAMmAmMMmMMI 型型线性相位系统线性相位系统(M为偶数，为偶数，hk偶对称偶对称): I型线性相位滤波器的幅度函数满足: Ad()=Ad(2p)Hd(ej)在M+1个取样点上值Hdm为)1/(2(e)e(d1j12jddMmA

22、HmHmMMMm若设M=4，则有e )58(,e )56(,e )54(,e )52(),0(516jd512jd58jd54jdddAAAAAmHe )522(,e )542(,e )54(,e )52(,0)516j(4d)512j(4d58jd54jddAAAAA1e,2e,2e,1e,054jd58jd58jd54jdddAAAAAmH1e,2e,2e,1e,054jd58jd58jd54jdddAAAAAmH对Hdm做5点IDFT可得)ee(2)ee(1 055832j5822jd5442j542jddkkkkAAAkhp)42(52cos22)42(5cos 1 20dddkAkAAI型线性相位滤波器在M+1个取样点值为MmMmMHMmmAmHmMM12/ 1 2/0 e d1jdd例:用频率取样法设计一个满足下列指标的I型线性相位高通滤波器。 s=0.5p，p=0.6p00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.200.20.40.60.811.2A()频率取样法设计的高通滤波器幅度函数/p00.20.40.60.811.21.41.61.82-0.200.20.40.60.811.2A()增加一个过渡点后频率取样法设计的高通滤波器幅度函数/pI I型型线性相位系统线性相位系统(M为奇数，为奇数，hk偶对称偶对称):幅度