轨迹方程在解题中的妙用

1、.光滑斜面上的动力学安徽省砀山中学物理组董凤兰物体沿光滑斜面运动是每年高考的必考模型，该类试题以受力分析、牛顿运动定律、运动学方程等基本规律为载体，突出考查学生利用数学（几何关系、函数关系）处理物理问题的能力，典型题目有求解最短时间、巧用时间相等两种类型。如图1，光滑斜面倾角为，物块受重力和支持力，由牛顿第二定律：，可得沿斜面向下的加速度：。 图1 一、求解最短时间 例1如图2，几个倾角不同的光滑斜面，高度相同，不同的物体从不同斜面的顶端由静止开始滑下，则下列说法中正确的是（    ） A滑到底端所用的时间相等 &

2、#160;            B在倾角为的斜面上滑行时间最短 C在倾角为的斜面上滑行时间最短    D在倾角为、的斜面上滑行时间相等             图2             

3、0;         图3 解析：任找一斜面，如图3，倾角设为，则物体的加速度，斜面高度设为，则物体的位移，由，可得滑行时间，可见：一定时，角越大，时间越短，故选C 例2一间新房即将建成要封顶,考虑到下雨时落至房顶的雨滴能尽快淌离房顶,需要设计房顶的高度,设雨滴沿房顶下淌时做无初速度无摩擦的运动,那么图4中所示的四种情况中符合要求的是： （    ）     图4      &

4、#160;                                    图5 解析：房子即将建成，所以该题的不变量是斜面的底边长，如图5，雨滴的加速度，位移，由，可得下淌时间，可见：一定，时，时间最短。故选C 二、巧用时

5、间相等 例3（2004全国15）如图6，aDbDcd是竖直面内三根固定的光滑细杆，ABCd位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。每根杆上都套着一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从ABc处释放（初速为0），用、依次表示滑环到达d所用的时间，则  （     ） A  B   C   D               

6、  图6                              图7 解析：设圆的直径为，若沿直径ad下滑，作自由落体运动，由，可得：；若沿任一倾角为的弦下滑，如图7，加速度，位移，由，得，所以下滑时间与角无关，故选D 变式练习如图8，o点是竖直圆环的顶点，oc是圆环的直径，

7、oa和ob是两条不同倾角的弦。在oa、ob、oc线上置三个光滑的斜面，一质点从O点自由释放，先后分别沿oa、ob、oc下滑，到圆环上的时间比较：（    ）   图8 A到a点所用的时间最短    B到b点所用的时间最短 C到c点所用的时间最短    D到a、b、c三点所用的时间一样长 解析：采用与例3类似的方法，可得下滑时间也与角无关，选D，于是可得到结论：物体沿光滑的弦，从圆周上任一点滑行到圆周最底点，或从圆周最高点滑行到圆周上任一点，所用时间相等，与

8、弦的倾角无关。 应用1在距离坡底为的山坡上竖直固定长也为的直杆AO，A端与坡底B间连有一钢丝，钢丝处于伸直状态，一穿心于钢丝上的小球从A点由静止开始沿钢丝无摩擦地滑下，如图9，则小球在钢绳上滑行的时间为（    ） A B   C  D条件不足，无法计算              图9         

9、60;        图10                   图11 解析：方法一、如图10，设钢丝倾角为，下滑加速度，位移，由，得，故选B 方法二、以为圆心，为半径画圆，如图11，由结论知从A到B与从A到D时间相等，故，得 应用2一质点从倾角为的斜面上方P点沿光滑斜槽PA由静止开始下滑，如图12，若要使质点滑至斜面所需的时间最短，则PA与竖直线PB之间的夹角应取何值？若PB长为，求此最短时间。              图12                         &