第1章事件与概率

1、任课教师：刘秋梅任课教师：刘秋梅电话：电话箱：邮箱：本课程的教材及参考书 选用教材 概率论基础第三版 复旦大学 李贤平 高等教育出版社 参考教材 概率论第二版 杨振明 科学出版社 概率论与数理统计第四版 浙江大学 高等教育出版社本课程授课方式与考核学科总成绩学科总成绩平时成绩平时成绩（3030）课堂考勤课堂考勤（5050）平时作业平时作业（5050）期末成绩期末成绩（7070）讲授为主，结合习题作业讲授为主，结合习题作业学科，有着广泛的应用。它产生于学科，有着广泛的应用。它产生于17世纪，后世纪，后来变成庞大的数学分支。近几十年来，随着科来变成庞大的数学分支。近几十年

2、来，随着科学技术的飞速发展，概率论大量应用于国民经学技术的飞速发展，概率论大量应用于国民经济、工农业生产、近代物理、气象、地震、生济、工农业生产、近代物理、气象、地震、生概率论是研究随机现象统计规律性的一门概率论是研究随机现象统计规律性的一门息论、对策论、排队论、控制论等都以概率论息论、对策论、排队论、控制论等都以概率论为基础。费马、帕斯卡、惠更斯等人是概率论为基础。费马、帕斯卡、惠更斯等人是概率论早期的创立者。对概率论的兴趣，本来是对保早期的创立者。对概率论的兴趣，本来是对保险事业的发展而产生的，但刺激数学家思考概险事业的发展而产生的，但刺激数学家思考概率论的一些特殊问题却来自赌博者的请求。

3、有率论的一些特殊问题却来自赌博者的请求。有物、医学等部门。新兴的许多应用数学，如信物、医学等部门。新兴的许多应用数学，如信的问题：的问题：“德梅尔和保罗两个赌徒相约赌若干局，德梅尔和保罗两个赌徒相约赌若干局，谁先赢谁先赢3局就算他赢了。德梅尔和保罗事先每人拿出局就算他赢了。德梅尔和保罗事先每人拿出一个赌者德梅尔向帕斯卡提出一个使他苦恼很久一个赌者德梅尔向帕斯卡提出一个使他苦恼很久6枚金币作赌金，用扔硬币作为赌博手段，一局中枚金币作赌金，用扔硬币作为赌博手段，一局中若掷出正面，则德梅尔胜，否则保罗胜。约定谁先若掷出正面，则德梅尔胜，否则保罗胜。约定谁先胜三局谁就能得到所有胜三局谁就能得到所有12

4、枚金币。假设他们每局中枚金币。假设他们每局中取胜的可能性相同。比赛开始后保罗胜了一局，德取胜的可能性相同。比赛开始后保罗胜了一局，德梅尔胜了两局。这时一件意外的事中断了他们的赌梅尔胜了两局。这时一件意外的事中断了他们的赌博。后来他们也不想继续这场还没有结局的赌博，博。后来他们也不想继续这场还没有结局的赌博，于是一起商量这于是一起商量这12枚金币应如何分才公平合理。枚金币应如何分才公平合理。 保罗对德梅尔说：保罗对德梅尔说：“你胜了两局。我只胜了一你胜了两局。我只胜了一局，因此你的金币应是我的两倍，你得总数的局，因此你的金币应是我的两倍，你得总数的2/3，即即8枚金币，我得总数的枚金币，我得总数

5、的1/3，即，即4枚金币。枚金币。” “这不公平这不公平”精通赌博的德梅尔对此提出异议：精通赌博的德梅尔对此提出异议：“我只要再胜了一局就能得到全部金币，而你要我只要再胜了一局就能得到全部金币，而你要得到全部金币还必须胜两局。得到全部金币还必须胜两局。” “即使你接下来胜一局，我们两人也是平分秋即使你接下来胜一局，我们两人也是平分秋色何况就这次我还有一半的机会获胜呢！色何况就这次我还有一半的机会获胜呢！ 因此，因此我应得全部赌金的因此，因此我应得全部赌金的3/4，即，即9枚金币，枚金币，而你只能得而你只能得1/4，即，即3枚金币。枚金币。” 到底谁的分法对呢？当时可使两位数学家费到底谁的分法对

6、呢？当时可使两位数学家费了不少脑筋。分析如下了不少脑筋。分析如下 为了确保分出胜负，最多需要再赛两局。用为了确保分出胜负，最多需要再赛两局。用“+”表示德梅尔胜，用表示德梅尔胜，用“- -”表示保罗胜。表示保罗胜。（+，+），（），（+，-），（），（-，+），（），（-，-）德梅尔胜（即至少有一个德梅尔胜（即至少有一个“+” ）保罗胜保罗胜 （即至少有两个（即至少有两个“- -” ）德梅尔正确德梅尔正确问题：问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢两个赌徒相约赌若干局，谁先赢s局局就算他赢了。现在一个人赢就算他赢了。现在一个人赢 a (as)局，另一个人局，另一个人赢赢 b (bs)局，赌博终止

7、。问赌本怎样分法才合局，赌博终止。问赌本怎样分法才合理？理？”帕斯卡将这一问题和他的解法寄给费马帕斯卡将这一问题和他的解法寄给费马，这件事发生在这件事发生在1654年年7月。当惠更斯到巴黎去的月。当惠更斯到巴黎去的解决这一问题，结果便写成解决这一问题，结果便写成论赌博中的计算论赌博中的计算系的一门学科系的一门学科。个世纪的研究，逐步形成了现在具有完整理论体个世纪的研究，逐步形成了现在具有完整理论体一书。这就是概率论最早的论著。后经数学家几一书。这就是概率论最早的论著。后经数学家几时候，听说帕斯卡与费马通信的事，他企图自己时候，听说帕斯卡与费马通信的事，他企图自己一一 事件与概率事件与概率三三

8、随机变量与分布函数随机变量与分布函数二二 条件概率与统计独立性条件概率与统计独立性五五 极限定理极限定理四数字特征与特征函数四数字特征与特征函数在一定条件下必然发生在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象的现象称为确定性现象. . “太阳不会从西边升起太阳不会从西边升起”,1.确定性现象确定性现象 “同性电荷必然互斥同性电荷必然互斥”,“水从高处流向低处水从高处流向低处”,实例实例自然界所观察到的现象自然界所观察到的现象: 确定性现象确定性现象 随机现象随机现象一一. 随机现象随机现象 在一定条件下可能出现也可能不出现在一定条件下可能出现也可能不出现的现象的现象称为随机现象称为随机现象.实例实

9、例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察正反两面出现的情况正反两面出现的情况.2. 随机现象随机现象 “函数在间断点处不存在导数函数在间断点处不存在导数” 等等.结果有可能结果有可能出现正面出现正面也可能也可能出现反面出现反面.确定性现象的特征确定性现象的特征 条件完全决定结果条件完全决定结果结果有可能为结果有可能为:1, 2, 3, 4, 5 或或 6. 实例实例3 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观观 察出现的点数察出现的点数. 实例实例2 用同一门炮向同用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多一目标发射同一种炮弹多 发发 , 观察弹落点的情况观察弹落点的情况.结

10、果结果: 弹落点会各不相同弹落点会各不相同.实例实例4 从一批含有正品从一批含有正品和次品的产品中任意抽取和次品的产品中任意抽取一个产品一个产品.其结果可能为其结果可能为: 正品正品 、次品次品.实例实例5 过马路交叉口时过马路交叉口时,可能遇上各种颜色的交通可能遇上各种颜色的交通指挥灯指挥灯.实例实例6 出生的婴儿可出生的婴儿可能是能是男男,也可能是也可能是女女.实例实例7 明天的天气可明天的天气可能是能是晴晴 , 也可能是也可能是多云多云或或雨雨.随机现象的特征随机现象的特征条件不能完全决定结果条件不能完全决定结果这些现象有一个共同特点，在基本条件不变的情况下，一系列试验或观察会得到不同的

11、结果，呈现出一种偶然性，在一定条件下可能出现也可能不出现的现象称为随机现象随机现象.对随机现象，通常关心的是在试验或观察中某个对随机现象，通常关心的是在试验或观察中某个结果是否出现，这些结果称为结果是否出现，这些结果称为随机事件随机事件，例如：，例如：抛硬币可能正面也可能反面，这是随机现象。而抛硬币可能正面也可能反面，这是随机现象。而“正正”则是一个随机事件，用则是一个随机事件，用A、B、C表示表示随机现象是通过随机试验来研究的随机现象是通过随机试验来研究的.问题问题 什么是随机试验什么是随机试验?如何来研究随机现象如何来研究随机现象?二二.随机试验随机试验实例实例1 1 抛掷一枚硬币抛掷一枚

12、硬币, ,观察正面观察正面, ,反面出现的情况反面出现的情况实例实例2 2 从一批灯泡中任取一只从一批灯泡中任取一只, ,测试其寿命测试其寿命. . 共同特征：实例共同特征：实例1 1该实验可以该实验可以重复进行重复进行，试验，试验结果结果有两种可能有两种可能，出现正面或反面，但在抛掷前，出现正面或反面，但在抛掷前不能确定不能确定；实例实例2 2实验可以实验可以重复进行重复进行，灯泡寿命（，灯泡寿命（大于零大于零）在测试）在测试前前不能确定不能确定它的寿命具体是多长。它的寿命具体是多长。 1. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 2. 每次试验的可能结果不止一个每次试验

13、的可能结果不止一个,并且能事并且能事先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 3. 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现会出现. 在概率论中在概率论中,把具有以上三个特征的试验称把具有以上三个特征的试验称为为随机试验随机试验.特点特点1. 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.2. 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记记 录出现正品与次品的件数录出现正品与次品的件数.同理可知下列试验都为随机试验同理可知下列试验都为随机试验.3. 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数.

14、说明说明 1. 随机试验简称为试验随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语是一个广泛的术语.它包它包括各种各样的科学实验括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行也包括对客观事物进行的的 “调查调查”、“观察观察”或或 “测量测量” 等等. 2. 随机试验通常用随机试验通常用 E 来表示来表示.频率的定义频率的定义二二.频率与概率频率与概率N)(F)(F,NNNAnAAAnnnn记作次试验中出现的频率在为随机事件比值次，称次试验中出现了，若在对随机事件2. 频率的性质频率的性质设设 A 是随机试验是随机试验 E 的任一事件的任一事件, 则则(1) 0 FN(A) 1；(2) FN() 1； F

15、N() 0(3) 可加性可加性：A和和B是两个不会同时发生的随是两个不会同时发生的随 机事件（互不相容机事件（互不相容 AB ），则 FN (A+B) FN (A) FN (B).其中其中: : 必然事件必然事件 、 不可能事件不可能事件. .人们经过长期的实践发现，虽然个别随机事件人们经过长期的实践发现，虽然个别随机事件在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在某次试验或观察中可以出现也可以不出现，但在大量试验中它却呈现出明显的规律性在大量试验中它却呈现出明显的规律性频率频率稳定性稳定性频率的稳定性频率的稳定性试验试验序号序号5 nHnf1 2 3 4 5 6 7231 5 1 2 4Hn

16、f50 n22252125241827Hn500 n2512492562472512622580.40.60.21.00.20.40.80.440.500.420.480.360.54f0.5020.4980.5120.4940.5240.5160.500.502实例实例1 1 将一枚硬币抛掷将一枚硬币抛掷 5 次、次、50 次、次、500 次次, 各做各做 7 遍遍, 观察正面出现的次数及频率观察正面出现的次数及频率.处处波波动动较较大大在在21波动最小波动最小随随n的增大的增大, 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性处处波波动动较较小小在在21从上述数据可得从上述数据可得(2) 抛硬币次

17、数抛硬币次数 n 较小时较小时, 频率频率 f 的随机波动幅的随机波动幅度较大度较大, 但但随随 n 的增大的增大 , 频率频率 f 呈现出稳定性呈现出稳定性.即即当当 n 逐渐增大时频率逐渐增大时频率 f 总是在总是在 0.5 附近摆动附近摆动, 且且逐渐稳定于逐渐稳定于 0.5.(1) 频率有频率有随机波动性随机波动性,即对于同样的即对于同样的 n, 所得的所得的 f 不一定相同不一定相同;实验者实验者德德 摩根摩根蒲蒲 丰丰nHnf皮尔逊皮尔逊 K皮尔逊皮尔逊 K 204810610.5181404020480.50691200060190.501624000120120.5005)(H

18、F的增大的增大n.21历史上曾有人做过试验历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。 实例实例2高尔顿高尔顿(Galton)板试验板试验.试验模型如下所示试验模型如下所示:自上端放入一小球自上端放入一小球,任其自任其自由下落由下落,在下落过程中当小球碰在下落过程中当小球碰到钉子时到钉子时,从左边落下与从右边从左边落下与从右边落下的机会相等落下的机会相等.碰到下一排钉碰到下一排钉子时又是如此子时又是如此.最后落入底板中最后落入底板中的某一格子的某一格子.因此因此,任意放入一球任意放入一球,则此球落入哪一个格子则此球落入哪一个

19、格子,预先难以确定预先难以确定.但是如果放但是如果放入大量小球入大量小球,则其最后所呈现的曲线则其最后所呈现的曲线,几乎总是一样几乎总是一样的的.单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出请看动画演示请看动画演示重要结论重要结论频率当频率当 n 较小时波动幅度比较大，当较小时波动幅度比较大，当 n 逐渐增逐渐增大时大时 ， 频率趋于稳定值，这个稳定值说明随机事件频率趋于稳定值，这个稳定值说明随机事件发生的可能性大小是随机事件本身所固有的、不随发生的可能性大小是随机事件本身所固有的、不随人们意志而改变的一种客观属性，它就是事件的人们意志而改变的一种客观属性，它就是事件的概率概

20、率 P(A) 表示事件表示事件A发生的概率发生的概率上述事实表明，随机现象有其偶然性的一面，上述事实表明，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面。这种必然性表现为大量随机也有其必然性的一面。这种必然性表现为大量随机试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机试验中随机事件出现的频率的稳定性，即一个随机事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这事件出现的频率常在某个固定的常数附近摆动，这种规律性称为种规律性称为统计规律性统计规律性。一、样本空间一、样本空间 样本点样本点 三、随机事件间的关系及运算三、随机事件间的关系及运算 二、随机事件的概念二、随机事件的概念随机试验随机试验 E 的所有

21、可能结果组成的集合的所有可能结果组成的集合记为记为 .样本空间的元素样本空间的元素 , 即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果 实例实例1 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,观察字面观察字面,花面出现的情况花面出现的情况.,1TH字字面面朝朝上上H花面朝上花面朝上T一一 样本空间、样本点样本空间、样本点样本空间样本空间样本点样本点有限样本空间：只有有限个样本点的样本空间有限样本空间：只有有限个样本点的样本空间实例实例2 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子,观察出现的点数观察出现的点数.6, 5, 4, 3, 2, 12实例实例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出记录出 现正品与次品的

22、情况现正品与次品的情况. , , , , , , 3DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNN则.,次次品品正正品品记记DN出现正品的数量出现正品的数量.,1,2,30 3实例实例4 记录某公共汽车站某日记录某公共汽车站某日 上午某时刻的等车人数上午某时刻的等车人数. ., 2, 1, 04实例实例5 考察某地区考察某地区 12月份的平月份的平 均气温均气温.215TtTt . 为为平平均均温温度度其其中中t实例实例6 从一批灯泡中任取从一批灯泡中任取 一只一只, 测试其寿命测试其寿命.06tt.t的的寿寿命命为为灯灯其其中中泡泡实例实例7 记录某城市记录某城市120 急急 救电话台一昼

23、夜接救电话台一昼夜接 到的呼唤次数到的呼唤次数. . , 2, 1, 07 2. 同一试验同一试验 , 若试验目的不同若试验目的不同,则对应的样则对应的样 本空本空 间也不同间也不同.比如实例比如实例31. 试验不同试验不同, 对应的样本空间也不同对应的样本空间也不同. 3. 建立样本空间，就是建立随机现象的数建立样本空间，就是建立随机现象的数 学模型。因此，一个样本空间可以概括许多内学模型。因此，一个样本空间可以概括许多内容不同的实际问题。容不同的实际问题。说明说明例如只包含两个样本点的样本空间例如只包含两个样本点的样本空间.,TH正面正面反面反面合格合格不合格不合格有人排队有人排队无人排队

24、无人排队 所以在具体问题的研究所以在具体问题的研究中中 , 描述随机现象的第一步描述随机现象的第一步就是建立样本空间就是建立样本空间. 答案答案.18 , , 5 , 4 , 3 .1. ,12 ,11 ,10 .2写出下列随机试验的样本空间写出下列随机试验的样本空间.1. 同时掷三颗骰子同时掷三颗骰子,记录三颗骰子之和记录三颗骰子之和.2. 生产产品直到得到生产产品直到得到10件正品件正品,记录生产产品记录生产产品 的总件数的总件数.课堂练习课堂练习随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 的子集称的子集称为为 E 的随机事件的随机事件, 简称事件简称事件. A,B,C表示表示二二 随机事

25、件随机事件定义定义例例3 从一批产品中从一批产品中,依次任选三件依次任选三件,记录出现正品与次品记录出现正品与次品的情况的情况. , , , , , DDDDNDDDNNDDDNNNDNNNDNNN.,次次品品正正品品记记DNA A：第一次选出的是正品：第一次选出的是正品B B：第一次和第三次都是正品：第一次和第三次都是正品C C：三次都是正品：三次都是正品 , , , , NDDDNNNDNNNDNNNA , DDDDNDB NNNC 基本事件基本事件由一个样本点构由一个样本点构成的单点集成的单点集实例实例 掷骰子试验中掷骰子试验中 “点数不大于点数不大于6” 就是必然事件就是必然事件.必然

26、事件必然事件 随机试验中必然会出现的结果随机试验中必然会出现的结果.不可能事件不可能事件 随机试验中不可能出现的结果随机试验中不可能出现的结果. 实例实例 上述试验中上述试验中 “点数大于点数大于6” 就是不可能事件就是不可能事件.必然事件的对立面是不可能事件必然事件的对立面是不可能事件,不可能事件的不可能事件的对立面是必然事件对立面是必然事件,它们互称为它们互称为对立事件对立事件.随机试验随机试验、样本空间与随机事件的关系样本空间与随机事件的关系 每一个每一个随机试验随机试验相应地有一个相应地有一个样本空间样本空间, 样样本空间的子集就是本空间的子集就是随机事件随机事件.随机试验随机试验样本

27、空间样本空间子集子集随机事件随机事件随机事件随机事件 基本事件基本事件 必然事件必然事件不可能事件不可能事件复合事件复合事件 互为对立事件互为对立事件说明说明BA , ,随机事件样本空间为 1. 包含关系包含关系事件事件 A 发生发生, 必然导致必然导致 B 发生发生 ,则称事件则称事件 B 包含事件包含事件 A,记作记作.BAAB 或或实例实例 “长度不合格长度不合格” 必然导致必然导致 “产品不合产品不合格格”所以所以“产品不合格产品不合格” 包含包含“长度不合格长度不合格”.图示图示 B 包含包含 A.BA三三 随机事件的关系及运算随机事件的关系及运算A 包含包含B， 而且而且B 包含包

28、含A，则称则称 A 与与 B 相等相等，记记作作 A=B.3. 事件事件 A 与与 B 的并的并(和事件和事件). 和事件和事件的事件与称为事件或事件BABxAxxBA实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度与某种产品的合格与否是由该产品的长度与直径是否合格所决定直径是否合格所决定,因此因此 “产品不合格产品不合格”是是“长度长度不合格不合格”与与“直径不合格直径不合格”的并的并.图示事件图示事件 A 与与 B 的并的并. BABA 2. A等于等于B A A B B发生：发生：A A，B B中至少有一个发生中至少有一个发生; , , , 211的和事件的和事件个事件个事件为为称称推广推广

29、nknkAAAnA 4. 事件事件 A 与与 B 的交的交 (积事件积事件).ABBA或或积事件也可记作积事件也可记作 . , ,211的和事件的和事件为可列个事件为可列个事件称称AAAkk . 积积事事件件的的与与事事件件称称为为事事件件且且事事件件BABxAxxBA 图示事件图示事件A与与B 的积的积事件事件.ABAB实例实例 某种产品的合格与否是由该产品的长度某种产品的合格与否是由该产品的长度 与直径是否合格所决定与直径是否合格所决定,因此因此“产品合格产品合格”是是“长度合格长度合格”与与“直径合格直径合格”的交或积事件的交或积事件.A AB B 发生：发生：A A 与与 B B 同时

30、发生同时发生和事件与积事件的运算性质和事件与积事件的运算性质,AAA ,A,AA ,AAA ,AA. A; , , ,211的的积积事事件件个个事事件件为为称称推推广广nnkkAAAnA . , ,211的的积积事事件件为为可可列列个个事事件件称称AAAkk 5. 事件事件 A 与与 B 的差的差事件事件A 发生而事件发生而事件 B 不发生，称为事件不发生，称为事件 A 与与 B 的差的差. 记作记作 A- - B.图示图示 A 与与 B 的差的差.ABABAB AB BA BA 实例实例 “长度合格但直径不合格长度合格但直径不合格” 是是 “长度合长度合格格” 与与 “直径合格直径合格” 的

31、差的差.6. 事件事件 A 与与 B 互不相容互不相容 (互斥互斥)事件事件 A 与事件与事件 B 不能同时发生不能同时发生. ABBA实例实例 抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, “出现花面出现花面” 与与 “出现字面出现字面” 是互不相容的两个事件是互不相容的两个事件.“骰子出现骰子出现1点点” “骰子出现骰子出现2点点”图示图示 A 与与 B 互不相容互不相容.AB 互不相容互不相容实例实例 抛掷一枚骰子抛掷一枚骰子, 观察出现的点数观察出现的点数 . A ：事件：事件 A 发生发生, 则则“事件事件 A 不发生不发生”称为事件称为事件 A 的的对立事件或逆事件对立事件或逆事件. 记作记作.A实

32、例实例 “骰子出现骰子出现1点点” “骰子不出现骰子不出现1点点”图示图示 A 与与 B 的对立的对立.BA 若若 A 与与 B 互逆互逆,则有则有. ABBA且A7. 事件事件 A 的对立事件的对立事件对立对立对立事件与互不相容事件的区别对立事件与互不相容事件的区别ABABA A、B 对立对立A、B 互不相容互不相容 AB互不相容互不相容对对 立立. ABBA且事件间的运算规律事件间的运算规律.,)1(BAABABBA 交换律交换律),()()2(CBACBA 结结合合律律,)()()()3(BCACCBCACBA 分分配配律律.,:(4)BABABABA 摩摩根根律律德德则则有有为为事事件

33、件设设 ,CBA).()(BCACAB ).)()()()(CBCACBCACBA 例例1 设设A,B,C 表示三个随机事件表示三个随机事件, ,试将下列事件试将下列事件用用A,B,C 表示出来表示出来. .(1) A 发生发生 , B, C 不发生不发生;(5) 三个事件都不发生三个事件都不发生;(2) A, B都发生都发生, C 不发生不发生;(3) 三个事件都发生三个事件都发生;(4) 三个事件至少有一个发生三个事件至少有一个发生;(6) 不多于一个事件发生不多于一个事件发生;(7) 不多于两个事件发生不多于两个事件发生;(8) 三个事件至少有两个发生三个事件至少有两个发生;(9) A,

34、 B 至少有一个发生至少有一个发生, C 不发生不发生;(10) A, B, C 中恰好有两个出现中恰好有两个出现.解解;)1(CBA;)2(CAB;)3(ABC;)4(CBA;)5(CBA;)8(BCACBACABABC ;)()9(CBA.)10(BCACBACAB ;ABC或或;)6(CBACBACBACBA ,)7(BCACBACABCBACBACBACBA 概率论与集合论之间的对应关系概率论与集合论之间的对应关系记号记号概率论概率论集合论集合论样本空间，必然事件样本空间，必然事件空间空间不可能事件不可能事件空集空集e基本事件基本事件元素元素A随机事件随机事件子集子集AA的对立事件的对

35、立事件A的补集的补集BA A出现必然导致出现必然导致B出现出现A是是B的子集的子集BA 事件事件A与事件与事件B相等相等集合集合A与集合与集合B相等相等BA 事件事件A与事件与事件B的差的差 A与与B两集合的差集两集合的差集 AB事件事件A与与B互不相容互不相容A与与B 两集合中没有两集合中没有相同的元素相同的元素BA事件事件A与事件与事件B的和的和 集合集合A与集合与集合B的并集的并集AB 事件事件A与事件与事件B的的积事件积事件集合集合A与集合与集合B的交集的交集一一 基本的组合分析公式基本的组合分析公式 1全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：乘

36、法原理乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有设完成一件事需分两步，第一步有n n1 1种方法种方法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法，则完成这件事共有种方法，则完成这件事共有n n1 1n n2 2种方法种方法加法原理：加法原理：设完成一件事可有两种途径，第一种设完成一件事可有两种途径，第一种途径有途径有n n1 1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n n2 2种方法，则完成种方法，则完成这件事共有这件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。（1 1）有重复排列：）有重复排列：在有放回选取中，从在有放回选取中，从n n个元素个元素取出取出r r个元素进行排列，个元素进行排

37、列，共有共有n nr r种排列方式种排列方式. .n n n n n nn n2. 2. 排列排列(2)(2) 无重复排列无重复排列：从含有从含有n n个元素的集合中随机个元素的集合中随机抽取抽取r r次，每次取一个，取后不放回，将所取元次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列素排成一列 ( (选排列选排列) )共有共有Anr=n(n-1)(n-r+1)种排列方式种排列方式.n n n-1n-1 n-2n-2n-k+1n-k+1特别当特别当r=n时，称为时，称为全排列全排列, Pn=n(n-1)321=n!(1) (1) 从含有从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取r

38、r个，个，不考虑顺序，共有不考虑顺序，共有种取法种取法. .)!( !)1()1(!rnrnrrnnnrArnCrnrn 3.3.组合组合：(2)若若r1+r2+rk=n，把，把n个不同的元素分成个不同的元素分成k个部分个部分第一部分第一部分r1个，第二部分个，第二部分r2个个第第k部分部分r2 个则不同的分法有个则不同的分法有!21krrrn)!( !)1()1(!rnrnrrnnnrArnCrnrn 二项系数二项系数种，上式中的数称为多项系数，因为它是展式种，上式中的数称为多项系数，因为它是展式!21krrrn 的系数，当的系数，当k=2时，即为二项系数时，即为二项系数nkxxx)(21

39、krkrrxxx2121 (3) 若若n个元素中有个元素中有n1个带足标个带足标“1”，n 2个带足个带足标标“2”,nk个带足标个带足标“k ” ，且，且n1+ n2 + nk =n，从这，从这n个元素中取出个元素中取出r个，使得带有足标个，使得带有足标“i”的元素有的元素有ri个个(1ik)，而，而r1+ r2 +rk =r，这时不同取法的总数为，这时不同取法的总数为这里当然要求这里当然要求ri ni kkrnrnrn2211(4)从从n个元素中有重复地取个元素中有重复地取r个，不计顺序，则不同个，不计顺序，则不同的取法有的取法有 rrn1 种，这个数称为有种，这个数称为有重复组合数重复组

40、合数 4关于二项系数的一些公式关于二项系数的一些公式 1! 0 规定规定对于正整数对于正整数n及及k,若若kn,则则0kn knnkn对于一切对于一切nk 0 nbabnanbanba0110 特别地特别地 nnnnnnnnnnn20110 nnnnnn210222即即nrrnxrnx0)1 (, 1x当nnnnn210把排列公式推广到把排列公式推广到r是正整数而是正整数而n是任意实数是任意实数x的场合，的场合，有时是需要的，这时记有时是需要的，这时记)1()1( rxxxArx约定约定!)1()1(!rrxxxrArxrx 10 xkkakak1) 1(. . )2(; )1(古典概型古典概

41、型验称为等可能概型或验称为等可能概型或具有以上两个特点的试具有以上两个特点的试生的可能性相同生的可能性相同试验中每个基本事件发试验中每个基本事件发有限个元素有限个元素试验的样本空间只包含试验的样本空间只包含1. 定义定义二二 古典概型古典概型古典概型是有限样本空间的一种特例。古典概型是有限样本空间的一种特例。试验的试验的样本空间由样本空间由n n个样本点构成个样本点构成npppn1)()()(21任何事件任何事件A，都可以表示，都可以表示 为样本点之和。例如为样本点之和。例如nmnnnPPPAPmiii111)()()()(21,21n2. 计算公式计算公式由等可能性有：由等可能性有：miii

42、A21由事件概率由事件概率的定义的定义 ：设事件设事件A中所含样本点个数为中所含样本点个数为N(A) ，称为，称为A的的有利场合的数目，以有利场合的数目，以N()记样本空间记样本空间中样中样本点总数，则有本点总数，则有样本点总数的有利场合的数目ANANAP)()()(法国数学家拉普拉斯法国数学家拉普拉斯(Laplace)在在1812年把上式作年把上式作为概率的一般定义现在通常称它为概率的古典为概率的一般定义现在通常称它为概率的古典定义，因为它只适用于古典概型场合定义，因为它只适用于古典概型场合3. 古典概型的基本模型古典概型的基本模型:1.1.摸球模型摸球模型2.2.分球入盒问题分球入盒问题3

43、.3.分组问题分组问题摸球模型摸球模型设袋中有设袋中有4 只白球和只白球和 2只黑球只黑球, 现从袋中现从袋中无放回无放回地地依次摸出依次摸出2只球只球,求这求这2只球都是白球的概率只球都是白球的概率.解解,2只球都是白球只球都是白球摸得摸得设设 A基本事件总数为基本事件总数为,26)(NA 所包含所包含基本事件的个数为基本事件的个数为,24)(AN 2624)(AP故故.52 有放回有放回94644)(2AP课堂练习课堂练习1o 电话号码问题电话号码问题 在在7位数的电话号码中位数的电话号码中,第一位第一位不能为不能为0，求数字，求数字0出现出现3次的概率次的概率. 2o 骰子问题骰子问题

44、掷掷3颗均匀骰子颗均匀骰子,求点数之和为求点数之和为4的的概率概率.)109913619:(633 p答答案案)63:(3 p答案答案分球入盒模型分球入盒模型(1)盒子容量无限盒子容量无限问题问题1 把把 4 个球放到个球放到 3个个盒盒子中去子中去,求第求第1 1、2个个盒子中各有两个球的概率盒子中各有两个球的概率, 其中假设每个其中假设每个盒盒子可子可放任意多个球放任意多个球. 33334个球放到个球放到3个个盒盒子的所有放法子的所有放法,333334种种 个个2种种 24个个2种种 22因此第因此第1、2个盒子中各有两个球的概率为个盒子中各有两个球的概率为432224 p.272 (2)

45、 每个每个盒盒子只能放一个球子只能放一个球问题问题2 把把4个球放到个球放到10个个盒盒子中去子中去,每个每个盒盒子只能子只能放一个球放一个球, 求第求第1 至第至第4个个盒盒子各放一个球的概率子各放一个球的概率. .解解第第1至第至第4个个盒盒子各放一个球的概率为子各放一个球的概率为41044pp p789101234 .2101 问题问题3 设有设有n个球，每个球以同样的概率个球，每个球以同样的概率1/N落落到到N（N大于等于大于等于n）个格子的每一个中，求：）个格子的每一个中，求： 1 某指定的某指定的n个格子中各有一球的概率个格子中各有一球的概率nNnp!1nNnnNp!22 任何任何

46、n个格子中各有一球的概率个格子中各有一球的概率2o 生日问题生日问题 某班有某班有20个学生都个学生都是同一年出生的是同一年出生的,求有求有10个学生生个学生生日是日是1 1月月1 1日日,另外另外10个学生生日是个学生生日是12月月31日的概率日的概率. )92:(答答案案)36510101020:(20 p答答案案课堂练习课堂练习1o 分房问题分房问题 将张三、李四、王五将张三、李四、王五3人等可能地人等可能地分配到分配到3 间房中去间房中去,试求每个房间恰有试求每个房间恰有1人的概率人的概率.30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均分成名学生平均分成3组，求：

47、组，求：（1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率；（2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。!10!10!10!30)(101010201030CCCN20350)(! 9 ! 9 ! 9!27! 3)(NAP)(3)(10101020727 NCCCBP分组问题分组问题解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组名运动员集中在一组解解.,TTTTTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHS 则则.,1 TTHTHTHTTA 而而.83)(1 AP得得.,)2(2 TTHTHTHTTTHHHTHHHTHHHA .87)(2 AP因

48、此因此).(,)2().(,)1( .2211APAAPA求求次出现正面”次出现正面”“至少有一“至少有一为为设事件设事件求求”次出现正面次出现正面为“恰有一为“恰有一设事件设事件将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次., )1(为为出出现现反反面面为为出出现现正正面面设设TH1例例4. 典型例题典型例题在在 N 件产品中抽取件产品中抽取n件件,其中恰有其中恰有k 件次品的取法件次品的取法共有共有,种种 knDNkD于是所求的概率为于是所求的概率为. nNknDNkDp解解在在N件产品中抽取件产品中抽取n件的所有可能取法共有件的所有可能取法共有,种种 nN?)(,件次品的概率是多少件次品的概率是

49、多少问其中恰有问其中恰有件件今从中任取今从中任取件次品件次品其中有其中有件产品件产品设有设有DkknDN 2例例例例3 将将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中名新生随机地平均分配到三个班级中去去,这这15名新生中有名新生中有3名是优秀生名是优秀生.问问 (1) 每一个班每一个班级各分配到一名优秀生的概率是多少级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优名优秀生分配在同一个班级的概率是多少秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数名新生平均分配到三个班级中的分法总数: 55510515.! 5! 5! 5!15 (1) 每一个班级各分配到一名

50、优秀生的分法共有每一个班级各分配到一名优秀生的分法共有.) ! 4! 4! 4() !12! 3(种种 因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 4! 4! 4!12! 31 p.9125 (2)将将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种种,对于每一种分法对于每一种分法,其余其余12名新生的分法有名新生的分法有.! 5! 5! 2!12种种因此因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有名优秀生分配在同一个班级的分法共有,) ! 5! 5! 2() !123(种种 因此所求概率为因此所求概率为! 5! 5! 5!15! 5! 5! 2!1232 p

51、.916 例例4 某接待站在某一周曾接待过某接待站在某一周曾接待过 12次来访次来访,已知已知所有这所有这 12 次接待都是在周二和周四进行的次接待都是在周二和周四进行的,问是问是否可以推断接待时间是有规定的否可以推断接待时间是有规定的. 假设接待站的接待时间没有假设接待站的接待时间没有规定规定,且各来访者在一周的任一天且各来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的中去接待站是等可能的.解解周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日.712种种12341277777 故一周内接待故一周内接待 12 次来访共有次来访共有.212种种121272 p.3000000.0 小概率事件在实

52、际中几乎是不可能发生的小概率事件在实际中几乎是不可能发生的 , 从从而可知接待时间是有规定的而可知接待时间是有规定的.周一周一周二周二周三周三周四周四周五周五周六周六周日周日周二周二周四周四12341222222 12 次接待都是在周二和周四进行的共有次接待都是在周二和周四进行的共有故故12 次接待都是在周二和周四进行的概率为次接待都是在周二和周四进行的概率为例例5 假设每人的生日在一年假设每人的生日在一年 365 天中的任一天天中的任一天是等可能的是等可能的 , 即都等于即都等于 1/365 ,求求 64 个人中至少个人中至少有有2人生日相同的概率人生日相同的概率. 64 个人生日各不相同的

53、概率为个人生日各不相同的概率为.365)164365( 364365641 p故故64 个人中至少有个人中至少有2人生日相同的概率为人生日相同的概率为64365)164365( 3643651 p.997. 0 解解率率为为概概他他们们的的生生日日各各不不相相同同的的个个人人随随机机选选取取,)365( n.365)1365(364365nnp 日相同的概率为日相同的概率为个人中至少有两个人生个人中至少有两个人生而而n.365)1365(3643651nnp 说明说明人数人数至少有两人生日相同的至少有两人生日相同的 概率概率100.11694817771107765187200.4114383

54、8358057998762300.70631624271926865996400.89123180981794898965500.97037357957798839992600.99412266086534794247700.99915957596515709135800.99991433194931349469900.999993848356123603551000.999999692751072148421100.999999989471294306211200.999999999756085218951300.999999999996240323171400.99999999999996

55、2103951500.99999999999999975491600.99999999999999999900我们利用软件包进行数值计算我们利用软件包进行数值计算.例例6 甲有甲有n+1个硬币，乙有个硬币，乙有n个硬币，双方投掷之个硬币，双方投掷之后进比较求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数后进比较求甲掷出的正面数比乙掷出的正面数多的概率多的概率 若以若以A记记“甲的正面数乙的正面数甲的正面数乙的正面数”，则，则 表表示示“甲的正面数甲的正面数乙的正面数乙的正面数”，但是考虑到甲比，但是考虑到甲比乙多一个硬币这一特殊情况，则乙多一个硬币这一特殊情况，则 又表示又表示“甲的甲的反面数乙的反面数反面数

56、乙的反面数”再由硬币的对称性，显再由硬币的对称性，显然然P(A)P( )因此我们构造只有两个样本点的因此我们构造只有两个样本点的样本空间样本空间A, ，便可轻而易举地写出答案，便可轻而易举地写出答案 P(A)1/2AAAA例例7 7 抽签与顺序无关抽签与顺序无关 第一种解法第一种解法 把把a只黑球及只黑球及b只白球都看作是只白球都看作是不同不同的的(例如没想把它们进行编号例如没想把它们进行编号)若把摸出的球依次放在若把摸出的球依次放在排列成一直线的排列成一直线的a+b个位置上，则可能的排列法相当个位置上，则可能的排列法相当把把a+b个元素进行全排列，总数为个元素进行全排列，总数为(a+b)!，

57、把它们作为，把它们作为样本点全体有利场合数为样本点全体有利场合数为 a (a+b-1)!，这是因为第，这是因为第k次模得黑球有次模得黑球有a种取法，而另外种取法，而另外a+b-1次摸球相当于次摸球相当于a+b-1 只球进行全排列，有只球进行全排列，有(a+b-1)!种构成法故所求种构成法故所求概率为概率为a/(a+b). 这个结果与这个结果与k无关无关.袋中有袋中有a a个黑球，个黑球，b b个白球，它们除颜色不同外个白球，它们除颜色不同外其他方面没有差别，现在把球随机地一只只摸出来，其他方面没有差别，现在把球随机地一只只摸出来，求第求第k k次摸出的一只球是黑球的概率（次摸出的一只球是黑球的

58、概率（ 1ka+b1ka+b） 第二种解法第二种解法 把把a只黑球看作是没有区别的，把只黑球看作是没有区别的，把b只白球也看作是没有区别的仍把摸出的球依次只白球也看作是没有区别的仍把摸出的球依次放在排列成一直线的放在排列成一直线的a+b个位置，若把个位置，若把a只黑球的只黑球的位置固定下来则其他位置必然是放白球，而黑球位置固定下来则其他位置必然是放白球，而黑球的位置可以有的位置可以有 种放法，以这种放法作为种放法，以这种放法作为样本点这时有利场合数为样本点这时有利场合数为 ，这是由于第，这是由于第k次模得黑球，这个位置必须放黑球，剩下的黑球次模得黑球，这个位置必须放黑球，剩下的黑球可以在可以在

59、a+b-1个位置上任取个位置上任取a-1个位置，因此共有个位置，因此共有 种放法所以所求概率为种放法所以所求概率为abaC 11 abaC11 abaCbaaCCPabaabak 11细想细想下，就会发觉这个结果与我们平常的生活下，就会发觉这个结果与我们平常的生活经验是一致的例如在体育比赛小进行抽签，对经验是一致的例如在体育比赛小进行抽签，对各队机会均等，与抽签的先后次序无关各队机会均等，与抽签的先后次序无关 注意考察一下两种解法的不同，就会发现主注意考察一下两种解法的不同，就会发现主要在于选取的样本空间不同；在前一种解法中把要在于选取的样本空间不同；在前一种解法中把球看作是球看作是“有个性的

60、有个性的”，而在后一种解法则对同，而在后一种解法则对同色球不加区别，因此在第一种解法中要顾及各黑色球不加区别，因此在第一种解法中要顾及各黑球间从各白球间的顺序而用排列，第二种解法则球间从各白球间的顺序而用排列，第二种解法则不注意顺序而用组合。不注意顺序而用组合。 这说明对于同一随机现象，可以用不同的模型这说明对于同一随机现象，可以用不同的模型来描述，只要方法正确，结论总是一致的来描述，只要方法正确，结论总是一致的 产品抽样检验有两类，即有产品抽样检验有两类，即有放回抽样放回抽样与与不放回不放回抽样抽样在有在有放回抽样放回抽样中，被抽出的产品检验后仍放中，被抽出的产品检验后仍放回产品堆中，再抽第