考研数学二模拟题

1、考研数学二模拟题考研数学二模拟题一、选择题： 18 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。（ 1 ） 当 x0 时 ， 设arctan x2 ，1x a1(a0) ，x20arcsintdt ，把三个无穷小按阶的高低由低到高排列起来，正确的顺序是（）（A）,；（B） , ；（C） ,；（D）, ；（2）设函数 f (x) 在 (,) 内连续，在 (,0)(0,) 内可导，函数yy( x) 的图像为yOx则其导数的图像为（）第2页共17页yyOxOx(A)(B)yyOxOx(C)(D)(3)若 f (x) 是奇函数，

2、 ( x) 是偶函数，则 f ( x) （）（A）必是奇函数（B）必是偶函数（C）是非奇非偶函数（D）可能是奇函数也可能是偶函数ln(1 x) (ax bx2 )）(4)设 limx0x22 ，则（第3页共17页（A）a 1,b5；（ ） a 0, b2 ；（C） a 0, b5 ；（D）2B2a 1,b 2(5)下列说法中正确的是（）（A）无界函数与无穷大的乘积必为无穷大；（B）无界函数与无穷小的乘积必为无穷小；（C）有界函数与无穷大之和必为无穷大；（D）无界函数与无界函数的乘积必无解；(6)设线性无关的函数y1, y2 , y3 都是二阶线性非齐次方程 y p( x) y q( x) y

3、f (x)的解， C1 , C2 ,C3 为任意常数，则该方程的通解是（）（A）C1 y1 C2 y3C3 y3 ；（B）C1 y1 C 2 y3(C1 C2 ) y3 ；（C） C1 y1 C2 y3(1 C1 C2 ) y3 ；（D） C1 y1 C2 y3 (1 C1C2 ) y3 ；(7)设 A 是 n 阶矩阵，齐次线性方程组（ I ） Ax 0 有非零解，则非齐次线性方程组（II ） AT x b ，对任何b (b1, b2 , bn )T（A）不可能有唯一解；（ B）必有无穷多解；（C）无解；（ D）可能有唯一解，也可能有无穷多解第4页共17页T(8)设 A, B 均是 n 阶可逆

4、矩阵，则行列式2 A01 的值0B为（A）( 2)n A B 1 ；（ ） 2 AT B ；（C）2AB1；（D）B(2)2 n1A B二、填空题： 914 小题，每小题4 分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。(9)已知yf3x2，f(x)arcsin x2，则3x2dy。dx x 0(10)xx满 足 f (0) 0 的 特 解方 程 0f ( xt )dt1 x3 0f (t )dt3为。(11)( x22。其中 D 为 x21。2y2 ) dy2D ab(12)设 f ( x)有一个 原 函 数 为 ex2， 则1f ( x2 )dx。0(13)若xxxt 2，则=。f (t)f

5、(t ) lim t 2 11(14)设 A 是三阶矩阵，已知 AE0,A 2E 0,A 3E0 ，B 与 A相似，则B的相似对角形第5页共17页为。三、解答题 1523 小题，共 94 分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(1 x x2 / 2)ex1 x3(15)（本题满分 10 分）求 x 03。limx(16)（本题满分 10分）计算12 y y222 y y 2y2 )dx 。0 dyy y2 ( x2y2 )dx1 dy0( x2(17) （本题满分10 分）设 f (x) 在 0,)f ( x)dx1lim f ( x)00,1， x。证明：至少02x连续，且，使得f (

6、)。(18)（本题满分 10分）设函数 z z( x, y) 由方程F (xzyz所确定，其中f 有一阶连续偏导数，求,) 0yxxzy z 。xy(19) （本题满分 10 分）一个瓷质容器， 内壁和外壁的形状分别为抛物线x21 和 yx2y1010 绕 y 轴的旋转面，容器的外高为10，比重为 25 。把它铅直地浮19在水中，再注入比重为3 的溶液。问欲保持容器第6页共17页不沉没，注入液体的最大深度是多少？（长度单位为厘米）(20) （本题满分 11 分）设 g( x)f ( x)exxxx 0 ，其中axbx 0f (x) 在 x 0 处二阶可导，且 f (0)f (0) 1 。（ I

7、 ） a 、 b 为何值时 g( x) 在 x 0 处连续？（ II ） a 、 b 为何值时 g(x) 在 x 0 处可导？(21) （本题满分 11 分）过椭圆 3x2 2xy 3 y2 1 上任一点作椭圆的切线，试求诸切线与两坐标轴所围成的三角形面积的最小值。(22) （本题满分 11 分）设 A 是实矩阵。证明：（I ）AT Ax 0 与 Ax 0 是同解方程组；（II ）秩 ( AT A) =秩 ( A)(23)（本题满分 11 分）设 A 为三阶方阵， 1 , 2 ,3 为三维线性无关列向量组，且有A 123 ， A 213 ，A312。求（I ）求 A 的全部特征值。 （II ）

8、 A 是否可以对角化？第7页共17页考研数学二模拟题参考答案二、选择题： 18 小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号中。（ 1）Cx2arcsin tdtx2解：由arcsin tdtlim 2x arctan x200limlim2lim20x 0x 0arctan xx 0xx 02x所以limlimarctan x2lim x20由 x 0x 0 (1 x) a1x 0 ax。故 C 成立。（ 2）B解：由于函数可导（除 x 0 ）且取得两个极值，故函数有两个驻点， 即导函数图像与 x 轴有且仅有两个交点，故

9、A，C 不正确。又由函数图像，极大值应小于极小值点，故 D 不正确。（ 3） B解：设 g( x)f ( x) ，则 g(x)f (x)f ( x)g (x)（ 4）A第8页共17页ln(1 x) (axbx 2 )lim1/ (1 x)(a 2bx)lim x 0解： lim22，则x 0xx 02x，因 x 0x 0x)(a 2bx)0，故 a1 。而lim1/ (1ln(1x)( x bx 2 )xln(1x)x，故1，所以5x 0202b 22 bblimxlimx22【也可以用泰勒公式计算】（ 5）C设f ( x)在( a, b)内有界，即f ( x)M1 ； 0(a, b)， x

10、x0g( x)，xlim即 M 2M 1，使当 0x x0时， g( x)M2 。则g (x) f ( x)g(x)f ( x) M 2 M 1M，即对 M0，当 0x x0时， g( x)f ( x)M ，故 limf (x)g( x)x x0（ 6）D由y1 , y2 , y3 都 是 已 知 方 程 的 线 性 无 关 的 解 知yC1 ( y1y3)C2 ( y2y3 )是 二 阶 线 性 齐 次 方 程y p( x) y q(x) y 0 的通解；根据二阶线性方程通解的结构定理知，该方程的通解为yC1 ( y1y3 )C2 ( y2y3 )y3C1 y1C2 y3(1C1C2 ) y

11、3（ 7）A解： Ax 0 有非零解，充要条件是 r ( A) n ，由此即可找到答案。第9页共17页（ 8）D解：AT0=2 AT0T1=( 2)2n120 B 102B 12A 2BA B二、填空题： 914 小题，每小题 4 分，共 24 分。把答案填在题中的横线上。（9）应填 3 。2解：由 yf3x2， f ( x)arcsin x2 得3x2dyarcsin( 3x2 )2( 3x2 )arcsin( 3x2)212dx3x23x23x2(3x2) 2dy12 arcsin13dx x 042(10)应填 f (x)2( x1)2ex解：令 x tu ，原方程变为 xxf (u)d

12、uxuf (u)du1x3xf (t)dt0003方程两边对 x 求导得 0xf (u)dux2f ( x)再两边对 x 求导得 f ( x)2xf (x) ，即 dyy2xdxdxdxy e ( 2x)e dx C 2( x 1) C由 y(0)0 得 C2，故 yf ( x) 2( x1)2ex(11)应填( 1212 )4ab第10页共17页( x22( x22 y222 y22y2 )d1x) dD ab2Dab1 ( 11 ) ( x2y2 )d2a2b2D0 r 3dr1(1212 )0d212ab1 14 ( a2b2 )(12)应填 12 (e 1)解：由 1x3 f(x2 )

13、dx11x2 f( x2 )dx 2 u x2 11uf(u) du11xf ( x)dx0202020其中 f ( x)(ex2)2xex2利用分部积分法，有1111f (x)dx 2x2ex21ex210xf (x)dx0xdf (x)xf ( x) 0000e 1故 01 x3 f (x2 ) dx1 (e 1)2故 原式1 xe x2 dx11 e x2 dx21 e0202(13)应填 2tet2(1t 2 )解：由于 f (t )t 2et 2所以 f (t ) et 2(t 2 2t2t)2tet 2(t 21)1x 201 (1 e 1 )21(14)应填2【形式不唯一，只要是

14、对角线上3第11页共17页为-1，-2，-3 就对】解：由AE0,A2E0,A3E0，知 A的特征值为1 1, 122, 33 ，相似矩阵具有相同的特征值，所以 B 的特征值也为11, 122, 33 ，故 B 相似的标准1形为23三、解答题 1523 小题，共 94 分。解答应写文字说明、证明过程或验算步骤。(15) （本题满分 10 分）解：由 (1xx2)ex(1 xx2)1xx2x3x3 1x3x3222!3!6131 x3(1 x3 ) 21xx32lim (1xx2 / 2)ex1x3所以 x03x1 x3x31 x3x3 1lim632x0x3(16) （本题满分 10 分）解：

15、本题积分区域利用极坐标表示D ( r ,) 0,sinr2sin 2原式d2sin2rdr115sin 4 dr0sin40第12页共17页15(1cos2) 2 d40215(12cos 21 cos4 ) d16024564(17) （本题满分 10 分）证明：作函数 F (x) f ( x) x ，有11110F ( x) dx0 f ( x)xdx0f (x)dx0 。2所以由积分中值定理，存在a 0,1 ，使 01F ( x) dx (10) F ( a) 0, 即 F (a) 0 。xF (x)f ( x)11，所以，由极限的保号性，存x又 limxlimx在 b a ，使 F (

16、b)0，即 F (b) 0。b因此，由介值定理，至少存在一个a,b (0, ) ，使F( )0，即 f ( )。(18) （本题满分 10 分）解：设 uxz ， vyz ，则 f (u,v) 0yxFuux Fvvx Fu (z x z) Fv (yz y z) 0y y xx2x x第13页共17页解得： zyz2Fvz Fu/x Fuy FvxxyyxFu uy Fvvy Fu (xzx z ) Fv (z y z ) 0y2yyxxy解得： zxz2Fuz Fv/x Fuy Fvyyyyx所以 x zy zyz Fvxz Fuxz Fuyz Fv/ x Fuy Fv =0xyxyyxy

17、x(19) （本题满分 10 分） 解： 设容器体积为 V ，容器的容积即由抛物线yx21 在 1,10 上绕 y 轴旋转10所得立体的体积V1 ，则10，V110V010 ydy 500110( y 1)dy 405所以，容器重量为 (V V1 ) 25 2375 19 19设注入液体的最大深度为h ，则注入液体的重量为3h 110( y 1)dy 15 h21若液体和容器形成一体的比重为 1，则可保持其在水中不沉没2375h2，可得 h225 ， h 5所以，由 191500(20) 解：（I ） x 0x 0f ( x) exxx 0f (x) ex1lim g( x)limxlim11

18、第14页共17页limg(x)lim( axb)bx 0x 0若要g( x)在x 0处连续，必须lim g( x)lim g( x)g(0)，即x0x 0b1bb1ag( x)x0故， 为任意实数时，在处连续。（II）若要 g ( x) 在 x 0 处可导，则必须 g(x) 在 x0 处连续（ b1 ），且 g(0)g (0)所以g(0)limg( x)g(0)lim f ( x)exx(1)xx0xx 0x2limf ( x)exlimf (x)ex1 limf(x)f (0)ex1x 0x2x 02x2 x 0x1limf( x)f (0)lim ex 11 f(0)12x 0xx0x2g

19、(0)limax1(1)ax0x所以 a1 f(0)1 ， b1时， g( x) 在 x0 处可导2(21) （本题满分 10 分）解：设 ( x, y) 为所给椭圆上任一点，则可求得在 ( x, y) 处的切线方程为(3 x y)( X x) ( x 3y)(Y y) 0它与两坐标轴的交点为(x3y) y(3xy) x3xyx,0 和 0,y 。x3 y所以切线与坐标轴围成的三角形面积为1(x3y) y(3xy) x11S3xyx3yyy)( x 3y)2x2 (3 x第15页共17页则只须求 (3xy)( x3y) 在条件3x22xy 3y21 下的极值即可。设 F ( x, y, )(3 xy)( x3 y)3x22xy3 y21Fx6x10