异面直线所成角与距离

1、文安第二中学文安第二中学 ZHJ ZHJ 异面直线知识回顾：异面直线知识回顾：异面直线的定义异面直线的定义：异面直线的判断方法异面直线的判断方法：不同在不同在任一任一平面里的直线平面里的直线1、不平行也不相交的直线。、不平行也不相交的直线。2、过平面外一点与平面内一点的直线，、过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。和平面内不经过该点的直线是异面直线。如图所示：正方体的棱所在如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线的直线中，与直线A1B异面的异面的有哪些？有哪些？ A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C 答案答案： D1C1C

2、1CCDD1DADB1C1a,ba,b是两异面直线，在空中任取一点是两异面直线，在空中任取一点O O，过，过O O作两异面直线的平行线作两异面直线的平行线a a1 1,b,b1 1, ,则则称称a a1 1,b,b1 1所成的所成的锐角或直角锐角或直角为为a ab bO Oa1b1两异面直线两异面直线a,ba,b所成的角。所成的角。定义定义已知空间四边形已知空间四边形ABCD两对角线两对角线互相垂直，且互相垂直，且AC=6，BD=8，E、G分别是分别是AB、CD上的中点，求线上的中点，求线段段EG的长度。的长度。A AB BC CE EG GD DF F练习如何体现两对角线互相垂直？如何体现两

3、对角线互相垂直？思路思路：两对角线互相垂直，即他们所成两对角线互相垂直，即他们所成的角为直角，应把这个角作出的角为直角，应把这个角作出又又E E、G G是是ABAB、CDCD的中点，考虑的中点，考虑作作ADAD的中点的中点F F，利用中位线，利用中位线EFEF、GFGF组成三角形组成三角形EFGEFG进行计算。进行计算。解：取解：取ADAD中点中点F F，连结，连结EFEF，FGFG，则，则EFEF是是 ABDABD的中位线，的中位线，FGFG是是 ADC ADC的中位线。的中位线。A AB BC CE EG GD DF F EFBD FGAC EFBD FGAC， EFGEFG为异面直线为异

4、面直线ACAC、BDBD所成的角。所成的角。 BD=8,AC=6 EF= 4, FG=3 BD=8,AC=6 EF= 4, FG=3 又又ACAC垂直垂直BD EFG=90BD EFG=90 在在RtRtEFGEFG中，中，5432222FGEFEG解解答答 若若abab，bcbc，则，则a a，c c的位置关系是什么？这样的的位置关系是什么？这样的b b有几条？请同学们，用笔比量有几条？请同学们，用笔比量一下。一下。 若若a,ca,c是异面直线，是异面直线，abab，bcbc，b b与与a,ca,c都相交，都相交，这样的这样的b b又能有几条？请同学又能有几条？请同学们试一下。们试一下。 a

5、,c可以平行、相交或异面，满可以平行、相交或异面，满足条件的足条件的b有无数条。有无数条。与异面直线都垂直且与异面直线都垂直且相交相交的直线的直线有且只有一条有且只有一条，它叫，它叫两异面直线的公垂线两异面直线的公垂线 a b c 如图所示：如图所示：abab，bcbc且且b b与两异面直线与两异面直线a a、c c都相交，把直线都相交，把直线b b叫作叫作a,ca,c两两异面直线的公垂异面直线的公垂线。线。公垂线夹在两异面直线间的线段的长度，叫两异面直线的距离。在两异面直线上各取一在两异面直线上各取一点，这点，这两点间距离的最两点间距离的最小值小值就是两异面直线的就是两异面直线的距离距离。b

6、 ba al lA AB Bl l是是a,ba,b的公垂线，且与的公垂线，且与a,ba,b的交点分别是的交点分别是A A、B B那么线段那么线段ABAB的长叫异面直线的长叫异面直线a,ba,b的距离。的距离。EF 如图所示：如图所示：EFAB A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C 找出每对异面直线的找出每对异面直线的公垂线，若正方体的公垂线，若正方体的边长为边长为1，请回答每，请回答每对异面直线的距离是对异面直线的距离是多少。多少。1、 A1B与与D1C1公垂线是公垂线是_距离是距离是_2、A1B与与C1C公垂线是公垂线是_距离是距离是_3、 A1B与

7、与CD公垂线是公垂线是_距离是距离是_4、 B1B与与AD公垂线是公垂线是_距离是距离是_5、 A1A与与B1C1公垂线是公垂线是_距离是距离是_A1D1BCBCABA1B111111例例1 1、等腰等腰RtRtABCABC中，中，A=90A=90 ，BC= ,DAAC,DA AB,BC= ,DAAC,DA AB,若若AD=1AD=1，且，且E E是是ADAD的中点，求异面直线的中点，求异面直线EBEB、DCDC所成所成的角的余弦。的角的余弦。2A AC CD DB BE E如何作出异面直线EB、DC所成的角？作出了异面直线所成的角后应如何进行计算？思考：思考：考虑利用中点考虑利用中点E E作

8、作DACDAC的中的中位线位线EFEF，BEFBEF就是异面直就是异面直线所成的角。线所成的角。利用BEFBEF。F例例2、空间四边形、空间四边形ABCD四边长为四边长为10，对角线，对角线BD=8，AC=16，E，F分别是分别是AC、BD的中的中点求证点求证:(1)EF是是AC、BD的公垂线段；的公垂线段；(2)求求出异面直线出异面直线AC、BD的距离。的距离。A A B BC CD DE EF FEFEF是是ACAC、BDBD的公垂线意味着的公垂线意味着什么什么？上面的答案再加上条件：上面的答案再加上条件：E E、F F是中点，可以引出一是中点，可以引出一些什么样的结论？些什么样的结论？思

9、考思考EF AC，EF BDEF是是AC的中垂线，的中垂线，AFC是等腰三角形。是等腰三角形。A AB BC CD DE EF F连结连结EB、ED、AF、FC。ABCD四边长都为四边长都为10 ADC ABCBE、DE是两三角形对应边上的中线是两三角形对应边上的中线 BE=DE EBD是等腰三角形是等腰三角形EF是底边上的中线是底边上的中线 EFBD同理：同理：EF AC， EF是是AC、BD的公垂线段。的公垂线段。(2)ABC中中AB=BC=10， AC=16，E为为AC中点中点 BE=6 RtBEF中，中，BF=452EFBD,AC的距离为异面直线总结1 1、异面直线所成的角即与之分别平行、异面直线所成的角即与之分别平行的一组相交直线所成的的一组相交直线所成的直角或锐角直角或锐角，当，当异面直线所成的角为直角时，称两异面异面直线所成的角为直角时，称两异面直线垂直。直线垂直。注意：垂直末必相交。注意：垂直末必相交。 先在其中一条直