立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1、立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法(一一)证明平行与垂直证明平行与垂直1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设 a，b 是平面内两不共线向量，n 为平面的法向量，则求法向量的方程组为na0，nb0.2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2(或 l1与 l2重合)v1v2.(2)设直线 l 的方向向量为 v，与平面共面的两个不共线向量 v1和 v2，则 l或 l存在两个实数 x，y，使 vxv1yv2.(3)设直线 l 的方向向量为 v，平

2、面的法向量为 u，则 l或 lvu.(4)设平面和的法向量分别为 u1，u2，则u1u2.3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线 l1和 l2的方向向量分别为 v1和 v2，则 l1l2v1v2v1v20.(2)设直线 l 的方向向量为 v，平面的法向量为 u，则 lvu.(3)设平面和的法向量分别为 u1和 u2，则u1u2u1u20.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)直线的方向向量是唯一确定的()(2)平面的单位法向量是唯一确定的()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行()(5)若 ab，则 a 所在直线

3、与 b 所在直线平行()(6)若空间向量 a 平行于平面，则 a 所在直线与平面平行()1下列各组向量中不平行的是()Aa(1,2，2)，b(2，4,4)Bc(1,0,0)，d(3,0,0)Ce(2,3,0)，f(0,0,0)Dg(2,3,5)，h(16,24,40)2已知平面内有一点 M(1，1,2)，平面的一个法向量为 n(6，3,6)，则下列点 P 中，在平面内的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)3已知AB(1,5，2)，BC(3,1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且 BP平面 ABC，则实数 x，y，z 分别为_4若 A(0,2，1

4、98)，B(1，1，58)，C(2,1，58)是平面内的三点，设平面的法向量 n(x，y，z)，则 xyz_.题型一证明平行问题例1(2013浙江改编)如图， 在四面体ABCD中， AD平面BCD， BCCDAD2， BD2 2， M 是 AD 的中点， P 是 BM 的中点， 点 Q 在线段 AC 上，且 AQ3QC.证明：PQ平面 BCD.如图，在棱长为 2 的正方体 ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N 分别是棱 AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点 P，Q 分别在棱 DD1，BB1上移动，且 DPBQ(02)(1)当1 时，证明：直线 BC1平面 EFPQ；(2)是否存在，使

5、平面 EFPQ 与平面 PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由题型二证明垂直问题例 2如 图 所 示 ， 正 三 棱 柱 ( 底 面 为 正 三 角 形 的 直 三 棱柱)ABCA1B1C1的所有棱长都为 2， D 为 CC1的中点 求证： AB1平面 A1BD.如图所示，在四棱锥 PABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四边形 ABCD 中，BC90，AB4，CD1，点 M 在 PB 上，PB4PM，PB 与平面 ABCD 成 30角(1)求证：CM平面 PAD；(2)求证：平面 PAB平面 PAD.题型三解决探索性问题例 3如图，棱柱 ABCDA1B1

6、C1D1的所有棱长都等于 2，ABC 和A1AC 均为 60，平面AA1C1C平面 ABCD.(1)求证：BDAA1；(2)求二面角 DA1AC 的余弦值；(3)在直线 CC1上是否存在点 P，使 BP平面 DA1C1，若存在，求出点 P 的位置，若不存在，请说明理由如图所示，四棱锥 SABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P 为侧棱 SD 上的点(1)求证：ACSD.(2)若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC.若存在，求 SEEC 的值；若不存在，试说明理由利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥 PABCD 中，底面 AB

7、CD 为矩形，PA平面ABCD，E 为 PD 的中点(1)证明：PB平面 AEC；(2)设二面角 DAEC 为 60， AP1， AD 3， 求三棱锥 EACD的体积A 组专项基础训练1若直线 l 的方向向量为 a(1,0,2)，平面的法向量为 n(2,0，4)，则()AlBlClDl 与相交2若ABCDCE，则直线 AB 与平面 CDE 的位置关系是()A相交B平行C在平面内D平行或在平面内3已知 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，则平行四边形 ABCD 的顶点 D 的坐标是()A(2,4，1)B(2,3,1)C(3,1,5)D(5,13，3)4已知 a(2，1,3)，b

8、(1,4，2)，c(7,5，)，若 a，b，c 三向量共面，则实数等于()A.627B.637C.607D.6575如图，在长方体 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1 3，AD2 2，P 为 C1D1的中点，M 为 BC 的中点则 AM 与 PM 所成的角为()A60B45C90D以上都不正确6已知平面内的三点 A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一个法向量 n(1，1，1)，则不重合的两个平面与的位置关系是_7设点 C(2a1，a1,2)在点 P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)确定的平面上，则 a_.8如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1

9、中，棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC上的点，A1MAN2a3，则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是_9如图，四边形 ABCD 为正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QAAB12PD.证明：平面 PQC平面 DCQ.10如图，在底面是矩形的四棱锥 PABCD 中，PA底面 ABCD，E，F 分别是 PC，PD 的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面 PAB；(2)求证：平面 PAD平面 PDC.B 组专项能力提升11如图，正方形 ABCD 与矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB 2，AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 BDE，则 M 点的坐标为()A(1,1,1)B(23，23，1)C(22，22，1)D(24，24，1)12设 u(2,2，t)，v(6，4,4)分别是平面，的法向量，若，则 t 等于()A3B4C5D613在正方体 ABCDA1B1C1D1中，P 为正方形 A1B1C1D1四边上的动点，O 为底面正方形 ABCD 的中心，M，N 分别为 AB，BC 的中点，点 Q 为平面 ABCD 内一点，线段 D1Q 与 OP 互相平分，则满足MQMN的实数有_个14如图所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 为等腰直角三角形， BAC90， 且 ABAA1， D、 E、 F