第二十八章282解直角三角形第3课时(人教版九下)

1、28.2 解直角三角形第3课时 1.1.理解坡度、方位角等概念理解坡度、方位角等概念. . （重点）（重点）2.2.掌握数学建模的方法，解决方位、坡面测量等问题掌握数学建模的方法，解决方位、坡面测量等问题. . （重点、（重点、难点）难点）解直角三角形应用中的概念解直角三角形应用中的概念1.1.坡度、坡角的概念：坡度、坡角的概念：如图，我们通常把坡面的如图，我们通常把坡面的_高度高度h h和和_宽度宽度l的比叫做坡的比叫做坡度（或坡比），用字母度（或坡比），用字母i i表示，即表示，即i=tan= i=tan= ，这里，这里，是坡是坡面与面与_面的夹角，这个角叫坡角面的夹角，这个角叫坡角. .

2、hl垂直垂直水平水平水平水平2.2.方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于方位角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于9090的的角，叫做方位角角，叫做方位角. .如图中的目标方向线如图中的目标方向线OAOA，OBOB，OCOC，ODOD的方位的方位角分别表示为角分别表示为_，_，_，_._.北偏东北偏东3030东南方向东南方向南偏西南偏西8080北偏西北偏西6060 （打（打“”或或“”）(1)(1)坡度是指坡的度数坡度是指坡的度数. . （ ）(2)(2)坡度是一个比值坡度是一个比值. . （ ）(3)(3)若从点若从点A A观察点观察点B B的方位角是北偏东的方位角是北偏东50

3、50，那么从点，那么从点B B观察点观察点A A的方位角是南偏西的方位角是南偏西5050. . （ ）知识点知识点 1 1 与方位角有关的计算与方位角有关的计算【例【例1 1】（20132013黄石中考）高考英语听力黄石中考）高考英语听力测试期间，需要杜绝考点周围的噪音测试期间，需要杜绝考点周围的噪音. .如图，如图，点点A A是某市一高考考点，在位于是某市一高考考点，在位于A A考点南偏西考点南偏西1515方向距离方向距离125 m125 m的的C C点处有一消防队点处有一消防队. .在在听力考试期间，消防队突然接到报警电话，听力考试期间，消防队突然接到报警电话，告知在位于告知在位于C C点

4、北偏东点北偏东7575方向的方向的F F点处突发火灾，消防队必须点处突发火灾，消防队必须立即赶往救火立即赶往救火. .已知消防车的警报声传播半径为已知消防车的警报声传播半径为100 m100 m，若消防，若消防车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶车的警报声对听力测试造成影响，则消防车必须改道行驶. .试试问：消防车是否需要改道行驶？说明理由问：消防车是否需要改道行驶？说明理由. .（ 取取1.7321.732）【思路点拨】【思路点拨】作作ABCF.ABCF.先求先求ACBACB的度数，再求的度数，再求ABAB的长，最后的长，最后比较比较100100与与ABAB的长下结论的长下结论

5、. .3【自主解答】【自主解答】作作ABCF,ABCF,垂足为垂足为B B，由题意知，由题意知ACF=75ACF=75-15-15=60=60, ,在在RtRtABCABC中，中，sinACB = ,AB=125sinACB = ,AB=125sin 60sin 60 =125 =125 125125 =108.25 =108.25（m m）, ,108.25108.25100,100,消防车不需要改道行驶消防车不需要改道行驶. .ABAC321.7322【总结提升】【总结提升】解答与方位角有关的计算问题的方法解答与方位角有关的计算问题的方法1.1.弄清航行中方位角的含义，根据题意画出图形，画

6、图时要先弄清航行中方位角的含义，根据题意画出图形，画图时要先确定方向标，把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在确定方向标，把实际问题转化为数学问题是解题的关键所在. .2.2.船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标船在海上航行，在平面上标出船的位置、灯塔或岸上某目标的位置，关键在于确定基准点的位置，关键在于确定基准点. .当船在航行时，基准点在转移，当船在航行时，基准点在转移，画图时要特别注意画图时要特别注意. .3.3.常说的东南、西南、东北、西北是特指方向，均与南、北方常说的东南、西南、东北、西北是特指方向，均与南、北方向成向成4545角角. .知识点知识点 2 2 与坡度

7、有关的计算与坡度有关的计算【例【例2 2】学校校园内有一小山坡学校校园内有一小山坡ABAB，经测量，坡角，经测量，坡角ABC=30ABC=30，斜坡斜坡ABAB长为长为12 m12 m，为方便学生行走，决定开挖小山坡，斜坡，为方便学生行走，决定开挖小山坡，斜坡BDBD的坡比是的坡比是1313（即为（即为CDCD与与BCBC的长度之比），的长度之比），A A，D D两点处于同一两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.AD.【解题探究】【解题探究】（1 1）在）在RtRtACBACB中如何求中如何求ACAC，BCBC的长？的长？提示提示: :在在RtR

8、tACBACB中，中，ABC=30ABC=30，AC= AB=6AC= AB=6（m m），），BC=ABcosABC=12BC=ABcosABC=12 (m). (m).（2 2）在）在RtRtDCBDCB中如何先求中如何先求CDCD的长，再求的长，再求ADAD的长？的长？提示提示: :斜坡斜坡BDBD的坡比是的坡比是1313，CD= BC= CD= BC= （m m），），AD=ACAD=ACCD=6CD=6 （m m）. .答：开挖后小山坡下降的高度答：开挖后小山坡下降的高度ADAD为为(6(6 ) m.) m.1236 32132 32 32 3【总结提升】【总结提升】解答坡度问题的方

9、法解答坡度问题的方法1.1.坡度问题需明确坡度的概念，即坡度坡度问题需明确坡度的概念，即坡度i=tan i=tan ，然后根据具，然后根据具体情况代入计算体情况代入计算. .当给出的条件是坡面长度和坡度时，根据定当给出的条件是坡面长度和坡度时，根据定义，构建方程来求解义，构建方程来求解. .应用时要注意与三角函数的结合应用时要注意与三角函数的结合. .2.2.坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大. . 3.3.与坡度有关的问题常与水坝有关，即梯形问题，常用的方法与坡度有关的问题常与水坝有关，即梯形问题，常用的方法一般是过上底的顶点作下底的垂线，构造直

10、角三角形和矩形来一般是过上底的顶点作下底的垂线，构造直角三角形和矩形来求解求解. .题组一题组一: :与方位角有关的计算与方位角有关的计算1.1.如图，轮船从如图，轮船从B B处以每小时处以每小时50 n mile50 n mile的速度沿南偏东的速度沿南偏东3030方方向匀速航行，在向匀速航行，在B B处观测灯塔处观测灯塔A A位于南偏东位于南偏东7575方向上，轮船航方向上，轮船航行半小时到达行半小时到达C C处，在处，在C C处观测灯塔处观测灯塔A A位于北偏东位于北偏东6060方向上，方向上，则则C C处与灯塔处与灯塔A A的距离是（的距离是（ ）A.25 n mile B.25 n

11、mileA.25 n mile B.25 n mileC.50 n mile D.25 n mileC.50 n mile D.25 n mile32【解析】【解析】选选D.D.如图所示，如图所示，BCA=90BCA=90,ABC=75,ABC=75-30-30=45=45, , BC= =25 BC= =25（n milen mile）,AC=BC=25 n mile.,AC=BC=25 n mile.5022.2.在一自助夏令营活动中，小明同学从营地在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A A出发，要到出发，要到A A地的地的北偏东北偏东6060方向的方向的C C处，他先沿正东方向走了处，他

12、先沿正东方向走了200 m200 m到达到达B B地，地，再沿北偏东再沿北偏东3030方向走，恰能到达目的地方向走，恰能到达目的地C C（如图），那么，（如图），那么，由此可知，由此可知，B B，C C两地相距两地相距_m_m【解析】【解析】由已知得：由已知得：ABC=90ABC=90+30+30=120=120，BAC=90BAC=90-60-60=30=30，ACB=180ACB=180-ABC-BAC=-ABC-BAC=180180-120-120-30-30=30=30，ACB=BACACB=BAC，BC=AB=200 mBC=AB=200 m答案答案: :2002003.3.（201

13、32013泰安中考）如图，某海监船向正西方向航行，在泰安中考）如图，某海监船向正西方向航行，在A A处望见一艘正在作业渔船处望见一艘正在作业渔船D D在南偏西在南偏西4545方向，海监船航行方向，海监船航行到到B B处时望见渔船处时望见渔船D D在南偏东在南偏东4545方向，又航行了半小时到达方向，又航行了半小时到达C C处，望见渔船处，望见渔船D D在南偏东在南偏东6060方向，若海监船的速度为方向，若海监船的速度为50 n mile/h50 n mile/h，则，则A A，B B之间的距离为之间的距离为_（取（取 1.71.7，结，结果精确到果精确到0.1 n mile0.1 n mile

14、）3【解析】【解析】DBA=DAB=45DBA=DAB=45，DABDAB是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E E，则，则DE= AB.DE= AB.设设DE=xDE=x，则，则AB=2xAB=2x，在在RtRtCDECDE中，中，DCE=30DCE=30，则则CE= DE= xCE= DE= x，在在RtRtBDEBDE中，中，DBE=45DBE=45，则则DE=BE=xDE=BE=x，1233由题意得，由题意得，CB=CE-BE= x-x=25CB=CE-BE= x-x=25，解得解得 35.735.7，AB=2x=2AB=2x=235.7=71

15、.435.7=71.4（n milen mile）. .答案答案: :71.4 n mile71.4 n mile32525x0.7314.4.某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直某海滨浴场东西走向的海岸线可近似看作直线线l（如图）救生员甲在（如图）救生员甲在A A处的瞭望台上观察处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的海面情况，发现其正北方向的B B处有人发出求处有人发出求救信号他立即沿救信号他立即沿ABAB方向径直前往救援，同时通知正在海岸线方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙乙马上从上巡逻的救生员乙乙马上从C C处入海，径直向处入海，径直向B B处游去甲在处游去甲在乙

16、入海乙入海10 s10 s后赶到海岸线上的后赶到海岸线上的D D处，再向处，再向B B处游去若处游去若CDCD40 m40 m，B B在在C C的北偏东的北偏东3535方向，甲、乙的游泳速度都是方向，甲、乙的游泳速度都是2 m/s2 m/s问：问：谁先到达谁先到达B B处？请说明理由（参考数据：处？请说明理由（参考数据：sin 55sin 550.82,0.82,cos 55cos 550.57,tan 550.57,tan 551.431.43）【解析】【解析】由题意得，由题意得，BCDBCD5555，BDCBDC9090，tanBCD= tanBCD= ，BD=CDtanBCD=40BD=

17、CDtanBCD=40tan 55tan 5557.257.2（m m）cosBCD= ,cosBCD= , 70.2 70.2（m m）tt甲甲= +10=38.6= +10=38.6（s s），），t t乙乙= =35.1= =35.1（s s）tt甲甲tt乙乙，乙先到达乙先到达B B处处BDCDCDBCCD40BCcos BCDcos 5557.2270.225.5.（20132013遂宁中考）钓鱼岛自古以来遂宁中考）钓鱼岛自古以来就是我国的神圣领土，为维护国家主权就是我国的神圣领土，为维护国家主权和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓和海洋权利，我国海监和渔政部门对钓鱼岛海域实现了常态化巡

18、航管理鱼岛海域实现了常态化巡航管理. .如图，如图，某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船某日在我国钓鱼岛附近海域有两艘自西向东航行的海监船A A，B B，B B船在船在A A船的正东方向，且两船保持船的正东方向，且两船保持20 n mile20 n mile的距离，某一时的距离，某一时刻两海监船同时测得在刻两海监船同时测得在A A的东北方向，的东北方向，B B的北偏东的北偏东1515方向有一方向有一我国渔政执法船我国渔政执法船C C，求此时船，求此时船C C与船与船B B的距离是多少（结果保的距离是多少（结果保留根号）留根号）【解析】【解析】作作BDACBDAC于于D D，由题意

19、可知，由题意可知，BACBAC4545，ABCABC105105，ACBACB180180BACBACABCABC3030，在在RtRtABDABD中，中，BD=ABsinBAD=20BD=ABsinBAD=20 =10 =10 （n milen mile），），在在RtRtBCDBCD中，中，=20 =20 （n milen mile），），答：此时船答：此时船C C与船与船B B的距离是的距离是20 n mile.20 n mile.222BD10 2BC1sin BCD222题组二题组二: :与坡度有关的计算与坡度有关的计算1.1.如图，某游乐场一山顶滑梯的高为如图，某游乐场一山顶滑梯的

20、高为h h，滑梯的坡角为，滑梯的坡角为，那，那么滑梯长么滑梯长l为（为（ ） B. C. D.B. C. D.【解析】【解析】选选A A由已知得：由已知得：sin sin ，lhsin htan hcos h sin hlh.sin 2.2.如图，一个小球由地面沿着坡度如图，一个小球由地面沿着坡度i=12i=12的坡面向上前进了的坡面向上前进了10 m10 m，此时小球距离地面的高度为，此时小球距离地面的高度为( )( )A.5 m B.2 mA.5 m B.2 mC.4 m D. mC.4 m D. m55103【解析】【解析】选选B.B.如图，如图，AB=10 m,tan A=AB=10

21、m,tan A=设设BC=xBC=x，则，则AC=2x,AC=2x,由勾股定理得，由勾股定理得，ABAB2 2=AC=AC2 2+BC+BC2 2, ,即即100=4x100=4x2 2+x+x2 2, ,解得解得x=2x=2AC=4 m,BC=2 m.AC=4 m,BC=2 m.BC1.AC25,553.3.（20132013聊城中考）河堤横断面如图所示，堤高聊城中考）河堤横断面如图所示，堤高BC=6 mBC=6 m，迎，迎水坡水坡ABAB的坡比为的坡比为1 1 则则ABAB的长为（的长为（ ）A.12 m B.4 m C.5 m D.6 mA.12 m B.4 m C.5 m D.6 m3

22、333，【解析】【解析】选选A.A.根据坡比的意义可知根据坡比的意义可知BCAC=1 BCAC=1 ，即，即6AC=1 6AC=1 ，所以，所以AC=6 m.AC=6 m.由勾股定理得由勾股定理得AB=AB= =12 =12（m m）. .或者根据或者根据tan A=1 tan A=1 ，则则A=30A=30，根据，根据“在直角三角形中，在直角三角形中，3030所对的直角边等所对的直角边等于斜边的一半于斜边的一半”可知可知AB=2BC=12 m.AB=2BC=12 m.3332222BCAC6(6 3)34.4.某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i

23、 i1 1=1 =1 坝坝外斜坡的坡度外斜坡的坡度i i2 2=11=11，则两个坡角的和为，则两个坡角的和为 _ ._ .【解析】【解析】设坝内斜坡的坡角为设坝内斜坡的坡角为，坝外斜坡的坡角为，坝外斜坡的坡角为.坝内坝内斜坡的坡度斜坡的坡度i i1 1=1 =1 ，说明，说明 tan = tan = ，则，则=30=30，坝外斜，坝外斜坡的坡度坡的坡度i i2 2=11=11，说明，说明tan =1tan =1，=45=45，两角和为，两角和为7575答案答案: :75753333，5.5.（20132013广安中考）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一广安中考）如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长处长400 m400 m，高，高8 m8 m，背水坡的坡角为，背水坡的坡角为4545的防洪大堤（横截面的防洪大堤（横截面为梯形为梯形ABCDABCD）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定）急需加固经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加