2020届高三文科数学精准培优专练：外接球(附解析)

1、2020届高三文科数学精准培优专练：外接球（附 解析）一、构造正方体与长方体的外接球问题例1:已知直三棱柱 ABC - ABiCi的6个顶点都在球。的球面上，若AB = 3, AC = 4,AB _L AC , AA1 =12 ,则球O的半径为（）A. 37 B . 2M C . 13 D . 3加22二、与正棱锥有关的外接球问题例2: 一个正三棱锥的四个顶点都在半径为一个大圆上，1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的则该正三棱锥的体积是（）A当B中。出12A 三、其他柱体、锥体的外接球问题例3:已知A, B是3O的球面上的两点，NAOB=90", C为该球面上的动点，若三棱锥O -

2、 ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为（）A 36 兀 B . 64 兀 C . 144 兀 D . 2567t,对点增分集训一、选择题1. 一个四棱柱的底面是正方形，侧棱与底面垂直，其长度为4,柱的各项点在一个球面上，则这个球的表面积是（）A. 16 兀 B . 20 兀 C . 24 兀 D . 32 九2. 一个几何体的三视图如图所示， 其中主视图和左视图是腰长为 角三角形，主视图 左视图 俯视图棱柱的体积为16,棱1的两个全等的等腰直则几何体的外接球的表面积为（）,则该三棱柱的外接球,若四面体ABCD体则此球的表面积为A. 3 兀 B . 4百氏 C . 12 兀 D . 12，

3、33. .直三棱柱 ABC AiBiCi 中，AB_LBC, AB=BC=AA=2 的表面积为（）A. 4兀B . 8九C . 12九D .四34 .点A, B,C, D在同一个球的球面上， AB = BC=AC=。 积的最大值为亚,则这个球的表面积为（）A詈冗B .曹C .篝D . 8冗5 . 一个正四面体的所有棱长都为 也,四个顶点在同一个球面上, （ ）A. 3 九 B . 4兀 C . 3j3 D . 6 九6.已知三棱锥P - ABC的四个顶点都在同一个球面上，底面 4ABC满足BA = BC =施，/ B = 90 -若该三棱锥体积最大值为 3,则其外接球的表面积为（）A. 21

4、兀 B.32 n C.16 n D.16 几7,已知四面体 ABCD 中，AB = AD = 6, AC = 4, CD=2TT3, AB_L平面 ACD ,则四面体ABCD外接球的表面积为（）A. 36 兀 B . 88 兀 C . 92 兀 D . 128 7t8 .已知A, B是球。的球面上两点，NAOB = 60。C为该球面上的动点，若三棱锥O - ABC体积的最大值为18 J3 ,则球O的体积为（）A. 81 兀 B . 128 兀 C . 144 兀 D . 2887t9 .已知A, B, C, D是同一个球面上的四个点，其中 4ABC是正三角形，ADJ_平 面ABC , AD =

5、2AB = 6 ,则该球的表面积为（）A. 16 兀 B . 24 兀 C . 32J3 冗 D . 48 九10 .已知三棱锥P - ABC的所有顶点都在球。的球面上，PA_LAB, PA_LAC, /BAC=60口，PA=2, AB=2, AC=3,则球。的表面积为（）A.空汽B .双京C .约支D 支汽 333311 .如图，在四面体 P ABC中，PA=PB = PC = 4,点。是点P在平面ABC上 的投影，2，且tan/APO = -则四面体P - ABC的外接球的体积为（）A. 8褥冗B . 24兀C . 32曲冗 D . 48九12 .已知四面体 ABCD的外接球球心。恰好在棱

6、 AD上，且AB = BC=J2, AC = 2,DC =2向则这个四面体的体积为（）A 2 b 2V3 0 迪 d 5/33333二、填空题13 . 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为俯褪由14 .已知点P, A, B, C, D是球O表面上的点，PA_L平面ABCD,四边形ABCD 是边长为2曲正方形，若PA =2娓,则ZXOAB的面积为.15 .在直三棱柱 ABCABiCi中，AB = 4, AC = 6, A =，AA1=4,则直三棱柱 3ABC -A1B1C1的外接球的表面积 .16 .已知某一多面体内接于球构成 -个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均

7、如图所示，且图中的四边形是边长为 2的正方形，则该球的表面积是 .外接球答案例1:【答案】C【解析】 AB _L AC , .直三棱柱ABC -A1B1C1的底面ABC为直角三角形，把直三棱柱 ABC - A B1c1补成长方体，32 42 12213则长方体的体对角线就是球 O的直径，即球O的半径为 4 = 13 .22例2:【答案】C【解析】二正三棱锥的四个顶点都在半径为 1的球面上，且底面的三个顶点在该球的大 圆上，:球心是底面三角形的中心，球的半径为1, 底面三角形的边长为 J3,即该正三棱锥的体积为例3:【答案】C【解析】设球O的半径为R ,则Saaob =1R2 , 2当OC，平面

8、AOB时，三棱锥O - ABC的体积最大,1 1 _2 _此时 V= -Mr2mr=36,解得 R = 6,3 2所以球O的表面积为$=4冗父62 =144 7t.、选择题1 .【答案】C【解析】正四棱柱的高为4,体积为16,则底面面积为4,即底面正方形的边长为 2, 正四棱柱的对角线长即球的直径为2邪,即球的半径为 褥，球的表面积为247t.2 .【答案】A【解析】把原来的几何体补成以 DA , DC, DP为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一个外接球，2R=l =，12 +12+12 =叔 R =, S求=4 tR2 = 4冗父一=3九. 243 .【答案】C【解析】二.在直

9、三棱柱 ABCA1B1cl 中，AB_LBC, AB = BC = AA1 = 2 ,AB , BC , AA为棱构造一个正方体，22 22 22- - , c 2则外接球的半径 R = J3 ,故表面积为S = 4#2 = 12葭4 .【答案】B【解析】设4ABC的中心为E ,过点E作平面ABC的垂线l ,则有题意可知，点 D在直线l上，4ABC的面积为S=m J3m T3Msin60'=°V3 .24由体积的最大值可得 1 m S父DE =- 3 33 D DE = J3 ,则DE=4 .33 4由题意易知，外接球的球心在 DE上,设球心为点O ,半径OD =OB = R

10、 . ABC的外接圆半径满足 -a-=2r17在 Rt/XOBE 中，OE2 +BE2 =OB2 ,即（4 R） +1 =R ,解得 R = 8，一.2289 289据此可得这个球的表面积为 S = 4tR2=4/£89 = £89冗.6416B5 .【答案】A【解析】如图，将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1,正方体的体对角线长为 73,即此球的半径 R =,故球的表面积S=4而2=3冗.26 .【答案】D【解析】因为 ABC为等腰三角形，所以 AC为截面圆的直径，ac = Jab2 +ac2=273,即该三棱锥的外接球的球心 O在截面ABC中的射影为AC的中点D ,当

11、P, O, D三点共线且P,。位于截面同一侧时，三棱锥的体积最大，此时三棱锥 的高为PD,所以 1x1x76x76xPD=3 ,解得 PD =3 ,3 2设外接球的半径为 R ,则OD =3 R , OC = R ,在 RtzXOCD 中，cd =1AC =J3,由勾股定理得(3 R)2+(J3)2 = R2,解得 R=2, 2所以外接球的表面积为 S = 4/< 22 = 16冗.7 .【答案】B【解析】在4ACD中，由AD = 6, AC=4, CD =2屈,可得 AD 2 + AC2 =CD 2 ,则 AC _L AD ,又 AB_L平面 ACD ,故 2R="42 +6

12、2 +62 =788 = 2722 ,则V =4 於(属)2 =88 r.8 .【答案】D【解析】由题意可知 VCqAB =1(1R2sin603hE1(1R2sin60r)R=18J3, R=6, 3 23 243V< = tR 288 it -39 .【答案】C【解析】把A, B, C, D扩展为三棱锥，上下地面中心连线的中点与A的距离为球的半径，AD=2AB=6, OE=3, ABC是正三角形，所以AE=|AB2 -(2 AB)2 =43, AO=j32 +(病2 =2出.所以球的体积为4父(2，3)3 =325 m10 .【答案】A【解析】设 ABC外接圆半径为r ,三棱锥外接球

13、半径为 R,AB =2 , AC =3, NBAC=60> :BC2 = AB2 +AC2 -2AB AC cos60口 = 4 + 9-2父 2父3=7 ,即 BC ="2.2r_2jisin 603PA_L AB, PA_L AC ,. PA_L 平面 ABC ,则将三棱锥补成三棱柱可得,2/PA22R =() r =1221+910一,3即球。的表面积为S=4tR2 =4 =4°-3311 .【答案】A【解析】二.在四面体P ABC中，PA=PB = PC=4,点。是点P在平面ABC上的投影，且tan/APO =42PO4.632_3_6 八 4.3 .sin/

14、APO=，cos-APO =，: AO =,333由题意知四面体 P-ABC的外接球的球心O'在线段PO上,.oo2+ao2=ao；（竽-R）2+（竽）2 = r2,解得 r = 6四面体P - ABC的外接球的体积为8767t.12 .【答案】B【解析】 AB=BC=V2, AC=2, . AB2+BC2 = AC2 . AB _L BC , ： AABC外接圆的直径为 AC ,球心。'为AC的中点.球心O恰好在侧棱 DA上，：OO'_L面ABC ,又外接球球心O恰好在棱AD上，所以。为AD中点，所以AD/ BC .即 BC，面 ABC , DC =2& .

15、，1_则四面体的体积为S>A ABC3DC =11 2、. 2 2 3 =2 3二、填空题13 .【答案】29几【解析】由三视图可知该三棱锥为边长为 2,3, 4的长方体切去四个小棱锥得到的几何体,设该三棱锥的外接球半径为R ,:2R 4 9 16 = .29 , . . R = -292外接球的表面积为 S = 4卡2 = 29兀.14 .【答案】3黎【解析】: ABCD是边长为2J3正方形，PA_L平面ABCD, PA = 2，6.：PC2 =AP2+AC2 =24+24 = 48, ：2R = 4B R = OP=2«, SJAAOB =1黑2其区2点xsin60 = 3V3 .215 .【答案】竺°3【解析】由题的直三棱柱ABC-ABC1的外接球的球心就是直三棱柱上底面外接圆的圆心02和下底面外接圆的圆心01的连线0102的中点0 .在三角形ABC中，由余弦定理得BC2 =42 +62 2父4M6Mcos- = 28 , ： BC = 2J7.3,