线性代数期末复习题

1、线性代数综合复习题一、单项选择题：1、若三阶行列式 D的第三行的元素依次为 1、2、3,它们的余子式分别为 4、2、1,则D=()(A) -3(B) 3(C) -11(D) 112、设四,0(2,0(3是三阶方阵A的列向量组，且齐次线性方程组AX=。仅有零解，则()第8页共6页(A) 口1可由«2,«3线性表示(B)62可由口193线性表示(C) %可由必，密线性表示(D)以上说法都不对3、设A为n(n>2)阶方阵，且 A的行列式|A|二aw0, A*为A的伴随矩阵，则| 3A* |等于(4、5、6、(A) 3 naan设 A=a21a31a12a22a32a13a2

2、3a33(A) P2 AP1 =B设A是正交矩阵,(A) | A|2 必为 1设A是n阶方阵,n- 1(B) 3aa!2呢a32 ' al2a11a21231 01(B) P1 AP2 =B则下列结论错误的是(B) | A| 必为 1(C) 3nan-1%a23a33 +a13 )(C)P1P2 A = B(C) A- 1=AT且 A2 -3A +2E =O ,则(_ n(D) 3 a(D) P2 P1 A=B(D) A的行向量组是正交单位向量组(A) 1和2必是A的特征值(B)若 A#2E,则 A = E7、(C)若 A#E,则 A=2E(D)若1不是A的特征值，则A = 2E设矩阵

3、A =00 ,矩阵B满足ABA*=2BA* + E ,其中1E为三阶单位矩阵，A”为A的伴随矩阵，则B =(A)1 ；38、下列命题中,出9；错误的是(A)(B)(C) 1;4(DU若k1«1 +IH+kn«n =0,且四，|,口口线性无关，则常数kJILkn必全为零若k/1 +IH+kn«n =0,且川|,口口线性无关，则常数kJILkn必不全为零(C)若对任何不全为零的数kjl|,kn,都有k1%+H|+knUn #0,则1MJMPn线性无关（D）若外,IH，%线性相关，则必存在无穷多组不全为零的数ki,|,kn ,使电卡|+皿=03-11、9、设A= 201

4、 ,则向量U-1 2是A的属于特征值 2=2的一个特征向量。(A) (1, 0, 1)T;(B) (1 0, -1)T；110、设矩阵A = 202(A) 0;010、-10-2ntt n，则 r(A1=_-3-11244(B) 3;(C) 1;(D) 4。(C) (1, 1, 0)T;o(D) (0, 1, 1)T11、已知三阶可逆方阵 A的特征值是1, 2,-3,则E+A的特征值是（）。（其中E为三阶单位矩阵）(A) 1, 2, 3;(B) 2, 3, -;(C) 2, 2 , 1；(D) 2 ,-,-.322335325答应选(B)112、设n阶方阵A满足A2+A-4E=0，其中E为n阶

5、单位矩阵，则(A-E)=()。1一1一(A) (A2E);(B) (A + 2E);(C)221_(A+2E);(D)41-(-A 2E)213x1 2x2 3x3 4M = 1方程组3x1 -x2 f3x1x1 2x2X3 2x4 = -1-5x4 =10=1 . 一的解是Xi=1=1x2(A) X3(B)x214行列式X40X3X4(C)Xi =1X2 =2X3 = 0X4 - -2x = -1X2 2(D) nJ x3 - 00IHn -1IIIIIIHIIIIIII2III00HI00III0的值是（(n 1)(n-2)(A)(-1)2n!n(n 4)(B)(-1)n!(n I)(n-

6、2)15、设A是三阶矩阵,(C)(-1)2 n! (D)(n-2)( n)(-1)2 n!A的第一列与第二列交换得B,再把B的第二列加到第三列得C,则满足AQ=C的可逆矩阵Q为()。010(A)100；1 01010(C)100；：0 11_010(B)101 ；001011(D)100。：001_16、设A、B为满足AB=0的任意两个非零矩阵，则必有()。(A) A的列向量组线性相关,(B) A的列向量组线性相关，B的行向量组线性相关;B的列向量组线性相关；(C) A的行向量组线性相关,B的行向量组线性相关;(D) A的行向量组线性相关,B的列向量组线性相关。17、设入=2是非奇异矩阵 A的

7、一个特征值，则矩阵(431(A)；(B)；(C)；3421 A2) -1有一个特征值等于(31(D) 。418、任一个n阶矩阵，都存在对角矩阵与它()。(A)合同；(B)相似；(C)等价； (D)以上都不对。二、判断题：判断结果填在题号后的括号内，正确 错误X。1()、向量组0(1,ot2P3p4,如果其中任意两个向量都线性无关，则u1p2,口3,口4线性无关。2()、设A、B为同阶可逆矩阵，则(A+B)-1=A-1+ B-1。3()、对任意n阶方阵A,B,C ,若AB=AC ,则一定有B=C。4()、齐次线性方程组 卜1 +x2+"=0的解空间的维数是1。X2 X3 =05()、设

8、可逆矩阵 A有一个特征值为兀则A,必有一个特征值 -%6()、设A、B均为n阶方阵，若 A A B ,则A和B 一定不相似。7()、已知向量组 以 身，»3可以由向量组1a1,%03线性表示：< Pc +匕 2123Be = -o(d +etc +ao3123则这两个向量组等价。8()、若n阶矩阵A与B相似，则A与B同时可逆或同时不可逆。三、填空题313233GC2C31、若二阶行列式2b1 -312b2 -322b3 33=6,贝 Ub1b2b3C2C33132332、四阶方阵 A =31 o(2 a3 a4)，其中 aiQ2,c(3,ot4 是四维列向量，且 P =ct1+

9、ot2 +a3+口4 手 O ,则非齐次线性方程组 AX =P的一个解向量为3、设A、B是三阶方阵，E是三阶单位阵，|A =2且A2 + AB +2 E=O,则|A+B= 4、若A及其伴随矩阵 A*均为n(>2)阶非零矩阵，且 AA* = O,则r (A*尸。5、设三阶方阵 A的行列式|A|=8,已知A有两个特征值-1和4,则还有一个特征值为。6、设A为实对称矩阵，3=(1,1,3)T与ot2=(3,2,t)T分别是属于A的不同特征值4与的特征向量，则t= 7、二次型f(X1,X2,X3)=2x12 x2 +4x2的正惯性指数是 8、与向量%=(1,1,1T,o(2 =(2,1,0)T,

10、都正交的一个单位向量是 3n13n23nn3nnIIIIIIIIIIh川9行列式33133233n J.33n=(321322III32n .432n311312III31n 131n311312HI3ln31n321322HI32n32nIIIHIHIIIIIII3n .413n2III3nn 3nn3n13n2III3nn3nn110、设矩阵A = 000 12 0，矩阵X满足AX+E = A2+X,(其中E为三阶单位矩阵)，0 1则矩阵X =()。X1 -x2 =a11、线性方程组 x2 - x3 =2a有解的充要条件是()x3 -x4 =3ax4 - x1 =122212、设二次型f(

11、x,x2,x3) =x +4x2 +4x3 +2九x1x2 -2x1x3 +4x2x3,则当儿=()时该而此型 正定。x1 +x2 +3x3 -x4 =213、2x1 一 5x2 + x3 + x4-1方程组1的解是 (3x2 2x3 2x4 = -22x1 - x2 4x3 2x414、设行列式D =-515、设-2-2A B为4阶方阵，且(A),则第二列各元素的代数余子式之和(B)=3, A和B的伴随矩阵为A ,和 B”,则 r(A"B =16、若A=121.20为正交矩阵，则17、设A为n阶矩阵,且|A|W0, A*为A的伴随矩阵,E为n阶单位矩阵。若A有特征值入，则（A*）2

12、 + E必有特征值但丫+1四、计算题讨论a, b取何值时，线性方程组rx1+ 2x2=34x1+ 7x2+ x3=10仅1 i2x1+ 3x2一x3=b 3+ 3x2+2x3=4无解、有唯一解、有无穷解，在有无穷多解时用其导出组的基础解系表示全部解。五、计算题1.2._ 531113T-51123541-1（5分）求矩阵A的秩r（A）,及A的列向量组的一个极大无关组;（5分）矩阵B中元素t取何值时B可逆?六、计算题已知：1, ：-2,%是3维向量空间的一组基，向量组 P02 , 03满足二1 二3 =1 1 .卜工 2 ；。3, ：1 ：2 = ：. 2 +二3, ：2 -二3 =11 .八工 3(1)证明：口1, 02 , 口3是一'组基。 求由基 斯 隹，日3到基必，&2, 出的过渡矩阵。(3)求向量a ="1 +2«2 一口3关于基Pl, p2 ,日3的坐标。七、计算题求正交替换将二次型f(Xi,X2,X3)=4x2 +3x2 +3x2 +2X2X3化为标准形，要求写出所用的正交替换及所得的标准形。八、计算题今0(1)设矩阵A= 3 1 d 01X可相似对角化，求X。5J3 2 2、0 1(2)设矩阵A=2 3 2,P =1 012 2 31i0 001 , B = P,A