群论群的表示理论

1、.物理学中的群论群的表示理论 .群论-群的表示理论3.2 群的线性表示3.3 舒尔引理和正交性定理3.4 表示的构造3.5 群表示的特征标3.6 投影算符第三章 群的表示理论抽象群 线性变换3.7 正则表示3.8 特征标表的计算3.9 直积表示3.1 线性算符及其矩阵表示.群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示3.1 线性算符及其矩阵表示线性代数的准备知识群的表示理论是群论处理物理问题的基本数学方法表示理论：用线性变换线性变换表示抽象代数抽象代数n 线性空间：V是一个非空集合，F是一个数域V上定义了加法加法， z = x+y ，V对加法成Abel群；F与V的元素之间定义了数乘数乘， y =

2、kx ，且F中存在单位元1，k(lx)=(kl)x； 加法与数乘满足分配律；那么V称为数域F上的线性空间线性空间 F中元素称为标量或数量，V中元素称为向量当系数域F为实数域时，V称为实线性空间。当F为复数域时，V称为复线性空间。1 线性空间与线性变换线性空间与线性变换.n 基矢 线性空间Vn上的任意n个线性无关的矢量都可以构成Vn的一组基矢一般取e1, e2, ,en为空间Vn上的一组正交归一基矢正交归一基矢n 内积，内积空间n 线性空间Vn上的任一矢量x，当选择e1, e2, ,en为基矢组时，也可展开为x = x1e1 + x2e2 + + xnenx1, x2, xn即为矢量x在基矢e1

3、, e2, ,en上的坐标x可以用它的坐标来表示：x = (x1, x2, xn)常把(x1, x2, xn)写成单列矩阵，称之为矢量x的列向量表示列向量表示123xx=xx群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示.线性空间Vn上任意一个矢量x Vn上有唯一的矢量 y对应规则 称为Vn到Vn的一个算符算符：y = x如果以上对应规则是一对一的，则存在逆算符-1：x = -1y如果空间Vn就是空间Vn时，称为空间Vn上上的一个算符。如果 (x+y) = x+y(x) = x则 称为线性算符。线性算符群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示.n 算符的矩阵形式用矩阵形式表示算符，则需引进坐标系令e

4、1, e2, ,en为空间Vn上的一组正交归一基矢基矢对任一基矢ej的作用可以写成n个基矢的线性组合线性组合：利用基矢的正交归一条件(ei,ej) = ij（也可写为 = ij），可得：Aij = (ei, ej)，i,j = 1, 2, ,nnn阶的矩阵A算符在基e1, e2, ,en中的矩阵表示。jijiiAAee群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示2 矩阵表示矩阵表示.对空间的不同的基矢组不同的基矢组，算符有不同的矩阵表示不同的矩阵表示。选定一组基矢，一个线性变换可以表示为一个矩阵选定一组基矢，一个线性变换可以表示为一个矩阵；反过来，对于一组给定的基矢e1, e2, ,en，一个矩阵

5、A实际上也就是一个线性算符算符 作用在任一矢量上的结果由确定。当然，对应于不同的基矢组，矩阵所确定的算符也是不同的jijiiAAee群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示.n 转移矩阵转移矩阵：设e1, e2, ,en和f1, f2, ,fn是线性空间Vn上的两组不同的正交归一化基矢组，若将 fj 写为， j = 1, 2, ,n则 S 称为从基e1, e2, ,en到基f1, f2, ,fn的转移矩阵相应地算符 称为转移算符基矢变换1njijiiSfe设：则：A = S-1AS ，1njijiiAAee1njijiiAAff11nniijjijxxxef11221nnxxxxSxx群论-群

6、的表示理论-线性算符及其矩阵表示.n 厄密共轭算符厄密共轭算符：对于空间Vn上任一算符，如果有另一个算符满足以下关系：(ei, ej) = (ei, ej)则算符 称为算符 的厄密共轭算符如果e1, e2, ,en是正交归一化基矢组，则：(ei, ej) = kAkj(ei, ek) = kA*jk (ei, ek) = A*ji = *ij = (A)ij在正交归一化基中，算符的矩阵为A，而它的厄密共轭算符的表示矩阵为A的厄米共轭矩阵An 若 = ，则称为厄密算符厄密算符，或自共轭算符厄密算符的表示矩阵为厄密矩阵：A = A群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示3 几种算符几种算符.n 幺

7、正算符幺正算符：若空间Vn上的一个算符，它对该空间任意两个矢量x和y作用后，其内积不变内积不变，即：(x,y) = (x,y)则称为幺正算符，也称为酉算符。因为：(x,y) = (x, y) = (x,y)所以幺正算符满足 = = 1， = -1若空间引入正交归一基，则其表示矩阵为A = A-1即幺正算符的表示矩阵为幺正矩阵幺正算符的表示矩阵为幺正矩阵只有取正交归一基正交归一基时，幺正（厄密）算符的表示矩阵才是幺正（厄密）矩阵群论-群的表示理论-线性算符及其矩阵表示.群论-群的表示理论-群的线性表示3.2 群的线性表示群表示的定义和基本性质群G的线性表示就是一组与群G同态的线性变换线性变换，这

8、一组线性变换当然也构成一个群通过研究与与G结构相似结构相似的线性变换群来研究抽象群线性变换线性变换（通常也称为算符算符）是定义在线性空间中的，这个线性空间就称为表示空间表示空间。对于给定的n维线性空间，如果选定一组基矢，其中的任一线性变换就可以表示为一个n阶方阵群的线性表示常用矩阵的形式来描述，称为矩阵表示矩阵表示。我们对矩阵更为熟悉，所以就从矩阵形式的描述开始.群论-群的表示理论-群的线性表示若矩阵群和群G是同构关系，则这个表示就称为忠实表示忠实表示若二者是同态关系，是多对一，则是非忠实表示群G的表示记作D(G) 方阵的阶 l 称作表示的维数维数n阶方阵实际上是n维线性空间上的一个线性变换；

9、给定表示空间的一组基矢，线性变换可以用矩阵形式描述线性表示线性表示和矩阵表示矩阵表示只是说法不同群G的每一个元素a，都对应着矩阵群的一个方阵D(a)，并且：D(a)D(b) = D(ab)对于群G中的每一个元素a和b都成立定义群群G的矩阵表示就是一个与群的矩阵表示就是一个与群G同态的方矩阵群同态的方矩阵群1 矩阵表示矩阵表示.群论-群的表示理论-群的线性表示1) D(e) = E ，E是ll的单位矩阵单位矩阵； 2) D(a -1) = D(a) -13) 一个群的表示必然自动地就是其子群的一个表示。4) 任何一个群都有一个表示：恒等表示恒等表示，这是一个1维的表示，所有的群元都对应于一维单位

10、矩阵 (1) 。一个矩阵对应于一个线性空间中的线性变换如果线性空间选择不同的基矢，表示线性变换的矩阵就会发矩阵就会发生相应的改变生相应的改变可以由同一个矩阵表示得到无穷多个其他的矩阵表示同一个矩阵表示得到无穷多个其他的矩阵表示基本性质.群论-群的表示理论-群的线性表示用坐标变换矩阵来描述D3群的元素。建立如右所示坐标系，可以得到如下的表示矩阵。也称为对称群的自然表示自然表示D3 群的表示 gggD ggggggg111213212223312333100010001D(e) = 1/ 23 / 203 / 21/ 20001D(a) = D(k) = 100010001D(l) = 1/ 23

11、 / 203 / 21/ 20001.群论-群的表示理论-群的线性表示D3群除恒等表示外还有如下的一个一维表示一维表示：（非忠实表示）D(2)(e) = 1 D(2) (a) = 1 D(2) (b) = 1 D(2) (k) = -1 D(2) (l) = -1 D(2) (m) = -1D3 群的表示D3群的一个二维表示二维表示： (3)1001De (3)1/ 23 / 23 / 21/ 2Da (3)1001Dk (3)1/ 23 / 23 / 21/ 2Dl .群论-群的表示理论-群的线性表示n 矩阵的相似变换相似变换： M = S -1MSn 等价表示：两个以相似变换联系起来的表示

12、称为等价表示等价表示记作D(G) D(G) 。相似变换实际上可认为是坐标系的变换（基矢变换）故可认为一切等价表示都是相同的表示等价表示都是相同的表示。通过相似变换，可由一个矩阵表示得到无穷多个等价的表示假定D是由矩阵S决定的相似变换D，则 D(a) D(b) = (S -1D(a)S) (S -1D(b)S) = S -1D(a)D(b)S = S -1D(ab)S = D(ab)可见D也满足同态关系，因此它确实是群G的一个表示。2 等价表示等价表示.群论-群的表示理论-群的线性表示n 若群G的一个矩阵表示中，所有的矩阵都是幺正矩阵，那么这个表示就称为群G的一个幺正表示幺正表示 R-1 = R

13、n 定理定理3.1：有限群的任何非奇异的矩阵表示任何非奇异的矩阵表示，都可以通过相似变换变成幺正表示幺正表示幺正矩阵构成的表示证明：设D(G) = D(e), D(g2), D(g3),D(gN)是有限群 G = e, g2, g3,gN的一个矩阵表示，其中N = |G|是群G的阶引入厄米矩阵厄米矩阵：H = 厄米矩阵可以通过某一幺正矩阵 U 对角化对角化 ( )gGD g DgH3 幺正表示幺正表示.群论-群的表示理论-群的线性表示可以证明所有的对角元素dk都是正的如果dk = 0，仅当对所有的j值和G的所有元素都有Dkj(g) = 0这样所有矩阵的行列式都为零，与表示非奇异的假定矛盾所以所

14、有的所有的dk都是正实数都是正实数。 111g GUHUUD g U UDg U g GDgg D()kkjHd 1DgUDg U kkjjkg GjdDg Dg *kjkjg GjDg Dg 2|0kjg GjDg.群论-群的表示理论-群的线性表示令 ，将Hd写成并代入前式，两边同时左乘和右乘 ，可得：12dkkjHd 1122ddH H12dH 1122ddg GEHD g Dg H1122diidg GHD g g Dg g H 1122diidg GHD gD g Dg DgH 1122diidg GHD gD g DgDgH11112222diddidHDgH HDgHiiD gDg

15、.群论-群的表示理论-群的线性表示其中这样我们得到了：即D(gi)是幺正矩阵。有限群G的任一表示D(g)都可以通过矩阵 V 等价于一个幺正表示D (g)可以只讨论幺正表示n 定理定理3.2：若群G的两个幺正表示D(G)和DG)是等价的，那么必然存在一个幺正矩阵U，使得证明从略。等价的幺正表示可以通过幺正矩阵进行相似变换1122ididDgHD gH 11122()ddHU D gHU 1VD g ViiiD gDgEgG， 1D aU D a UaG ，.群论-群的表示理论-群的线性表示设Vn是群G的表示空间，Vm是Vn的一个子空间对于子空间任一矢量x，有D(gi) x Vm ，gi G，则V

16、m称为表示D(G)的不变子空间不变子空间不变子空间中任一矢量在表示D(G)中任一线性变换任一线性变换的作用下是封闭的不变子空间u 设Vn是群G的表示空间， e1,e2,en是Vn的一组正交归一基矢，则表示矩阵的矩阵元表示矩阵的矩阵元可写为 ( )ijijDgD gee4 可约与不可约表示可约与不可约表示.群论-群的表示理论-群的线性表示u 如果一个表示存在不变子空间：设Vn是群G的表示空间，Vm是其不变子空间是其不变子空间e1, e2,em, em+1,en是Vn的一组正交归一基矢其中前m个基矢是子空间Vm的基矢，则当j = 1，2，m，i = m+1，n时，Dij (g) = 0。因此矩阵D

17、(g)可以写成如下形式：这是一个分块矩阵分块矩阵 120mDgX gD gnmDgm n-m.群论-群的表示理论-群的线性表示设D(G) = D(e),D(g2),D(gN)是群G的一个n维表示，表示空间为Vn，若Vn中存在D(G)的不变子空间Vm通过适当选择空间的基矢，可使得D(G)的所有矩阵都同时写同时写成成上述分块矩阵的形式：则D(G)称为G的可约表示可约表示如果其中X(gi) = 0, gi G ，则D(G)称为G的完全可约表示完全可约表示可约表示12,0iiiiigGmDgX gD gnmDgm n-m.群论-群的表示理论-群的线性表示n 定理定理3.3：可约的幺正表示总是完全可约完

18、全可约的证明：设D(G) = D(e),D(g2),D(gN)是群G的幺正表示Vn是它的表示空间如果D(G)是可约的，则Vn中存在D(G)的不变子空间Vm，这样Vn可以分解为Vm和Vl的直和直和，记为Vn = VmVl其中Vl = x|x Vn, y Vm , 有= 0因为D(G)是幺正表示（幺正变换保持内积不变幺正变换保持内积不变），对于Vl中的矢量 x 和Vm中的矢量 y 有：因为 ，因此我们有： 对所有群元成立，也就是说Vl也是D(G)的不变子空间不变子空间 0,D gD ggG xyx y mD gVy lD gVx.群论-群的表示理论-群的线性表示Vm 和Vl都是D(G)的不变子空间

19、，所以排列基矢使得 e1,e2,em,em+1,en 前m个属于Vm，后n-m个属于Vl则D(G)的所有矩阵都可写成相同的准对角形式完全可约完全可约或记为直和形式直和形式： D(g) = D1(g) D2(g)D1(G)和D2(G)都是群G的矩阵表示。利用分块矩阵乘法可得：D1(gi) D1(gj) = D1(gigj)D2(gi) D2(gj) = D2(gigj)它们满足同态关系，所以是G的表示。进一步，如果D(G)是幺正表示，则D1(G)和D2(G)也是幺正表示 12( )0,0( )D gD ggGDg .群论-群的表示理论-群的线性表示前面的结果D1(G)和D2(G)还可能是可约的对

20、表示空间一直分解，直到Vn成为最小不变子空间最小不变子空间的直和直和： Vn = V1 V2 Vs最小不变子空间对应的群表示，称为群G的不可约表示不可约表示不可约表示记为D(1)，D(2)，D(s)Vn中的表示D(G)可以写为： D(G) = D(1)(G) D(2)(G) D(s)(G)不可约表示.群论-群的表示理论-群的线性表示如果以上s个不可约表示中有a1个等价于等价于D(1)，ai个等价于D(i)，因为等价表示都是相同表示，所以上式也可写为：式中a也称作D()在D中的重复度重复度。D3 群的不可约表示D3群有两个一维表示：D(1)和D(2)，其中D(1)是恒等表示一维表示肯定是不可约的

21、有一个二维的不可约表示D(3) 共三个不等价的不可约表示前面的例子：D = D(2) D(3) 12( )121rkkDa Da Da Da D.群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理3.3 舒尔引理和正交性定理不可约表示矩阵元的性质不等价的不可约表示的数目群表示理论中的重要问题正交性定理是解决这一问题的理论基础舒尔引理又是讨论正交性定理的数学基础n 引理一引理一：设D()是群G的一个不可约表示，表示空间为Vn 若有一个矩阵P与D()中的所有矩阵所有矩阵对易对易，即 P D() (g) = D() (g) P， g G则有P = E，式中E是单位矩阵，为常数。1 舒尔引理舒尔引理.证明：对于

22、表示空间Vn，设P的本征值为，则由V = x | x Vn，Px = x所确定的本征空间本征空间（P的本征矢张成的空间）是Vn的子空间因为： x V ，有P D() (g)x = D() (g) Px = D() (g) x 所以 D() (g) x V 即： V是不变子空间是不变子空间如果V Vn，则V是群G的真不变子空间 D() (g)是一个可约表示，这与假设矛盾，所以V = Vn 。或者说，Vn中的所有矢量都是P的同一本征值同一本征值 的本征矢的本征矢因此必然有P = E 群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理.n 引理二引理二：设D(1)和D(2)分别是G的l1和l2维的两个不可约表

23、示，若有l1l2阶矩阵M满足以下关系： D(1) (g)M = MD(2) (g) ， g G则有：当l1 = l2 时，M = 0 或M 0 但D(1)和D(2)等价； 当l1 l2时，M = 0证明：取上式的厄米共轭可得M D(1) (g) = D(2) (g) M， ，或写为D(2) (g-1) M = M D(1) (g-1)将M右乘上式两边，可得D(2) (g-1) MM = M D(1) (g-1) M = MM D(2) (g-1) 由舒尔引理一，可得MM = E群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理. l1 = l2 = n的情况取MM的行列式，可得|MM| = |M| |M

24、| = |M|* |M| = n ，若 0，则|M| 0，M有逆矩阵有逆矩阵M -1将M -1右乘D(1) (g)M = MD(2) (g)两端，即有D(1)(g) = M D(2)(g) M -1， g G所以D(1)和D(2) 是等价的表示。若 = 0，则MM的第i行第i列元素为：即矩阵的所有第i列的元素为零，因i是任意的所以有M = 0群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理2*1110nnnikkikikikikkkM MM MM. l1 l2 的情况，不妨设l1 l2构造方阵M：很显然MM= MM = E ，而| M| = 0，所以|MM| = n = 0，即 = 0再经与1)中同样

25、的讨论，可得M = 0群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理1210MlMll.定理定理3.4：设D()和D()分别是G的l和l维的两个不可约表示，有下列等式：群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理其中N = |G|，是群的阶。证明：引入矩阵M，式中X是一个任意的任意的ll阶矩阵。 *( )iljmijlmg GNDg Dgl 11()g GMDg XDgN2 表示矩阵元的正交性定理表示矩阵元的正交性定理.群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理由舒尔引理可得： 时，M = 0=时，M = E 11Miig GDgDgDg XDgN 11ig GDg g XDgN 11iiig GDg g

26、 XDg ggN 11iiig GDg g XDg gDgN 11iig GDg XDgDgMDgN.群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理l 的情况：取M中的任意矩阵X的矩阵元为Xpq = lpmq ：Xlm = 1，其他的矩阵元均为零此时M = 0，而M的矩阵元Mij为：即 时定理是成立的。 1,1ijippqqjp qg GMDg XDgN 11ilmjg GDg DgN *1( )0iljmg GDg DgN.群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理l = 的情况：此时M = E。同样，取X的矩阵元为Xpq = lpmq，可得到M的矩阵元为现在计算的值。上式中令i=j，并对i求和，则

27、得到：由此可得 = ml /l，代入Mij的表达式，即有 11()ijilmjijg GMDg DgN 11ilmiig GDg DglN 1111miilmlmlmlg Gig GDgDgDg gDeNN 1()ilmjijmlg GNDg Dgl .群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理定义：若一个空间以群G的N个元素作为基矢，则该空间称为群空间群空间，记作VG群空间的基本性质（加法、数乘和内积）为：n 群空间中任一矢量x可以表示成N个基矢的线性组合，即： x = gG x(g) g 式中x(g)为复数它是矢量x在基矢g上的分量，也可看作群空间上的函数。对有限群，x(g)只有N个分立值，

28、是离散函数 群空间3 正交性定理的几何意义正交性定理的几何意义.群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理n 矢量的加法和数乘，与一般的线性空间中的矢量一样：其中c是常数n 基矢的内积：n 两个矢量的内积两个矢量的内积： 1212( )g Gxgx gxxg g Gccx gxg(,)|,ijijijijg gGg ggg *1212|( )g Gxg xgxx.群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理定义群空间之后，可将群表示的矩阵元看做群空间上的函数设群G的一个不可约表示为D()(G)，它的某个元素的表示矩阵的矩阵元为D()il(g)，定义群空间上的一个矢量，称为群空间的表示矢表示矢：归一化

29、的形式：表示矢正交性定理正交性定理可改写为以下形式： ( )( )ililg GDgDg ( )( )( )ilililg GllgNNDgD ( )lm|jmilij .群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理定义表示矢之后，群的每一个不可约表示D()(G)都可得到l2个表示矢，l是表示的维数。正交性定理说明：群的所有不等价的不可约表示所得到的表示矢彼此正交群的所有不等价的不可约表示所得到的表示矢彼此正交群空间是N维空间，所以群的所有不等价的不可约表示的表示表示矢的数目不能超过矢的数目不能超过N，即式中r为群的不等价不可约表示的数目有限群的不等价不有限群的不等价不可约表示的个数是有限的可约表

30、示的个数是有限的。以后会证明，上面的这个表达式中只能取等号只能取等号正交性定理的数学意义21rlN.群论-群的表示理论-舒尔引理和正交性定理D3群：N = 6，我们已知它有三个不等价不可约表示，两个一维、一个二维。根据前面的结果这三个不可约表示就是D3群的全部不可约表示，其表示矢为：D3群的表示矢(2)1111111611(3)1111/ 21/ 21131/ 21/ 2(3)1203 / 213 / 2303 / 23 / 2(3)2211/ 21/ 21131/ 21/ 2.群论-群的表示理论-表示的构造3.4 表示的构造由函数空间构造表示如何构建群的表示？对于对称群，可以建立一个线性空间

31、，用线性空间上的坐标线性空间上的坐标变换变换来描述对称群的群元对称群的群元（对称操作）每个群元群元就成了这个线性空间中的线性变换线性变换这样实际上就得到了群的一个表示（如D3群）考虑一个坐标系的对称变换对称变换：在三维空间中把矢量r变为r若图形在变换前后重合，则作用在r上的算符（变换）就是对对称操作称操作例如旋转、反演等操作： r = Rr1 对称变换的方法对称变换的方法.写成矩阵形式即为：每个对称变换都可以用一个矩阵来描述，这样就得到了群的一个矩阵表示矩阵表示。但是这种方法并不能并不能将群的所有不等价的不可约表示所有不等价的不可约表示都找到，所以还需要另外的确定群的表示的方法。如反演、绕z轴

32、的旋转：，群论-群的表示理论-表示的构造111213212223313233xRRRxyRRRyzRRRz 100010001cossin0sincos0001.设群G的元素用s,t,u,v表示对称变换s把点r变为r ： r = sr假定对点 r 作变换时，将标量函数 f(r)在点 r 处的函数值一起带到新的位置r ，于是函数值的空间分布（函数形式函数形式）发生了变化，得到了一个新的函数 f (r)。f (r)取决于原来的函数f(r)，还取决于对称变换s，即：f (r) = Ps f(r)Ps是作用于函数的算符函数变换算符函数变换算符下标 s 表明它是由对称变换 s 引起的群论-群的表示理论-

33、表示的构造函数的变换2 用函数建立群表示用函数建立群表示.根据这个定义，原来的函数在原来的点r上的数值，应该等于新函数在新的点r上的数值： f (r) = f (r)由于r = s-1r ，所以有 f (r) = f (s-1 r)，即： f (r) = f (s-1r)，因此我们得到： Ps f(r) = f(s-1r)容易证明函数变换算符函数变换算符Ps是幺正算符而且 Ps 与s是一一对应一一对应的注意，Ps是作用在函数上作用在函数上的！例：“对x平移a”作用于f (x) = x2上： f (x) = (x-a)2群论-群的表示理论-表示的构造函数变换算符.若r= tr= tsr ，那么函

34、数变换算符使函数f (r)作相应的变换：Pt Ps f(r) = Pt f(s-1r) = Pt f (r) = f (t-1r) = f(s-1 t-1r) = f(ts)-1 r) = Pt s f (r)关键在于，Pt是作用在函数 f (r)上的满足同态关系满足同态关系可见Ps ,Pt ,Pu确实构成一个群构成一个群(算符群)且与s,t,u,同构同构s,t,u,作用于坐标空间坐标空间Ps ,Pt ,Pu作用于函数空间函数空间二者有相同的表示利用Ps ,Pt ,Pu群作用于函数上获得一个表示，从而得到s,t,u,群的一个表示群论-群的表示理论-表示的构造.在函数空间中取一组函数1(r)，2

35、(r)，n(r)作为基矢基矢以Ps作用于某一基函数j(r)上得到一个新函数，它可展开为：群论-群的表示理论-表示的构造建立群表示这样得到的D(s)就是Ps的表示矩阵表示矩阵，从而也就是s的表示矩阵要证明这确实是一个表示，需要证明D(s)D(t)=D(st) ： ( )( )( )sjijiiPD srr ( )( )( )stmstmjjmjPPPD strrr( )( )( ) ( )siimsiimiiPD tPD trr( )( ) ( )( )( )( ) jjiimjjiimijjiD sD tD sD trr ( )( )jjmjD s D tr.建立一个三维函数空间，基矢基矢取为

36、：1() = cos2，2() = sin2，3() = cos sin对称操作对的作用为(取极轴为操作k的对称轴)e = ， a = +120， b = -120，k = -， l = 240-， m = 120-求矩阵元的公式：群论-群的表示理论-表示的构造D3群的例子操作a的矩阵元（a-1 = b）为： 2 sjiijiPD srr 2221136cos(120 )cossin2cos sin444aP 111231232131136()444DDDk 极轴方向.群论-群的表示理论-表示的构造另外有： 其他的表示矩阵可类似得到。这些矩阵不是分块形式的，似乎应该是不可约表示，但D3群的三维

37、表示应该是可约的。可以通过重新选取基矢（例如1，2和3的某个线性组合），将表示矩阵准对角化 2222313sin(120 )cossincos sin442aP121231232232316()444DDD 136444316444661442aD 32 cos(120 )sin(120 )aP 131231232333661()442DDD 100010001D k.群论-群的表示理论-表示的构造 n 如何获得完备的基矢组？如何保证一组函数1(r)，2(r)，n(r)可以作为基矢组基矢组？即任意的Pg作用于某一函数j(r)上得到的新函数新函数，可以用这可以用这组函数展开组函数展开选取一个函数

38、f(r)，用所有的Pg作用于f(r)上，得到一系列的新函数；从所有函数中选取其中独立的部分独立的部分，构成一个“基矢组”例如：对于D3群，我们选取 f(r)=x3，把Pe , Pa , Pb , Pk , Pl , Pm作用在x3上，如在所有得到的函数中，独立的部分有： x3, x2y , xy2, y3所以取： 1(r)= x3 , 2(r)= x2y , 3(r)= xy2, 4(r)= y3可以得到一个四维的函数空间，生成一个四维表示3-13313()()22aP x = a x= xy.对基函数做变换基矢重新组合表示矩阵作相似变换得到一个等价的表示可以约化可约表示约化可约表示群论-群的

39、表示理论-表示的构造基函数的变换性质n 定理定理3.6：函数i(r)成为群G的第个不可约表示D()(G)的基函数基函数的充要条件是其中，N是群的阶，l是第个不可约表示D()(G)的维数，Pg是函数变换算符。意义：基函数之间的组合关系 i(r)在算符的作用下按不可约表示矩阵变换和投影算符有关 *( )( )igjijg GlDgPNrr3 基函数的性质基函数的性质.群论-群的表示理论-表示的构造上式两边乘以 ，并对所有群元求和，得令j = m，l = i， = ，上式变为这就是所求的结果，进行指标代换即可 ( )( )gijjijPDgrr *( )mlDg *( )( )( )gijmlmlj

40、ig Gg GjDgPDgDgrr *( )( )jmljijg GDgDg r mjlijjNl r *( )( )mgimig GlDgPNrr证明：1) 必要条件必要条件：若i(r)是不可约表示D()(G)的基函数，根据定义有：.群论-群的表示理论-表示的构造2) 充分条件充分条件：将Ps作用于等式两边，得（重排定理：用s-1g代替g）可见l (r)确实是D()(G)的基函数，因它满足基函数的展开式 *( )sisgjijg GlPDgPPNrr1*( )1( )sjsgijg GlDs gPPNr *( )1( )( )gjljilg GllDsDgPNr *( )1( )( )gjl

41、jillg GlDsDgPNr *( )1( )llliilllDsDsrr.群论-群的表示理论-表示的构造n 定理定理3.7：两个不等价不可约的幺正表示的基函数正交； 同一不可约幺正表示的不同列的基函数正交其中i (r) 是不可约表示D()(G)的第i列基函数；f 是与、无关的常数通常称为基函数的正交定理基函数的正交定理定理说明：若两个不可约表示是等价的（但它们的基函数可能不同），则它们的基函数中属于同一列的基函数不正交证明：利用算符Ps的幺正性，我们可以得到基函数的正交性与不变性 (,)ijijf rr(,)(,)ijsisjPP ( )( )(,)lmlimjlmDsDs *( )( )

42、lm(,)lmlimjDsDs.群论-群的表示理论-表示的构造将等式两边对所有群元求和，并利用正交性定理，上式变为等式右边内积求和的结果与m取值无关常数定理得证n 定理定理3.8：若一组基函数1(r)，2(r)，l(r)满足(m(r)，n(r) = cmn其中c是与m、n无关的正数则由这组基函数荷载的表示D(G)是一个幺正表示幺正表示lmlm(,)(,)ijijlmNNl (,)ijmmmNl .群论-群的表示理论-表示的构造所以或写为 即D(s) D(s) = E 故D(s)是幺正矩阵 D(G)是幺正表示证明：已知算符Ps 是幺正的：(Psm，Psn) = (m，n)，sG成立,smsnmn

43、mnPPc*( )( ),imjnijijD sD s *( )( )( )( )imjnijiminijicD sD scD sD s*( )( )iminmniD sD s( )( )miinmniD sD s.群论-群的表示理论-群表示的特征标3.5 群表示的特征标等价表示的不变量定义定义：若D(G)是群G的一个l维表示，则表示矩阵D(s)的对角元之和就称为群元s在表示D(G)中的特征标特征标为什么要引进特征标？矩阵D(s)的对角元之和也称矩阵的迹矩阵的迹，记作Tr(D(s)。群G中所有群元在表示D(G)中的特征标，称为这个表示的特特征标系征标系（一般也简称特征标），记为(G)第个不可约

44、表示的特征标就写成(G)，也称单纯特征标单纯特征标可约表示的特征标称作复合特征标复合特征标1 特征标的意义特征标的意义.群论-群的表示理论-群表示的特征标n 相似变换不改变矩阵的迹等价表示具有相同的特征标等价表示具有相同的特征标n 群中属于同一个共轭类的元素，其特征标相同同一个共轭类的元素，其特征标相同特征标是共轭类的函数：(C) = (s)，sC。证明：设s，t属于同一个类，即有s = u-1tu，那么(s) = Tr(D(s) = Tr(D(u-1tu) = Tr(D(u-1) D(t) D(u) = Tr(D(t) D(u) D(u-1) = Tr(D(t) =(t)假如群G有c个类C1

45、，C2，Cc，则一个表示有c个特征标，也可记作1，2，c 。n 一个可约表示的特征标，等于约化后的各不可约表示的特征标之和：a是第个不可约表示在其中的次数，也被称为约化系数约化系数特征标的基本性质 ( )( ) ss a.群论-群的表示理论-群表示的特征标设一个群的两个不等价不可约幺正表示为D(G)和D(G)，则其相应的特征标(g)和(g)必然满足： 或写为其中，N是群的阶，hC是类C中群元的个数证明：利用表示矩阵元的正交性定理特征标的正交定理上式中令i = l，j = m，并对i，j求和，即可得： *( )( )( )g GggN *( )( )( )CChCCN *lm( )iljmijg

46、 GNDg Dgl *( )( ),( )ijijiig Gi jiNNggNll 2 特征标的有关定理特征标的有关定理.群论-群的表示理论-群表示的特征标可约表示D(G)的约化系数a的计算公式为证明：在等式两边同乘(g)*并对所有群元求和计算约化系数的公式式中(g)是群元g在可约表示D(G)中的特征标，(g)是在第个不可约表示D(G)中的特征标所以： *( )( )11( )( )Cg GCagghCCNN ( )( )gg a *( )( )( )g Gg Ggggg a *( )( )g Gagga NNa *( )1( )g GaggN.群论-群的表示理论-群表示的特征标结论：可约表示

47、的特征标特征标可以唯一地确定约化系数即确定这个表示中包含有多少个第个不可约表示但不能确定这些不可约表示在可约表示中的排列次序(G)确定表示D(G)只差一个等价关系差一个等价关系如果已知群的全部不等价不可约表示的特征标，不必知道其表示矩阵，即可根据某个表示的特征标对其是否可约是否可约做出判断：1) 一个给定表示的特征标系与某个不可约表示的特征标系完全相同，那么给定的表示不可约二者等价二者等价2) 如果给定表示的特征标系与任何一个不可约表示的特征标系都不相同，那么这个表示肯定是可约表示利用约化系数的计算公式可以将其约化为不可约表示的直和不可约表示的直和.群论-群的表示理论-群表示的特征标不可约表示

48、的直接判据直接判据（不必计算所有的约化系数）：一个表示是不可约的充要条件充要条件是其特征标满足方程 或写为不可约表示的判据证明：取方程 的共轭，并与其自身相乘，再对所有群元求和，可得 *( )g GggN *( )CChCCN ( )( )gg a *( )( )11( )( )g Gg Ggga aggNN2*,1a aNaN .群论-群的表示理论-群表示的特征标约化系数a是非负整数1) 如果表示D(G)是不可约的，则因为表示D(G)中只包含了一个不可约表示只包含了一个不可约表示（例如不可约表示D (G)），所以此时只有a 等于1，其他的全为零，此时2) 反之，如果上式成立，则要求而约化系数

49、a是非负整数，故肯定只有只有某个a等于1，其他的全为零：这是一个不可约表示21a *( )g GggN21a.群论-群的表示理论-群表示的特征标n 例：D3群的一个表示为（前面的例子） 136444316444661442D a 100010001D k 100010001D e可以得到这个表示的特征标为（三个类）：(e) = 3， (a) = 0，(k) = 1很容易算出a1, a2, a3也可以根据特征标直接验证这个表示是否可约.群论-群的表示理论-群表示的特征标设群G有c个共轭类C1，C2，Cc，可以在群空间中建立c个正交归一化的类矢量类矢量Ci：Ci是群空间中属于同一类Ci的基矢（即群

50、元）的矢量和矢量和，归一化的形式为类空间n 例：D3群有三个类，其类矢量为C1 = eC2 = C3 =1iiig CChCg1()2ab1()3 klm.群论-群的表示理论-群表示的特征标因为若i = j，则g，s属于同一类，故有若i j，则g,s永远等于零，所以有一个群的全部类矢量在群空间中形成了c个正交归一化的矢量它们张成了一个c维的矢量空间，称之为类空间类空间类空间是群空间的一个子空间类矢量是群空间中的一组正交归一化的矢量一组正交归一化的矢量111(,),( , )ijijijijg Cs CgsCCCChhh hC Cgsg s,1,1iijg sgsChC C,ijijC C.群论

51、-群的表示理论-群表示的特征标是类空间中的矢量若群G有r个不可约表示，就可以得到r个特征标矢量。类似于表示矢，在类空间中可以对每一个不可约表示定义一个特征标矢量特征标矢量：特征标矢量n D3群有三个不可约表示，其特征标矢量为： 1()icCiiihCNC123111231266663CCC122311231266663CCC .群论-群的表示理论-群表示的特征标两个不可约表示的特征标矢量，的内积可表示为如果群G有r个不可约表示，那么r个特征标矢量相互正交相互正交它们张成了一个r维的空间它是类空间的子空间类空间的子空间类空间是c维的，所以r c 群的不可约表示的个数不大于群的共轭类的个数实际上，

52、我们后面会证明，只有等号成立。2312121266620CC*1(,)()()icCiiihCCN.群论-群的表示理论-投影算符3.6 投影算符重组基矢的工具定义定义：投影算符 是由下式定义的算符投影算符的作用：以 作用于第个不可约表示的基函数上，可以得到：定理3.6只有当=， j=k时，结果不为零 投影算符 作用于第个不可约表示的第j列基函数上，将得到同一个不可约表示的第i列基函数。( )*( )ijijgg GlPDgPNijPijPijP ijkjkiP rr1 投影算符的定义投影算符的定义.群论-群的表示理论-投影算符n 定义第个不可约表示各列基函数之和为第个不可约表示的基底基底，即以

53、 作用在基底上，可得可见 可以从第个不可约表示的基底 中选出这个表示的第i列基函数 i(r) 投影算符的选择作用ijPijP iiiar ijkijkkjkijikkPa Paa rrr.群论-群的表示理论-投影算符以 作用在其上，可得即 可以从某个（包含有第个不可约表示的基底的）任意任意函数函数中，将这个不可约表示的第i列基函数挑选出来。可以利用投影算符从任意函数中求得所需要的基函数求得所需要的基函数假定一任意函数(r)， 能被展开为各不可约表示的基底之和 iiibb arr ijkijkkPb a Prr kjkijikb ab a rrijPijP.群论-群的表示理论-投影算符n 准投影

54、算符准投影算符 Pi 为满足下式的算符以准投影算符Pi作用于 j(r)上，我们可以得到 n 特征标投影算符特征标投影算符P为满足下式的算符以P作用于j(r)上，可得：( )*( )iiigg GlPDgPN ijijiP rr( )*( )gg GlPgPN2 特征标投影算符特征标投影算符.群论-群的表示理论-投影算符 即P作用于第个不可约表示第j列基函数上仍得到这个基函数仍得到这个基函数如果是一个任意函数(r)，以P作用于其上，则有所以，将特征标投影算符P作用于（含有某个不可约表示的基底的）任意函数上，可将这个不可约表示的基底 求出 *( )jiigjg GilPDgPNrr *( )iig

55、jig GlDgPNr ijijijiiP rrr iiiiiiPb a Pb a rrr iiibabr.群论-群的表示理论-投影算符 基底是基函数的线性组合可作为第个不可约表示基函数我们可以这样确定第个不可约表示D(G)的所有基函数：选择为第一列基函数1 (r)；以群G的每个群元每个群元对应的算符Pg作用于其上，得到N个函数Pg1 (r)（gG），这些函数都是D(G)的基函数的线性组合；从这N个函数中选出l个线性无关的函数(其中一个就是1 (r)再应用Schmidt正交化过程正交化过程将这l个函数正交化即可得到不可约幺正表示D(G)的基函数基函数得到了基函数，即可求出表示矩阵.群论-群的表

56、示理论-投影算符 已知D3群的一个二维不可约表示为求出它以极坐标为变量的函数，即三角函数形式的基矢组把Pg列出如下：Pe() = (), Pa() = (-120), Pb() = (+120),Pk() = (-), Pl() = (240-), Pm() = (120-),利用投影算符找出基函数 1001D e 1/ 23 / 23 / 21/ 2D a 1/ 23 / 23 / 21/ 2D b 1001D k 1/ 23 / 23 / 21/ 2D l 1/ 23 / 23 / 21/ 2D m 3 投影算符的应用投影算符的应用.群论-群的表示理论-投影算符 根据投影算符的定义，我们可

57、得现在任取一个函数，例如 f = sin2，将P11作用于f上，可得P11f = P11 sin2 = 经归一化后，可得到表示的第一列基函数： 1121111+62222eabklmPPPPPPP12233362222+3ablmPPPPP212333362222ablmPPPPP222111162222eabklmPPPPPPP221sincos22211sincos2.群论-群的表示理论-投影算符 再将P21作用于其上，可得到第二列基函数计算过程：已知不可约表示D(G)的矩阵元D(G)ij1) 确定投影算符Pij2) 将其作用于表示空间中的某一函数上，将第个不可约表示的第i列基函数i挑选出

58、来(只要这个任意函数包含了i的成分)3) 然后再将Pki作用于i上，就可得到第个不可约表示的第k列的基函数最终可求出所有的基函数 22cos sin.群论-群的表示理论-投影算符 实际应用中，往往只知道群表示的特征标而不知道具体的矩阵元利用特征标投影算符特征标投影算符来进行基函数的挑选已知D3群所有不可约表示的特征标可以得到表示D(3)的投影算符P3 利用特征标投影算符计算ea，bk，l，mD(1)111D(2)11-1D(3)2-10取(r) = x2f(r)，f(r)是一个任意函数，则(r)可看作归一化的以P3作用于(r)上，根据3(3)*21( )263geabgPgPPPP.群论-群的

59、表示理论-投影算符 于是得到： 再以Pa作用于上，得由于D(3)是一个二维表示，只有两个基函数，所以第二个基函数可取为它们是正交的，不必再做正交化处理。得到了两个基函数，再将Pg作用于其上，就可得到元素g的表示矩阵 2( )ePrx f r 213+( )22aPrxyf r 213( )22bPrxyf r 332211( )( )( )2rPrxyf r 331221113( )42aPra rxyf rxyf r 32( )rxyf r.群论-群的表示理论-正则表示3.7 正则表示群空间的完备性n 群空间的算符：在群空间中，可把群元本身当做算符群元本身当做算符。这样的算符作用于群空间的每

60、个基矢（也是群元）的方式是群群的乘法的乘法，结果就是得到另一个基矢例如，群G有元素g,s,t,，则算符作用在群空间的任一矢量x = 上，得到所以群元算符的作用在群空间上是封闭的。几个群元算符的线性组合仍旧是一个算符。 gsgsg g Gx gg ()g Gg GgGssx gx gx gxgsgg1 正则表示正则表示.群论-群的表示理论-正则表示n 正则表示正则表示：群空间作为表示空间，群元本身作为变换算符算符（群元）作用在这个空间的基矢（也是群元）上得到的矩阵，就是这个群的一个表示，称之为正则表示正则表示。每个群都有正则表示这是一个N维表示（群空间N维）群G = e,s,t,u,v,：e,s