数学排列组合公式

1、精品文档公式 P 是指排列，从N个元素取R 个进行排列。公式 C 是指组合，从N个元素取R 个，不进行排列。N-元素的总个数R 参与选择的元素个数！ - 阶乘，如9！ 9*8*7*6*5*4*3*2*1从 N倒数 r 个，表达式应该为 n* （n-1)*(n-2).(n-r+1);因为从 n 到（ n-r+1) 个数为 n（ n-r+1) r举例：Q1:有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问，可以组成多少个三位数？。1欢迎下载精品文档A1: 123 和 213 是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的，既属于 “排列 P”计算范畴。上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现 988,9

2、97 之类的组合， 我们可以这么看， 百位数有 9 种可能，十位数则应该有 9-1 种可能，个位数则应该只有 9-1-1 种可能，最终共有 9*8*7 个三位数。计算公式 P（3，9) 9*8*7,( 从 9 倒数 3 个的乘积）Q2: 有从 1 到 9 共计 9 个号码球，请问， 如果三个一组，代表 “三国联盟 ”，可以组合成多少个 “三国联盟 ”？A2: 213 组合和 312 组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的，属于 “组合 C”计算范畴。2欢迎下载精品文档上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数 C(3,9)=9*8*7/3*2

3、*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例 1 设有 3 名学生和 4 个课外小组（1）每名学生都只参加一个课外小组； （2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加各有多少种不同方法？解（1）由于每名学生都可以参加 4 个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有 种不同方法（ 2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有 种不同方法点评由于要让 3 名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算例 2 排成一行，其中 不排第一， 不排第二， 不排第三， 不排第四的不同排法共有多少种？。3欢迎下载精品文档解 依题意，符合

4、要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个，共 3 类，每一类中不同排法可采用画 “树图 ”的方式逐一排出： 符合题意的不同排法共有9 种点评 按照分 “类”的思路，本题应用了加法原理为把握不同排法的规律， “树图 ”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型例判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果（ 1）高三年级学生会有 11 人：每两人互通一封信，共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？（ 2）高二年级数学课外小组共 10 人：从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？从中选 2 名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？（ 3）有 2，3，

5、5，7，11，13，17，19 八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？。4欢迎下载精品文档（ 4）有 8 盆花：从中选出 2 盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法？从中选出 2 盆放在教室有多少种不同的选法？分析（ 1）由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列； 由于每两人互握一次手， 甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题其他类似分析（ 1）是排列问题，共用了 封信；是组合问题，共需握手 （次）（ 2）是排列问题，共有 （种）不同的选法；是组合问题，共有 种不

6、同的选法（ 3）是排列问题，共有 种不同的商；是组合问题，共有 种不同的积（ 4）是排列问题，共有 种不同的选法；是组合问题，共有 种不同的选法例证明证明 左式右式。5欢迎下载精品文档 等式成立点评 这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质 ，可使变形过程得以简化例5 化简解法一 原式解法二 原式点评 解法一选用了组合数公式的阶乘形式， 并利用阶乘的性质； 解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化例 6 解方程：（ 1） ；（ 2） 解 （1）原方程解得 （ 2）原方程可变为。6欢迎下载精品文档 ， ， 原方程可化为 即 ，解得第六章排列组合、二项式定理一、

7、考纲要求1. 掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题 .2. 理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题 .3. 掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题 .。7欢迎下载精品文档二、知识结构三、知识点、能力点提示( 一) 加法原理乘法原理说明 加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排 列、组合中有关问题提供了理论根据 .例 1 5 位高中毕业生， 准备报考 3 所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种 ?解： 5 个学生中每人都可以在 3 所高等院校中任选一所

8、报名，因而每个学生都有 3 种不同的 报名方法，根据乘法原理， 得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35( 种)。8欢迎下载精品文档( 二) 排列、排列数公式说明 排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研 究的对象以及研 究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查 .例 2由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字的五位数，其中小于 50 000 的 偶数共有 ()A.60 个B.48 个C.36个D.24 个。9欢迎下载精品文档解因为要求是偶数， 个位数只能是 2 或 4 的排法有1；小于 50P2000 的五位数，万位只能是 1、3 或 2、4 中剩下的一个的排法有1P 3;3131个)在首末两位数排定后，中间 3 个位数的排法有 P 3，得 P3P3P 236(由此可知此题应选C.例 3 将数字 1、2、3、4 填入标号为 1、2、3、4 的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种 ?解： 将数字 1 填入第 2 方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有 3 种，即 214 3 ，3142，4123；同样将数字 1 填入