材料力学 第八章组合变形

1、81 概述概述82 斜弯曲斜弯曲83 弯曲与扭转弯曲与扭转8-4 8-4 拉拉( (压压) )弯组合弯组合 偏心拉（压）偏心拉（压） 截面核心截面核心81 81 概述概述MPRzxyPP组合变形组合变形杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基杆件在外力作用下，同时产生两种或两种以上基 本变形的情况。本变形的情况。水坝水坝qPhg g例如：（例如：（a)a)厂房边柱厂房边柱压（拉）弯组合压（拉）弯组合 FNM矩矩 形形 截截 面面 梁梁 斜斜 弯弯 曲曲例如：（例如：（b b）坡屋顶上的横梁）坡屋顶上的横梁斜弯曲斜弯曲弯弯 扭扭 组组 合合 变变 形形例如：（例如：（c c）传动轴）传动轴弯扭

2、组合弯扭组合F1 F2M分析方法：在线弹性范围，采用叠加原分析方法：在线弹性范围，采用叠加原 理，先分解成基本变形，然后将同一点理，先分解成基本变形，然后将同一点 的应力叠加的应力叠加 。 二、组合变形的研究方法二、组合变形的研究方法 叠加原理叠加原理( (位移、应位移、应力、应变、和内力等与外力成线性关系力、应变、和内力等与外力成线性关系) )外力分析：外力分析：外力向形心简化外力向形心简化内力分析：内力分析：求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确求每个外力分量对应的内力方程和内力图，确 定危险面。定危险面。画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强画危险面应力分布图，叠加，建立危险点的强

3、度条件。度条件。yzxP1P2a梁任意横截面上的内力分析梁任意横截面上的内力分析P1 使梁在使梁在 平面内弯曲（平面内弯曲（y 轴为中性轴）轴为中性轴）P2 使梁在使梁在 平面内弯曲（平面内弯曲（z 轴为中性轴）轴为中性轴）yzxmmxP1P2ammzyMyMy = P1 x （使梁在（使梁在 XZ 平面内弯曲，平面内弯曲，y 为中性轴）为中性轴）P1 和和 P2在在 mm 面内产生的弯矩为面内产生的弯矩为yzxMZ = P2 (x-a) （使梁在（使梁在 XY 平面内弯曲，平面内弯曲，z 为中性轴）为中性轴）mmxP1P2ammzyMZMy梁横截面上的应力分析梁横截面上的应力分析 （任意点（

4、任意点 C(y, z) 的正应力）的正应力）o z ymmzyMZMyMZ C ( y,z )MymmzymmzyMZMyo z yMZ C ( y,z )My与与 My 相应的正应力为相应的正应力为zIMyy与与 Mz 相应的正应力为相应的正应力为yIMzzo z ymmzyMZMyMZ C ( y,z )MyyIMzIMzzyy C 点处的正应力为点处的正应力为xyzP82 斜弯曲斜弯曲一、斜弯曲一、斜弯曲：杆件产生弯曲变形，但弯曲后，挠曲线与外力（横 向力）不共面。二、斜弯曲的研究方法二、斜弯曲的研究方法 ：1.分解：将外载沿横截面的两个形心主轴分解，于是得到两个正交的平面弯曲。PyPz

5、PzPyyzPj j2.叠加：对两个平面弯曲进行研究；然后将计算结果叠加起来。xyzPyPzPPzPyyzPj jjsinPPyjcosPPz解：1.将外载沿横截面的形心主轴分解2.研究两个平面弯曲jjsin sin)( )(MxLPxLPMyzjcosMMyxyzPyPzPPzPyyzPj jLmmxLjcos yyyIMIzMz jsin zzzIMIyMy )sincos(jjzyIyIzM My引起的应力：M z引起的应力：合应力：PzPyyzPj jxyzPyPzPLmmxLaABCP8 4扭转与弯曲扭转与弯曲研究对象：研究对象：圆截面杆圆截面杆受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用

6、。受力特点：杆件同时承受转矩和横向力作用。变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。变形特点：发生扭转和弯曲两种基本变形。ABLaP一、一、 内力分析内力分析 设一直径为设一直径为 d 的等直圆杆的等直圆杆 AB , B 端具有与端具有与 AB 成直角的刚臂。成直角的刚臂。研究研究AB杆的内力。杆的内力。BAABLaPB横向力：横向力： P （引起平面弯曲）（引起平面弯曲）力偶矩：力偶矩： m = Pa （引起扭转）（引起扭转）将力将力 P 向向 AB 杆右端截面的杆右端截面的形心形心B简化简化得得AB 杆为弯扭组合变形杆为弯扭组合变形APmx画内力图确定危险截面画内力图确定危险截面固定端为危险截

7、面固定端为危险截面AAPmPlmA截面截面 C3C4T C3C4 C2C1二、二、 应力分析应力分析 最大扭转剪应力最大扭转剪应力 发生在截面发生在截面周边上的各点处。周边上的各点处。 C2C1危险截面上的最大弯曲危险截面上的最大弯曲正应力正应力 发生在发生在 处处C1C2C3C4TA截面截面 C3C4 C2C1C1C2C3C4T对于许用拉、压应力相等的对于许用拉、压应力相等的塑性材料制成的杆这两点的塑性材料制成的杆这两点的危险程度是相同的。危险程度是相同的。 可取任可取任一点一点C1 来研究。来研究。C1 点处于平面应力状态点处于平面应力状态C1 三、三、强度分析强度分析1、主应力计算、主应

8、力计算4)2(222213212 202C1 第三强度理论第三强度理论,计算相当力计算相当力2、 相当应力计算相当应力计算422313 r 第四强度理论第四强度理论,计算相当应力计算相当应力2243r4212 )2(2222213023、 强强 度计算度计算 rC1 422313 r2243r该公式适用于图示的平面应力状态。该公式适用于图示的平面应力状态。 是危险点的正应力，是危险点的正应力， 是危险点的剪应力。是危险点的剪应力。且横截面不限于圆形截面。且横截面不限于圆形截面。C1 422313 r2243r可以是可以是变形中由弯曲产生的正应力；变形中由弯曲产生的正应力； 是由扭转变形引起的剪

9、应力。是由扭转变形引起的剪应力。C1 还可以是还可以是，（）与）与组合变形中由弯曲与拉（压）组合变形中由弯曲与拉（压）产生的正应力。产生的正应力。也可以是也可以是 （）与）与组合变形中由拉（压）产生的正应力；组合变形中由拉（压）产生的正应力；422313 r2243rC1 该公式适用于该公式适用于 ，组合变形；组合变形；（）与）与的组合变形；的组合变形；以及以及 （），），与与 的组合变形。的组合变形。弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为弯、扭组合变形时，相应的相当应力表达式可改写为对于圆形截面杆有对于圆形截面杆有21623dWWtWTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMW

10、TWMtr75. 0)(3)(32222224上两式只适用于上两式只适用于组合变形下的组合变形下的 式中式中为杆的抗弯截面系数。为杆的抗弯截面系数。， 分别为危险截面的弯矩分别为危险截面的弯矩和扭矩。和扭矩。WTMWTWMtr2222223)(4)(4WTMWTWMtr75. 0)(3)(3222222480 P2zyxP1150200100ABCD例解：外力向形心 简化并分解建立图示杆件的强度条件弯扭组合变形80 P2zyxP1150200100ABCD150200100ABCDP1MxzxyP2yP2zMx每个外力分量对应的内力方程和内力图叠加弯矩，并画图)()()(22xMxMxMzy确

11、定危险面)( ; )( ; )(xMxMxMnzyM Z (N m)X(Nm)MyxMy (N m)XMz(Nm)x （Nm）xMnMnMn(Nm)xM (N m)XMmaxM(Nm)Mmaxx画危险面应力分布图，找危险点WMxBmax1PnBWM12231)2(2建立强度条件2231341xB1Bx1xB2xBM1B1xB1BxB1B2MyMzMnM由第三强度理论由第三强度理论2234213232221421对圆截面:Wt=2W22*31TMW对圆截面:Wt=2WWTM22*475. 0由第四强度理论由第四强度理论22*43例题例题 试根据最大剪应力理论（第三强度理论）确定试根据最大剪应力理

12、论（第三强度理论）确定图中所示手摇卷扬机（辘轳）能起吊的最大许可荷载图中所示手摇卷扬机（辘轳）能起吊的最大许可荷载P P的数值。已知：机轴的横截面为直径的数值。已知：机轴的横截面为直径d d =30mm=30mm的圆形，的圆形，机轴材料的许用应力机轴材料的许用应力 =160MPa=160MPa。 0.18mPP0.4m0.4m30mm解解: : （1 1）跨中截面的内力）跨中截面的内力0.180.18nMPPNm 0.80.24PMPNm （2）截面的几何特性33302 6503232dW mm3 25 300pWW mm3 223070744dA mm2 （3）应力计算90.180.0345

13、300 10nnpMPPWMPa 90.20.0762 650 10MMPPWMPa MPa 1322220.0760.0760.0342222MMnPPP0.0890.0380.0510.013PPPPMPa（4）根据最大剪应力理论求许可荷载130.0890.0130.102PPP 1601601.570.102P kN 外力分析：外力向形心简化并分解。内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力图，确定危 险面。建立强度条件。弯扭组合问题的求解步骤：弯扭组合问题的求解步骤：例题例题 ： 图图 示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮示一钢制实心圆轴，轴上的齿轮 C 上作用有上作用有铅垂切向力铅垂切向力

14、5 KN,径向力径向力 1.82 KN;齿轮齿轮 D上作用有水平切向力上作用有水平切向力10 KN,径向力径向力 3.64 KN 。齿轮。齿轮 C 的节圆直径的节圆直径 dc = 400 mm ,齿轮齿轮 D 的的节圆直径节圆直径 dD =200 mm。设许用应力。设许用应力 =100 MPa ,试按试按第四强度理论求轴的直径。第四强度理论求轴的直径。BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN解：解：1 、外力的简化、外力的简化xyzACBD5KN1KN.m1.82KN3.64kN10kN1KN.m将每个齿轮上的外力将每个齿轮上的外力向该轴的截面形心向该

15、轴的截面形心简化，简化，BACDyz5KN10KN300mm300mm100mmx1.82KN3.64KN 使轴产生扭转使轴产生扭转 ， 使轴在使轴在 纵对称面内产生弯曲。纵对称面内产生弯曲。 ，使轴在使轴在 纵对称面内产生弯曲。纵对称面内产生弯曲。 2、 轴的变形分析轴的变形分析xyzACBD5KN3.64kN1.82KN10kN1KN.m1KN.mxyzACBD5KN3.64kN3、绘制轴的内力图、绘制轴的内力图MyC=0.57KN.mMyB=0.36KN.m0.570.36CBMy图图xyzACBD1.82KN10kN0.2271CBMz图图MZC=0.227KN.mMZB=1KN.mx

16、yzACBDT=1KN.m1KN.m1KN.m1CT图图-圆杆发生的是斜圆杆发生的是斜弯曲与扭转的组弯曲与扭转的组合变形合变形xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图由于通过圆轴轴线的由于通过圆轴轴线的任一平面都是纵向对称任一平面都是纵向对称平面，故轴在平面，故轴在 xz 和和 xy 两平面内弯曲的合成两平面内弯曲的合成结果仍为平面弯曲结果仍为平面弯曲，从而可用总弯矩来，从而可用总弯矩来计算该截面正应力。计算该截面正应力。xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图B 截

17、面是危险截面截面是危险截面MyC=0.57KN.mMZC=0.227KN.mMyB=0.36KN.mMZB=1KN.m4、危险截面上的、危险截面上的内力计算内力计算xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图xzyMyBMzBMyBMzBMByzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图B截面的总弯矩为截面的总弯矩为22MMMzByBB mKN.0641 MyBMzBMByzxyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz

18、图图B 截面的扭矩值为截面的扭矩值为mKNTB.1 xyzACBD5KN3.64kN0.570.36CBMy图图1.82KN10kN0.2271CBMz图图1CT图图5，由强度条件求轴的直径，由强度条件求轴的直径 WWTMBBr1372750224.323dW 轴需要的直径为轴需要的直径为mmd9511010013723236. 一、组合变形的受力特点一、组合变形的受力特点8 2 拉伸（压缩）与弯曲拉伸（压缩）与弯曲 杆件将发生拉伸杆件将发生拉伸 (压缩压缩 ) 与弯曲组合变形。与弯曲组合变形。作用在杆件上的作用在杆件上的 外力既有外力既有轴向拉轴向拉 ( 压压 ) 力力，还有，还有横向力横向

19、力。二、变形特点二、变形特点PPSSP 产生弯曲变形产生弯曲变形S 产生拉伸变形产生拉伸变形 PyPxPy 产生弯曲变形产生弯曲变形Px 产生拉伸变形产生拉伸变形二、二、 拉拉(压压)与弯曲内力分析与弯曲内力分析xzy0MZNMy杆件横截面上内力杆件横截面上内力弯曲弯曲 拉拉(压压)：轴力：轴力N弯矩弯矩 MZ 或或 My (或二者皆有或二者皆有) 剪力剪力因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。因为引起的剪应力较小，故一般不考虑。 WMWMANyyzzMMNzy横截面上任意一点横截面上任意一点 ( z, y) 处的处的正应力计算公式为正应力计算公式为三、三、 应力分析应力分析xzy0MZNMy(

20、 z,y )拉伸正应力拉伸正应力 N弯曲正应力弯曲正应力 Mz， MySN 轴力轴力跨中截面是杆的危险截面跨中截面是杆的危险截面PlM41max PS2l2lSASANt与轴力对应的拉伸正应力与轴力对应的拉伸正应力与弯矩对应的最大弯曲正应力与弯矩对应的最大弯曲正应力WPlWMb4maxANt PS2l2lS WMbmax -WPlASt4max杆危险截面杆危险截面下边缘各点下边缘各点处的上的拉应力为处的上的拉应力为ANt PS2l2lS WMbmax - max 当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立当材料的许用拉应力和许用压应力不相等时，应分别建立杆件的抗拉、杆件的抗拉、 压强度

21、条件。压强度条件。 四四 强度条件强度条件由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态，故其为由于危险点处的应力状态仍为单向应力状态，故其为例题：悬臂吊车如图所示。横梁用例题：悬臂吊车如图所示。横梁用20a工字钢制成。工字钢制成。其抗弯刚度其抗弯刚度Wz=237cm3,横截面面积横截面面积A=35.5cm2，总荷载，总荷载P=34KN，横梁材料的许用应力为，横梁材料的许用应力为 =12.5MPa。校核横。校核横梁梁AB的强度。的强度。ABCD1.2m1.2m300ABCD1.2m1.2m300解：分析解：分析AB的受力的受力DABPRSNBC300ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS30

22、002 . 14 . 2030sin0PNmBCANBC=PRA=0.5PHA=0.866PRAHAAB为平面弯曲与压缩组合变形。为平面弯曲与压缩组合变形。中间截面为危险截面。中间截面为危险截面。最大压应力最大压应力发生在该发生在该截面的上边缘。截面的上边缘。压缩正应力压缩正应力APAHA866. 0 最大弯曲正应力最大弯曲正应力WPWRzzAW6 . 02 . 1max ABCD1.2m1.2m300ABDPNABRS300RAHAABCD1.2m1.2m30037.946 . 0866. 0max MPaWPAPzc例题例题: 一折杆由两根无缝钢管焊接一折杆由两根无缝钢管焊接 而成而成,已知两根钢管的外径都已知两根钢管的外径都 是是140mm ,壁厚都是壁厚都是10 mm 。 试求折杆危险截面上的最大试求折杆危险截面上的最大 拉应力和最大压应力。拉应力和最大压应力。 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCA 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCAHARARB解解：（：（1） 首先求支反力。首先求支反力。 由静力平衡方程可求得由静力平衡方程可求得 RA = RB= 5 KNHA= 0 1.6 m1.2 m1.6 mAB10 KN1.2 mCAHARARB 由于折杆本