材料力学第8章 组合变形

1、材料力学材料力学2022年3月20日星期日8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合8-3 8-3 偏心压缩和截面核心偏心压缩和截面核心8-4 8-4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合8-5 8-5 组合变形的普遍情况组合变形的普遍情况 第八章第八章 组合变形组合变形材料力学材料力学2022年3月20日星期日组合变形组合变形构件在荷载的作用下如发生两种或两种以构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于属于同一数量级同一数量级，则

2、构件的变形称为组合变形。，则构件的变形称为组合变形。 8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式轴向拉伸与压缩、剪切、扭转、弯曲轴向拉伸与压缩、剪切、扭转、弯曲（1 1）轴向拉伸或轴向压缩）轴向拉伸或轴向压缩复习复习材料力学材料力学2022年3月20日星期日（2 2）剪切）剪切（3 3）扭转）扭转（4 4）弯曲）弯曲8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理材料力学材料力学2022年3月20日星期日前提条件：前提条件：线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；线弹性材料，加载在弹性范围内，即服从胡克定律；必须是小变形，保证能按构件初始

3、形状或尺寸进行分解必须是小变形，保证能按构件初始形状或尺寸进行分解与叠加计算，且能保证与加载次序无关。与叠加计算，且能保证与加载次序无关。叠加原理叠加原理8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 如果如果内力、应力、变形等与外力成线性关系内力、应力、变形等与外力成线性关系，则在小变形条，则在小变形条件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学件下，复杂受力情况下组合变形构件的内力，应力，变形等力学响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，响应可以分成几个基本变形单独受力情况下相应力学响应的叠加，且且与各单独受力的加载次序无关与各单独受力的加载次序无关。材

4、料力学材料力学2022年3月20日星期日压弯组合变形压弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理材料力学材料力学2022年3月20日星期日拉弯组合变形拉弯组合变形组合变形工程实例组合变形工程实例8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理材料力学材料力学2022年3月20日星期日组合变形的例子 烟囱（图烟囱（图a a）有）有侧向荷载（风荷，地侧向荷载（风荷，地震力）时发生弯压组震力）时发生弯压组合变形。合变形。 压缩与弯曲压缩与弯曲的组合变形的组合变形 齿轮传动轴齿轮传动轴（图（图b b）发生弯曲与）发生弯曲与扭转组合变形（两扭转组合

5、变形（两个相互垂直平面内个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。的弯曲加扭转）。弯曲与扭转弯曲与扭转的组合变形的组合变形8-1 8-1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理材料力学材料力学2022年3月20日星期日8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日（1 1）杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。）杆件同时受横向力和轴向力的作用而产生的变形。8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合qlABFFM图图FN图图NFzzMNNFFAAMZZM yINZZFM yAI材料力学材料力学2022年3月20日星期日PxyzP

6、MyxyzPMyMz8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合一、拉一、拉( (压压) )弯组合变形：弯组合变形：偏心拉伸（压缩）：偏心拉伸（压缩）：材料力学材料力学2022年3月20日星期日二、应力分析：二、应力分析：yzFzeye1.1.内力分析内力分析2.2.应力计算应力计算zyE,yzFyzFeM zyFeMNFFyZMFeZyMFeyNZAyZMFMAWW yNZByZMFMAWW yNZCyZMFMAWW yNZDyZMFMAWW 8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日双向偏心拉双向偏心拉( (压压)

7、 )杆横截面上中性轴杆横截面上中性轴位置位置yNZyZyzyZM yFM ZAIIFeyFezFAII 在工程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性在工程计算中，为了便于分析一些问题，常把惯性矩矩I Iy y和和I Iz z写作如下形式：写作如下形式：2yyAiI 2zzAiI 22(1)yzyzeyezFAii zyE,yzFyzFeM zyFeM材料力学材料力学2022年3月20日星期日令令y y0 0，z z0 0代表中性轴上任一点的坐标代表中性轴上任一点的坐标000022(,)(1)0yzyzeyezFyzAii 002210yzyzeyezii双向偏心拉双向偏心拉( (压压) )杆横

8、截面上中性轴杆横截面上中性轴位置位置zyzyee ,yaza中性轴是一条不通中性轴是一条不通过截面形心的直线过截面形心的直线2000zyyizaye 2000yzziyaze 材料力学材料力学2022年3月20日星期日zyzyee ,yaza危险点危险点（距中性轴最远的点）zyE,yzFyzFeMzyFeM双向偏心拉双向偏心拉( (压压) )杆横截面上中性轴杆横截面上中性轴位置位置材料力学材料力学2022年3月20日星期日 例例1 1 具有切槽的正方形木杆，受力如具有切槽的正方形木杆，受力如图。求：图。求：（1 1）m-mm-m截面上的最大拉应力截面上的最大拉应力t t 和最和最大压应力大压应

9、力c c； （2 2）此）此t t是截面削弱前的是截面削弱前的t t值的值的几倍？几倍？8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日解：(1)tcNAMWPaPaaa2224268422PaPa材料力学材料力学2022年3月20日星期日例例2 2 图图a a所示起重机的最大吊重所示起重机的最大吊重F=12kNF=12kN，许用应，许用应力力 ，试为横梁，试为横梁ABAB选择合适的工字钢。选择合适的工字钢。 MPa1008-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合21.51材料力学材料力学2022年3月20日星期日例例2

10、2 图图a a所示起重机的最大吊重所示起重机的最大吊重F=12kNF=12kN，许用应，许用应力力 ，试为横梁，试为横梁ABAB选择合适的工字钢。选择合适的工字钢。 MPa100解：根据横梁解：根据横梁AB的受力图，由的受力图，由平衡方程可得：平衡方程可得：kNFkNFMcxcyA24,18, 0 做弯矩图和轴力图，危险截面做弯矩图和轴力图，危险截面为为C点左侧截面。点左侧截面。注意注意：求工字钢截面几何尺寸：求工字钢截面几何尺寸时，因为时，因为A、W不可能同时获不可能同时获得，所以不能同时考虑弯矩与得，所以不能同时考虑弯矩与轴力条件，可先按弯曲强度条轴力条件，可先按弯曲强度条件试算，再按弯压

11、组合进行强件试算，再按弯压组合进行强度校核。度校核。24kN例6.2图11.52.12kN m8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日查型钢表，可选用查型钢表，可选用16号钢，号钢， ，按弯压组合强度条件，可知按弯压组合强度条件，可知C点左侧截面下边缘各点压点左侧截面下边缘各点压应力最大：应力最大：231 .26,141cmAcmW MPaWMAFNc3 .94maxmax说明所选工字钢合适。说明所选工字钢合适。 363120101001012cmMW按弯曲强度条件可得：按弯曲强度条件可得：8-2 8-2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸

12、或压缩与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日8-8-4 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 机械中的许多构件在工作时往往发生扭转与弯曲的组合变形，而且它们多半是实心或空心圆截面杆，图中所示传动轴便是一种典型的情况。土建工程中发生扭弯组合变形的杆件往往是非圆截面的。材料力学材料力学2022年3月20日星期日8-8-4 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 图图a a所示由塑性材料制造的曲拐在铅垂外力作用所示由塑性材料制造的曲拐在铅垂外力作用下，其下，其ABAB杆的受力图如图杆的受力图如图b b所示。该杆为直径为所示。该杆为直径为d d 的的圆截面杆。圆截面杆。材料力学材料力学2

13、022年3月20日星期日8-8-4 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 图图c，d示出了示出了AB杆的弯矩图（杆的弯矩图（M 图）和扭矩图（图）和扭矩图（T图）。由于扭弯组合变形情况下不考虑剪力对强度的影图）。由于扭弯组合变形情况下不考虑剪力对强度的影响，故未示出剪力图（响，故未示出剪力图（FS图）。图）。 该该AB杆的危险截面为固定端处的杆的危险截面为固定端处的A截面。截面。材料力学材料力学2022年3月20日星期日 危险截面上弯曲正应力在与中性轴危险截面上弯曲正应力在与中性轴C3C4垂直方向的变化垂直方向的变化如图如图e，扭转切应力沿直径，扭转切应力沿直径C3C4和和C1C2的变化如图的

14、变化如图f。 由此可知危险截面上的危险点为由此可知危险截面上的危险点为C1和和C2 2。由于杆的材料。由于杆的材料是拉压许用应力相等的塑性材料，是拉压许用应力相等的塑性材料，C1 1和和C2 2两点的危险程度相两点的危险程度相同，故只需对其中的一个点作强度计算即可。同，故只需对其中的一个点作强度计算即可。弯曲正应力弯曲正应力分布情况分布情况扭转切应力扭转切应力分布情况分布情况8-8-4 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日 围绕点围绕点C1 1以杆的横截面、径向纵截面和切向纵截面取出以杆的横截面、径向纵截面和切向纵截面取出单元体，其各面上的应力如图单元

15、体，其各面上的应力如图g所示，而所示，而32/3dFlWM16/23pdFaWTWT平面应力状态平面应力状态B8-8-4 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日点点C C1 1处于处于平面应力状态平面应力状态，其三个主应，其三个主应力为力为0,421222231按第三强度理论作强度计算，相当应力为按第三强度理论作强度计算，相当应力为22313r4按第四强度理论作强度计算，相当应力为按第四强度理论作强度计算，相当应力为222132322214r3)()()(213r强度条件为强度条件为4rB强度条件为强度条件为8-8-4 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组

16、合材料力学材料力学2022年3月20日星期日究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不究竟按哪个强度理论计算相当应力，在不同设计规范中并不一致。注意到发生扭弯变形的圆截面杆，其危险截面上危一致。注意到发生扭弯变形的圆截面杆，其危险截面上危险点处：险点处：WMWTWT2p为便于工程应用，将上式代入式为便于工程应用，将上式代入式（a），（），（b）可得：可得：WTMWTWM22223r24WTMWTWM22224r75. 023式中，式中，M和和T分别为危险截面上的弯矩和扭矩，分别为危险截面上的弯矩和扭矩，W为圆截面的为圆截面的弯曲截面系数。弯曲截面系数。8-8-4 4 扭转与弯曲的组合

17、扭转与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日 需要注意的是，以上所述对于传动轴的强度计算是静力需要注意的是，以上所述对于传动轴的强度计算是静力强度计算，只能用于传动轴的初步设计，此时强度计算，只能用于传动轴的初步设计，此时 的值取得也的值取得也比较低。比较低。事实上，传动轴由于转动，事实上，传动轴由于转动，危险截面任何一危险截面任何一点处的弯曲正应力是随轴的转动交替变化的。点处的弯曲正应力是随轴的转动交替变化的。这种应这种应力称为力称为交变应力交变应力. . 工程设计中对于在交变应力下工作的构件另有计算准则。工程设计中对于在交变应力下工作的构件另有计算准则。8-8-4 4 扭转与

18、弯曲的组合扭转与弯曲的组合材料力学材料力学2022年3月20日星期日8-8-4 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合例例1:1:图示圆轴图示圆轴. .已知已知,F=8kN,M=3kNm,F=8kN,M=3kNm,=100MPa,=100MPa,试试用第三强度理论求轴的最小直径用第三强度理论求轴的最小直径. .FMm5 . 0材料力学材料力学2022年3月20日星期日8-8-4 4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合例例1:1:FMm5 . 0FLMmaxkNm4kNmT3 224224pzzWTWM22zzzWTWMzzWTM22 22TMWzz35105m332zWd mm8 .79材料力学材料力学2022年3月20日星期日 例题例题 85 图图a所示钢制实心圆轴其两个齿轮上所示钢制实心圆轴其两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮作用有切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径切向力的点构成的圆）直径dC=400 m