考研数学第一讲

1、考试时间考试时间180分钟分钟试卷满分试卷满分150分分题型：选择题（每题题型：选择题（每题4分）分） 填空题（每题填空题（每题4分）分） 解答题（每题解答题（每题10分左右）分左右）考研数学考研数学考研数学一（工学大部分）考研数学一（工学大部分） 数学三（经济管理大部分）数学三（经济管理大部分）高等数学：高等数学：82分分 8小小5大大线性代数：线性代数：34分分 3小小2大大概率统计：概率统计：34分分 3小小2大大大学数学考研数学教学目标教学内容考试性质考试难度重过程、轻结果重过程、轻结果 重结果、轻过程重结果、轻过程以教学大纲为中心以教学大纲为中心 以考试大纲为中心以考试大纲为中心各自

2、为政各自为政 全国统一全国统一水平性测试水平性测试 选拔性测试选拔性测试划重点、难度低划重点、难度低 综合性强、难度高综合性强、难度高1.大学数学与考研数学的区别大学数学与考研数学的区别重基础重基础重计算重计算 重复率高重复率高综合性强综合性强 2 2、命题规律、命题规律STATISTICSPROBABILITYPROBABILITY & STATISTICSPROBABILITY & STATISTICSPROBABILITYSTATISTICS STATISTICS PROBABILITY & STATISTICSPROBABILITY & STATISTI

3、CSPROBABILITYPROBABILITY & STATISTICS-4-2024PROBABILITY & STATISTICSPROBABILITY & STATISTICSPROBABILITY & STATISTICSPROBABILITYSTATISTICS 概率论与数理统计 第一章第一章 事件与概率事件与概率 第二章第二章 一维随机变量及其分布一维随机变量及其分布 第三章第三章 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布 第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第五章第五章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理 第六章第六章

4、数理统计的基本概念数理统计的基本概念 第七章第七章 参数估计与假设检验参数估计与假设检验一、主要考点一、主要考点二、内容与例题二、内容与例题1、随机事件的关系与运算、随机事件的关系与运算 2、古典概型的概率计算方法、古典概型的概率计算方法 3、条件概率和乘法公式的应用、条件概率和乘法公式的应用 4、全概率公式和贝叶斯公式的应用、全概率公式和贝叶斯公式的应用 5、事件的独立性、事件的独立性随机随机现象现象随机随机试验试验事件的事件的独立性独立性随随 机机 事事 件件基本事件基本事件必然事件必然事件对立事件对立事件概概 率率古典古典概型概型几何几何概型概型乘法乘法定理定理事件的关系和运算事件的关系

5、和运算全概率公式与贝叶斯公式全概率公式与贝叶斯公式性质性质定义定义条件条件概率概率不可能事件不可能事件复合事件复合事件 在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量在个别试验中其结果呈现不确定性，在大量重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为重复试验中其结果具有统计规律性的现象称为随机现象随机现象. 可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行; 每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个,并且能事并且能事 先明确试验的所有可能结果先明确试验的所有可能结果; 进行一次试验之前不能确定哪一个结果进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现会出现. 在概率论中，把具有以下三个特征的试

6、验称在概率论中，把具有以下三个特征的试验称为为随机试验随机试验. o1o2o3 样本空间的元素样本空间的元素 ,即试验即试验E 的每一个结果的每一个结果, 称为称为样本点样本点. 随机试验随机试验E的所有可能结果组成的集合称的所有可能结果组成的集合称为为样本空间样本空间,记为记为 S. o1o2不可能事件不可能事件 每次试验必定不发生的事情，即不每次试验必定不发生的事情，即不 包含任何样本点的事件，记为包含任何样本点的事件，记为 。基本事件基本事件 由一个样本点组成的单点集由一个样本点组成的单点集. 必然事件必然事件 全体样本点组成的事件全体样本点组成的事件,记为记为S ,每次每次 试验必定发

7、生的事件。试验必定发生的事件。 随机试验随机试验 E 的样本空间的样本空间 S 的子集称为的子集称为 E 的的随机事件随机事件, 简称简称事件事件. 组成随机事件的一个样本组成随机事件的一个样本点发生点发生, 则称这个事件发生。则称这个事件发生。.), 2 , 1(,的子集的子集是是而而的样本空间为的样本空间为设试验设试验SkABASEk (1) 包含关系包含关系若事件若事件 A 出现，必然导致事件出现，必然导致事件 B 出现，则称出现，则称事件事件 B 包含事件包含事件 A，记作，记作.BAAB 或或图示图示 B 包含包含 A . SBA(2) A等于等于B (3) 事件事件A与与B的并的并

8、(和事件和事件) .和和事事件件的的事事件件与与称称为为事事件件或或事事件件BABxAxxBA 图示事件图示事件A与与B的并的并. SBA 若事件若事件 A 包含事件包含事件 B , 而且事件而且事件 B 包含事件包含事件 A, 则称事件则称事件 A 与事件与事件 B 相等相等,记作记作 A=B. (4) 事件事件A与与B的积事件的积事件 图示事件图示事件A与与B的积事件的积事件. .积事件的的事事件件与与称称为为事事件件且且事事件件BABxAxxBA SBA图中图中A和和B重叠部分重叠部分.(5) 事件事件A与与B互不相容互不相容 (互斥互斥) 若事件若事件 A 的出现必然导致事件的出现必然

9、导致事件 B 不出现不出现 , B 出现也必然导致出现也必然导致 A 不出现不出现,则称事件则称事件 A 与与 B互不相互不相容容,即即 . ABBA图示图示 A 与与 B 互不相容（互斥）互不相容（互斥） . SAB (6) 事件事件A与与B的差的差 由事件由事件A出现而事件出现而事件B不出现所组成的事件称不出现所组成的事件称为事件为事件A与与B的差的差.记作记作 A- B. 图示图示 A 与与 B 的差的差. SABSABAB AB BA BA 设设 A 表示表示 “事件事件A出现出现” , 则则 “事件事件A不出不出现现” 称为事件称为事件 A 的对立事件或逆事件的对立事件或逆事件. 记

10、作记作 .A图示图示 A 与与 B 的对立的对立 . SBA 若若 A 与与 B 互逆互逆, 则有则有 . ABSBA且且A (7) 事件事件A的对立事件的对立事件 说明说明对立事件与互斥事件的区别对立事件与互斥事件的区别 SSABABA A，B 对立对立 A，B 互斥互斥 . ABSBA且且 AB互斥互斥 对立对立 事件运算的性质事件运算的性质 .,1oBAABABBA 交换律交换律. )()(, )()(2oBCACABCBACBA 结结合合律律. )()()()(,)()()(3oCBCACBCACBABCACCBCACBA 分配律分配律. ,:4oBABABABA 摩摩根根律律德德则有

11、则有为事件为事件设设,CBA;)()1(1B品品只只有有第第一一个个零零件件是是合合格格;)()2(2B件件是是合合格格品品三三个个零零件件中中只只有有一一个个零零;)(,)3(3B个次品个次品一一但后两个零件中至少有但后两个零件中至少有第一个是合格品第一个是合格品:)3 , 2 , 1(,)3 , 2 , 1(,3表表示示下下列列事事件件试试用用个个零零件件是是合合格格品品生生产产的的第第表表示示他他以以事事件件个个零零件件一一个个工工人人生生产产了了 iAiiAii例例0 0.)()5(5B三三个个零零件件都都是是次次品品;)()4(4B个个合合格格品品三三个个零零件件中中最最多多只只有有

12、两两:)(, )(,.,满足下列条件满足下列条件如果集合函数如果集合函数的概率的概率称为事件称为事件记为记为赋予一个实数赋予一个实数每一事件每一事件的的对于对于是它的样本空间是它的样本空间是随机试验是随机试验设设 PAAPAESE;0)(,:10 APA 有有对对于于每每一一个个事事件件非非负负性性;1)(,:20 SPS 有有对于必然事件对于必然事件规范性规范性则则有有即即对对于于件件是是两两两两互互不不相相容容的的事事设设可可列列可可加加性性, 2 , 1,:3210 jiAAjiAAji )()()(2121APAPAAP概率的可列可加性概率的可列可加性 .0)(10 P概率的有限可加性

13、概率的有限可加性则则有有是是两两两两互互不不相相容容的的事事件件若若,2210nAAA. )()()()(2121nnAPAPAPAAAP . )()()(, )()(,30APBPABPBPAPBABA 则则且且为两个事件为两个事件设设.)(0,140 APA对对于于任任一一事事件件. )(1)(,50APA PAA 则则的的对对立立事事件件是是设设. )()()()(,)(60ABPBPAPBAPBA 有有对于任意两事件对于任意两事件加法公式加法公式n 个事件和的情况个事件和的情况 )(21nAAAP njijiniiAAPAP11)()().()1()(2111nnnkjikjiAAAP

14、AAAP o7()( )()()P ABP AP ABP AB（减法公式）对任意的事件（减法公式）对任意的事件A，B 有有,BA若若()( )( )P ABP AP B 例例1 1 （0909三）三） ,( )0( ) ()( ) ( )( ) ( )1( )() ()1A BAP ABB P ABP A P BC P AP BD P AB 事件互不相容 则( ). (.)2(;)1(概概型型典典验验称称为为等等可可能能概概型型或或古古具具有有以以上上两两个个特特点点的的试试生生的的可可能能性性相相同同试试验验中中每每个个基基本本事事件件发发有有限限个个元元素素试试验验的的样样本本空空间间只只

15、包包含含定义定义 设试验设试验 E 的样本空间由的样本空间由n 个样本点构成个样本点构成, A为为E 的任意一个事件的任意一个事件,且包含且包含 m 个样本点个样本点, 则事件则事件 A 出现出现的概率记为的概率记为: 古典概型中事件概率的计算公式古典概型中事件概率的计算公式 ,)(样本点总数样本点总数所包含样本点的个数所包含样本点的个数AnmAP .)(SSAPA .,几几何何概概型型定定的的概概率率称称为为量量来来合合理理规规这这样样借借助助于于几几何何上上的的度度区区域域的的度度量量的的子子是是构构成成事事件件是是样样本本空空间间的的度度量量其其中中ASSA当随机试验的样本空间是某个区域

16、当随机试验的样本空间是某个区域,并且任意并且任意一点落在度量一点落在度量 (长度长度, 面积面积, 体积体积) 相同的子区域是相同的子区域是等可能的等可能的,则事件则事件A的概率可定义为的概率可定义为 ,)()()(BPABPBAP 同理可得同理可得为在事件为在事件 B 发生的条件下事件发生的条件下事件 A 发生的条件概率发生的条件概率. .)()()(,0)(,条件概率条件概率发生的发生的发生的条件下事件发生的条件下事件为在事件为在事件称称且且是两个事件是两个事件设设BAAPABPABPAPBA (1) 条件概率的定义条件概率的定义 ; )()()()(32121210BAAPBAPBAPB

17、AAP ;)(1)(40BAPBAP ;0)(,1)(:20 BPBSP规规范范性性则则有有是是两两两两不不相相容容的的事事件件设设可可加加可可列列性性,:5210BB. )(11 iiiiABPABP;0)(:10 ABP非负性非负性(2) 条件概率的性质条件概率的性质 ,0)(121 nAAAP且且个个事事件件为为设设推推广广,2,21 nnAAAn则则有有且且为为事事件件设设,0)(, ABPCBA. )()()()(APABPABCPABCP . )()()()()(112221112121APAAPAAAAPAAAAPAAAPnnnnn . )()()(,0)(APABPABPAP

18、则则有有设设则则有有 例例2 1,( )( )()1,2( )( )( )()1() ()0A BP AP BP ABAABSB ABCP ABD P AB 事件满足和则( ). 例例3 ( )0.4()0.5,()_P BP ABP A B已知，则. 例例4 4 甲、乙两同学约定星期天上午甲、乙两同学约定星期天上午9点到点到10点在图书馆点在图书馆门口见面，先到者等门口见面，先到者等15分钟便离开，求两人能会面的分钟便离开，求两人能会面的概率。概率。22215(, ) 060,060 ,60457=6016XYAXY XYDX YXYAP AD、 分别表示两人到达的时刻，事件 ：“甲乙两人见

19、面”等价于“”、 所有可能的取值范围的面积则 ( )的面积., )()()(,独立独立简称简称相互独立相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是两事件是两事件设设BABABPAPABPBA 说明说明 事件事件 A 与与 B 相互独立是指事件相互独立是指事件 A 发生的概率发生的概率与事件与事件 B 是否出现无关是否出现无关. (1)两事件相互独立两事件相互独立 AB( )()( )()()()P BP B AP BP B AP B AP B A等价说法：若0P(A)1,则事件 ， 独立(2)三事件两两相互独立三事件两两相互独立 ., )()()(, )()()(, )()()(,两两相

20、互独立两两相互独立则称事件则称事件如果满足等式如果满足等式是三个事件是三个事件设设CBACPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA 注意注意三个事件相互独立三个事件相互独立 三个事件两两相互独立三个事件两两相互独立 (3)三事件相互独立三事件相互独立 .,),()()()(, )()()(, )()()(, )()()(,相相互互独独立立则则称称事事件件如如果果满满足足等等式式是是三三个个事事件件设设CBACPBPAPABCPCPAPACPCPBPBCPBPAPABPCBA , )()()()(2121kkiiiiiiAPAPAPAAAP .,21为为相相互互独独立立的的事事件件则则称称

21、nAAAn 个事件相互独立个事件相互独立 n个事件两两相互独立个事件两两相互独立 有有等等式式具具任任意意意意如如果果对对于于任任个个事事件件是是设设推推广广,1,)1(,2121niiinkknAAAkn . )()(,. 0)(,反反之之亦亦然然则则立立相相互互独独若若且且是是两两事事件件设设BPABPBAAPBA 定理一定理一.,也相互独立也相互独立与与与与与与事件事件则下列各对则下列各对是相互独立的两个事件是相互独立的两个事件若若BABABABA定理二定理二两个结论两个结论 .1 12 2n n1 12 2n n( (2 2) )若若 n n 个个事事件件 A A , ,A A , ,

22、 , ,A A ( (n n2 2) )相相互互独独立立, ,则则将将A A , ,A A , ,. . . ., ,A A 中中任任意意一一部部分分事事件件，包包括括它它们们的的和和、差差、积积、逆逆等等运运算算的的结结果果必必与与其其他他一一部部分分事事件件或或它它们们的的运运算算结结果果都都相相互互独独立立. .)2(,)2(,)1(21个个事事件件也也是是相相互互独独立立其其中中任任意意则则相相互互独独立立若若事事件件nkknAAAn 例例5 5 0 ( )1,0 ( )1()+ ()1,)( )( )( )P AP BP A BP A BAABBABCABDAB设且则( ).（ 与

23、互不相容 与 互逆 与 相互独立 与 不独立 例例6 6 , ,0 ( )1,)C( )( )()A B CP CAABBACCCABCDABC设是三个相互独立的事件则下列给定的四对事件中不一定独立的是( ).（ 与 与 与 与.,.2;, 2 , 1,1,21210021的一个划分的一个划分为样本空间为样本空间则称则称若若的一组事件的一组事件为为的样本空间的样本空间为试验为试验设设定义定义SBBBSBBBnjiBBEBBBESnnjin 样本空间的划分样本空间的划分 1B2B3B1 nBnB.)()()()()()()(), 2, 1(0)(,221121称称为为全全概概率率公公式式则则且且的的一一个个划划分分为为的的事事件件为为的的样样本本空空间间为为设设试试验验定定理理nninBPBAPBPBAPBPBAPAPniBPSBBBEASE A1B2B3B1 nBnB说明说明 全概率公式的主要用处在于它可以将全概率公式的主要用处在于它可以将一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单一个复杂事件的概率计算问题分解为若干个简单事件的概率计算问题事件的概率计算问题,最后应用概率的可加性求出最后应用概率的可加性求出最终结果最终结果. A1B2B3BnB1