材料力学3(拉伸、压缩与剪切2)

1、一、应力集中的概念 二、轴向拉伸或压缩时的变形三、拉压超静定问题四、材料拉伸时的力学性能应力集中的概念： 前面所介绍的应力计算公式适用于等截面的直杆，对于横截面平缓变化的拉压杆按该公式计算应力在工程实际中一般是允许的；然而在实际工程中某些构件常有切口、切槽、圆孔、螺纹、轴肩等几何形状发生突然改变的情况。 试验和理论分析表明，此时横截面上的应力不再是均匀分布，而是在局部范围内急剧增大，这种现象称为应力集中(stress concentration)。如图2.32(a)所示的带圆孔的薄板，承受轴向拉力 的作用，由试验结果可知：在圆孔附近的局部区域内，应力急剧增大；而在离这一区域稍远处，应力迅速减小

2、而趋于均匀，如图(b)所示。 在I-I截面上，孔边最大应力 与同一截面上的平均应力 之比，用K表示0max0maxK 称为理论应力集中系数(theoretical stress concentration factor)，它反映了应力集中的程度，是一个大于1的系数。试验和理论分析结果表明：构件的截面尺寸改变越急剧，构件的孔越小，缺口的角越尖，应力集中的程度就越严重。因此，构件上应尽量避免带尖角、小孔或槽，在阶梯形杆的变截面处要用圆弧过渡，并尽量使圆弧半径大一些。 杆件在轴向拉伸或压缩时，其轴线方向的尺寸和横向尺寸将发生改变。杆件沿轴线方向的变形称为纵向变形，杆件沿垂直于轴线方向的变形称为横向变

3、形。 设一等直杆的原长为 ，横截面面积为A，如图2.10所示。在轴向拉力F的作用下，杆件的长度 由变为 ，即其纵向伸长量为llllll1b FFb1l一一 纵向变形纵向变形1lll ll二二 横向变形横向变形bbb1bb,lF l 1lEA 实验表明：NF lFllEAEA E即：当材料应力不超过某一限值 (以后将会讲到，这个应力值称为材料的“比例极限”)时，应力与应变成正比。 这就是胡克定律(Hooke law)，是根据著名的英国科学家Robert Hooke命名的。公式(2.6)中的E是弹性模量，也称为杨氏模量(Youngs modulus)，是根据另一位英国科学家Thomas Young

4、命名的，E随材料的不同而不同。NF lFllEAEA E 由上式可以看出，若杆长及外力不变，EA值越大，则变形越小，因此，EA反映杆件抵抗拉伸(或压缩)变形的能力，称为杆件的抗拉(抗压)刚度(axial rigidity)。llbb纵向变形和横向变形纵向变形和横向变形试验结果表明，当应力不超过材料的比例极限时，横向正应变与纵向正应变之比的绝对值为一常数，该常数称为泊松比(Poissons ratio)，用 来表示，它是一个无量纲的量，可表示为 如图所示的铅垂悬挂的等截面直杆 ，其长度为l， 横截面面积为A，材料的比重为r，弹性模量为E 。试求该杆总的伸长量。 解： (1) 计算吊杆的内力。以吊

5、杆轴线为坐标轴，吊杆底部为原点取坐标系，则任一横截面的位置可用x来表示。任取一横截面，取下面部分为研究对象(图(b)，得杆内任意横截面上的轴力为 xAxNF(2) 计算吊杆的变形。因为杆的轴力是一变量，因此不能直接应用胡克定律来计算变形，在x处截取微段dx来研究，受力情况如图(c)所示。因dx极其微小，故该微段上下两面的应力可以认为相等，该微段的伸长为 ddxxxEANF则杆的总伸长量为 2 0 0 0ddd2lllxxAxllxxEAEAE NF对于变截面杆件（如阶梯杆），对于变截面杆件（如阶梯杆），或轴力变化。则或轴力变化。则Ni iiiiF lllE A 一. 超静定问题的概念 前面所讨

6、论的问题中，约束反力和杆件的内力都可以用静力平衡方程全部求出。这种能用静力平衡方程式求解所有约束反力和内力的问题，称为静定问题 但在工程实践上由于某些要求，需要增加约束或杆件，未知约束反力的数目超过了所能列出的独立静力平衡方程式的数目，这样，它们的约束反力或内力，仅凭静力平衡方程式不能完全求得。这类问题称为超静定问题或静不定问题 2NF例如图2.26(a)所示的结构，其受力如图2.26(b)所示，根据AB杆的平衡条件可列出三个独立的平衡方程，即 、 、 ；而未知力有4个，即 、 、 和 。显然，仅用静力平衡方程不能求出全部的未知量，所以该问题为超静定问题。未知力数比独立平衡方程数多出的数目，称

7、为超静定次数，故该问题为一次超静定问题。(a) (b)图2.26 一次超静定问题的受力分析图(a) 超静定结构示意图；(b) 超静定杆的受力分析0X 0Y 0CMANFAY1NF2NF一、超静定问题的解法超静定问题的解法一般从以下三个方面的条件来进行考虑：(1)静力平衡方程；(2) 补充方程(变形协调条件)；(3) 物理关系(胡克定律、热膨胀规律等)。现以一简单问题为例来说明。3l1l图示结构，图示结构，1 、2杆抗拉刚度为杆抗拉刚度为E1A1 ，3杆抗拉刚杆抗拉刚度为度为E3A3 ，在外力，在外力F 作用下，求三杆轴力？作用下，求三杆轴力？1 1、列出独立的平衡方程、列出独立的平衡方程210

8、NNxFFFFFFFNNy31cos202 2、变形几何关系、变形几何关系cos321lll3 3、物理关系、物理关系1111cosNF llE A 3333NF llE A4 4、补充方程、补充方程131133coscosNNF lF lE AE A5 5、求解方程组，得、求解方程组，得21233311cos,2cosNNFFFE AE A33113312cosNFFE AE A一、力学性能：在外力作用下材料在变形和破坏方面所表现出的力学特性。二、材料的拉伸与压缩试验1 试件和实验条件对于金属材料，通常采用圆柱形试件，其形状如图所示，长度为标距标距(gage length)。标距一般有两种，

9、前者称为短试件，后者称为长试件，式中的d为试件的直径。常温、静载常温、静载三、低碳钢拉伸时的力学性能 低碳钢是指含碳量在0.3%以下的碳素钢，过去俗称A3钢。将低碳钢试件两端装入试验机试验机(Test-machine)上，缓慢加载，使其受到拉力产生变形。利用试验机的自动绘图装置，可以画出试件在试验过程中标距为l段的伸长l和拉力F F之间的关系曲线。该曲线的横坐标为l，纵坐标为F F ，称之为试件的拉伸图，如图2.23所示。低碳钢试件的拉伸图拉伸图与试样的尺寸有关，将拉力P P除以试件的原横截面面积A A，得到横截面上的正应力，将其作为纵坐标；将伸长量除以标距的原始长度，得到应变作为横坐标。从而

10、获得曲线，如图2.24所示，称为应力应力应变图应变图(stress-strain diagram)或应应力力应变曲线应变曲线。图2.15 低碳钢拉伸时的曲线图oabcefPesb明显的四个阶段明显的四个阶段: :1 1、弹性阶段、弹性阶段obobP比例极限比例极限Ee弹性极限弹性极限tanE2 2、屈服阶段、屈服阶段bcbc（失去抵（失去抵抗变形的能力）抗变形的能力）s屈服极限屈服极限3 3、强化阶段、强化阶段cece（恢复抵抗变形的能力）（恢复抵抗变形的能力）强度极限强度极限b4 4、局部径缩阶段、局部径缩阶段efef0两个塑性指标两个塑性指标: :%100001lll断后伸长率断后伸长率断

11、面收缩率断面收缩率%100010AAA%5为塑性材料为塑性材料%5为脆性材料为脆性材料低碳钢的低碳钢的%3020%60为塑性材料为塑性材料卸载定律及冷作硬化卸载定律及冷作硬化oabcefPesbddghf 材料在卸载过程中应材料在卸载过程中应力和应变是线性关系，这力和应变是线性关系，这就是卸载定律。就是卸载定律。 材料的比例极限增高，材料的比例极限增高，延伸率降低，称之为冷作硬延伸率降低，称之为冷作硬化或加工硬化。化或加工硬化。1 1、弹性范围内卸载、再加载、弹性范围内卸载、再加载2 2、过弹性范围卸载、再加载、过弹性范围卸载、再加载其它材料拉伸时的力学性质其它材料拉伸时的力学性质 对于没有明对于没有明显屈服阶段的塑显屈服阶段的塑性材料，用名义性材料，用名义屈服极限屈服极限p0.2p0.2来来表示。表示。o%2 . 02 . 0pobt 对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力对于脆性材料（铸铁），拉伸时的应力应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现应变曲线为微弯的曲线，没有屈服和径缩现象，试件突然拉断。断后伸长率约为象