材料力学第8章组合变形

1、第八章第八章 组合变形组合变形8.1 8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合8.4 8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理组合变形组合变形 构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形构件在荷载作用下发生两种或两种以上的基本变形, ,则构件的变形称为则构件的变形称为组合变形组合变形。基基本本变变形形拉伸拉伸( (压缩压缩) )剪切剪切扭转扭转弯曲弯曲拉弯组合变形拉弯组合变形8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理组合变形组合变形基基本本变变形形拉伸拉伸( (压缩压缩) )剪切剪切

2、扭转扭转弯曲弯曲扭弯组合变形扭弯组合变形8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理 如果内力、应力、应变和位移等与外力成如果内力、应力、应变和位移等与外力成线性关系线性关系，则在，则在小变形小变形条件下，可分别计算每一基本变形各自引起的内力、应力、应变和条件下，可分别计算每一基本变形各自引起的内力、应力、应变和位移，然后将其所得结果叠加，便得到构件在组合变形下的内力、位移，然后将其所得结果叠加，便得到构件在组合变形下的内力、应力、应变和位移，计算结果与各单独受力的加载次序无关。应力、应变和位移，计算结果与各单独受力的加载次序无关。叠加原理叠加原理=?8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原

3、理叠加原理叠加原理+=+8.1 组合变形和叠加原理组合变形和叠加原理FFw 图示的纵横弯曲问题，需用变形后的位置进行图示的纵横弯曲问题，需用变形后的位置进行计算，轴向力计算，轴向力F除产生压缩外，还将引起弯矩除产生压缩外，还将引起弯矩Fw，挠度挠度w受受q和和F的共同影响，弯矩、挠度与的共同影响，弯矩、挠度与F的关系的关系却都不是线性的，因此，却都不是线性的，因此，叠加原理不能使用叠加原理不能使用！注意！注意！8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲组合变形与弯曲组合变形：当杆上的外力除横向力当杆上的外力除横向力外，还受轴向拉（压）力时，所

4、发生的组合变形，是外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是工程中常见的情况。工程中常见的情况。计算方法计算方法1). 1). 分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的正应力；2). 2). 按叠加原理计算正应力的代数和。按叠加原理计算正应力的代数和。8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合注意事项注意事项1). 1). 如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区如果材料许用拉应力和许用压应力不同，且截面部分区域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压域受拉，部分区域受压，应分别计算出最大拉应力和最大压应力

5、，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。应力，并分别按拉伸、压缩进行强度计算。2). 2). 如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则如果横向力产生的挠度与横截面尺寸相比不能忽略，则轴向力在横截面上引起附加弯矩轴向力在横截面上引起附加弯矩M M= =PyPy亦不能忽略，这时叠加亦不能忽略，这时叠加法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。法不能使用，应考虑横向力与轴向力之间的相互影响。 xqPPy8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例1 1 实例实例： 图示起重机的最大吊重图示起重机的最大吊重P=12kN，材料许，材料许用应力用应力s s=100MPa，试

6、为，试为AB杆选择适当的工字梁。杆选择适当的工字梁。 B2m1m1.5mPACD8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例1 1 解：解：(1) 根据根据AB杆的受力杆的受力简图，由平衡条件，得：简图，由平衡条件，得： (2) 作作AB杆的弯矩图和杆的弯矩图和轴力图：轴力图：C点左截面上，弯点左截面上，弯矩为极值而轴力与其它截面矩为极值而轴力与其它截面相同，故为危险截面。相同，故为危险截面。yxy3TP18kN24TT24kN324kN_FNRAHATCABPTxTy12kNm_M8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例1 1 (3) (3

7、) 计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强计算时暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强度条件确定工字梁的抗弯截面模量度条件确定工字梁的抗弯截面模量33max612 10120 100 10MN mWcmPas (4) (4) 查型钢表，选取查型钢表，选取W=141cmW=141cm3 3的的1616号工字梁，然后号工字梁，然后按压弯组合变形进行校核，在按压弯组合变形进行校核，在C C截面下缘的压应力最大截面下缘的压应力最大36maxmax23MN24 1012 1094.3MPa100MPaAW26.1 10141 10s 最大压应力略小于许用应力，说明选取最大压应力略小于许用应力，说明选取16

8、号工字号工字梁是合适的梁是合适的! 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例2 2实例实例：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，：铸铁压力机框架，立柱横截面尺寸如图所示，材料的许用拉应力材料的许用拉应力 s st t 30MPa30MPa，许用压应力，许用压应力 s sc c 120MPa120MPa。试按立柱的强度计算许可载荷。试按立柱的强度计算许可载荷F F。 FF35015015050500z1z1yy8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例2 22mm15000Amm750z 47mm1031. 5yImm1251z解：解：1

9、 1）计算横截面的形心、面积及惯性矩）计算横截面的形心、面积及惯性矩2 2）立柱横截面的内力）立柱横截面的内力FFNN.m10425107535033FFMFF350F350NF1z1yy8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例2 2 3 3）立柱横截面的最大应力）立柱横截面的最大应力max. tsmax. csPa66710151031.5075.0104253530max.FFFAFIMzNytsPa93410151031.5125.0104253531max.FFFAFIMzNycsF350NFM8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合

10、拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例2 2 max. tsmax. csF350NFMttFss 667max.N4500066710306676tFsccFss 934max.N128500934101209346cFs45kNN45000F许许可可压压力力为为8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例3 3实例实例3，已知：已知：,300,15mmekNP许用拉应力许用拉应力试设计立柱直径试设计立柱直径d。 ,321MPas8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例3 3解：将力解：将力P向立柱轴线简化，立柱承受拉伸和向立柱轴线简化，立柱承受拉

11、伸和弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯弯曲两种基本变形，任意横截面上的轴力和弯矩为：矩为：kNPFN15mNPeM458.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例3 324dPAPs1sws横截面上与横截面上与 对应的拉应力均匀分布，对应的拉应力均匀分布，NF横截面上与横截面上与 M 对应的弯曲正应力按对应的弯曲正应力按线性分布，线性分布，332dPeWMzs 8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例3 31sws132324ssss dPedP两种应力叠加后应满足强度条件两种应力叠加后应满足强度条件:32300101532101543

12、323ddmmd1148.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例4 4实例实例4：图示钢板受力：图示钢板受力P=100kN，试求最大正应力；试求最大正应力；若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不若将缺口移至板宽的中央，且使最大正应力保持不变，则挖空宽度为多少？变，则挖空宽度为多少？PPPPMN2010020yzyC8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例4 4mm5102010100201020Cz235100101210010CyI4523mm1027. 7252010122010解：解：内力分析内力分析如图如图坐标如图，挖孔处的形

13、心坐标如图，挖孔处的形心Nm5001053PMPPPPMN2010020yzyC8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例4 4ycIzMANmaxmaxsMPa8 .1628 .37125应力分析应力分析如图如图73631027.710555001080010100PPMN2010020yzyC8.2 8.2 拉伸或压缩与弯曲的组合拉伸或压缩与弯曲的组合实例实例4 4孔移至板中间时孔移至板中间时)100(10mm9 .631108 .16210100263maxxNAsmm8 .36 xPPMN2010020yzyC8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合拉伸拉伸(

14、 (压缩压缩) )与弯曲组合变形与弯曲组合变形：当杆上的外力除横向力当杆上的外力除横向力外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是外，还受轴向拉（压）力时，所发生的组合变形，是工程中常见的情况。工程中常见的情况。计算方法计算方法1). 1). 分别计算轴向力引起分别计算轴向力引起的正应力和横向力引起的的正应力和横向力引起的正应力；正应力；2). 2). 按叠加原理计算正应力的代数和。按叠加原理计算正应力的代数和。8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合 扭转与弯曲的组扭转与弯曲的组合变形合变形在机械工程中在机械工程中最为常见，右图为钢最为常见，右图为

15、钢制摇臂轴制摇臂轴AB的受力的受力情况。情况。PaPLMTn_xLayzAPCBdPPa8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合杆件在扭弯组合变形下的强度计算杆件在扭弯组合变形下的强度计算 以以圆截面圆截面杆件的扭杆件的扭弯组合变形为例，说明弯组合变形为例，说明强度计算的过程如下：强度计算的过程如下：危险截面上的内力矩危险截面上的内力矩1) 根据计算得到危险根据计算得到危险截面上的内力矩截面上的内力矩:扭矩扭矩：Txz平面内的弯矩平面内的弯矩：Myxy平面内的弯矩平面内的弯矩：Mz8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合2) 计算合成弯矩计算合成弯矩 对于截面为圆形的轴对于截面为圆形的轴，包含

16、轴线的任意纵向面，包含轴线的任意纵向面都是纵向对称面，因此，都是纵向对称面，因此，将将My和和Mz合成后得到的合成后得到的弯矩弯矩M的作用平面仍然是的作用平面仍然是纵向对称面，仍可按对称纵向对称面，仍可按对称弯曲的公式弯曲的公式(5.2)(5.2)计算。计算。 用矢量合成的方法用矢量合成的方法，求得合成弯矩，求得合成弯矩M：22yzMMM8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合tTW3) 计算应力的极大值计算应力的极大值与扭矩与扭矩T对应的切应对应的切应力在边缘各点上达到力在边缘各点上达到极大值：极大值：与合成弯矩与合成弯矩M对应的对应的弯曲正应力在弯曲正应力在D1和和D2点达到极大值：点达到

17、极大值：MWs8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合4) 确定危险点的主应力确定危险点的主应力s 由抗拉和抗压强度相等的由抗拉和抗压强度相等的塑性材料制成的圆轴，在危险塑性材料制成的圆轴，在危险点点D1和和D2中只需校核其中一中只需校核其中一点即可。点即可。D1点是二向应力状点是二向应力状态，应按强度理论建立强度条态，应按强度理论建立强度条件。件。D1点的主应力：点的主应力：21222321422220sssssss8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合tTW5) 强度条件强度条件对塑性材料而言，应采用第三或第四强度理论。对塑性材料而言，应采用第三或第四强度理论。按第三强按第三强度理论建度

18、理论建立的强度立的强度条件为：条件为： 13sss 221MTWs 224ssW 2Wt圆截面：圆截面：MWs8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合5) 强度条件强度条件按第四强按第四强度理论建度理论建立的强度立的强度条件为：条件为： 22212233112sssssss 221M0.75TWs 223ss8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例 实例实例：图示皮带轮传动轴，传递功率：图示皮带轮传动轴，传递功率N=7kW=7kW，转，转速速n=200r/min=200r/min，右端皮带轮，右端皮带轮B B重量重量Q=1.8kN=1.8kN，左端齿轮，左端齿轮A A上啮合力上啮合力P

19、n n与齿轮节圆切线的夹角与齿轮节圆切线的夹角( (压力角压力角) )为为2020o o，轴材料的许用应力轴材料的许用应力ss80MPa80MPa，试按第三强度理论设，试按第三强度理论设计轴的直径。计轴的直径。zyD1ABCD200200400f f300f f500D2F1=2F2F220oPnPyPz8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例mkNnNTn3343. 0200755. 955. 9解：解：1) 1) 将外力向将外力向ABAB轴轴线简化，并计算各力的大小轴轴线简化，并计算各力的大小 zyD1ABCD200200400f f300f f500D2F1=2F2F220oPn

20、PyPzxyQPyPz3F2TnTnkNDTPnz228. 23 . 03343. 0222kNtgPPozy811. 036397. 0228. 220kNDTFn012. 452. 03343. 023233128.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例2) 2) 作轴的扭矩图和弯矩图作轴的扭矩图和弯矩图 因整个轴上扭矩相等，所以扭矩图略。作因整个轴上扭矩相等，所以扭矩图略。作xz平面平面内的内的My图和作图和作xy平面的平面的Mz图，可以看出图，可以看出D截面为危险截面为危险截面，其上的内力为截面，其上的内力为:n22Dyz22T0.3343kN mMMM0.80.360.877k

21、N mMyMz0.446kNm0.8kNm0.16kNm0.36kNmxyQPyPz3F2TnTn8.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例3) 3) 根据第三强度理论设计轴的直径根据第三强度理论设计轴的直径 22Dnr3MTWss37622223mm101173. 080103343. 0877. 032snDTMd730.1173 1032d49.3mm8.128.4 扭转与弯曲的组合扭转与弯曲的组合实例实例实例实例：如图所示钢制实心圆轴的两个齿轮上作用有如图所示钢制实心圆轴的两个齿轮上作用有切向力和径向力，齿轮切向力和径向力，齿轮C 的节圆（齿轮上传递切向的节圆（齿轮上传递切向力的点构成的圆）直径力的点构成的圆）直径dC=400 mm,齿轮齿轮D的节圆直的节圆直径径dD=200 mm。已知许用应力。已知许用应力 =100 MPa。试按。试按第四强度理论求轴的