高中数学第三章推理与证明3综合法与分析法练习北师大版选修1

1、精品教案第三章推理与证明3综合法与分析法练习北师大版选修1-2目标、知重点1.了解直接证明的两种基本方法综合法和分析法.2.理解综合法和分析法的思考过程、特点，会用综合法和分析法证明数学问题可编辑精品教案1 .综合法的含义从命题的条件出发,利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结也直到完成命题的证明，这样的思维方法称为综合法2 .分析法的含义从求证的结论出发,一步步地探索保证前一个结论成立的充分条件，直到归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等.这样的思维方法称为分析法.情境导学证明对我们来说并不陌生，我们在上一节学习的合情推理，所得结论的正确性就是要证

2、明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识.探究点一综合法思考1请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)>abc.证明因为b2+c2>2bc,a>0,所以a(b2+c2)>bc.又因为c2+a2>2ac,b>0,所以b(c2+a2)>abc.因此a(b2+c2)+b(c2+a2)>abc.小结此证明过程运用了综合法.一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理

3、等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.思考2综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理.例1在小BC中，三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列,a,b,c成等比数列，求证：ABC为等边三角形.证明由A,B,C成等差数列，有2B=A+C,由于A,B,C为小BC的三个内角，所以A+B+C=兀.兀由，得B=-,3由a,b,c成等比数列，有b2=ac,由余弦定理及，可得b2=a2+c2-2acco

4、sB=a2+c2-ac,再由，得a2+c2ac=ac,即(ac)2=0,从而a=c,所以A=C.兀由，得A=B=C=一,3所以4ABC为等边三角形.反思与感悟综合法的证明步骤如下：(1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定理等；(2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程.ACcosB跟踪训练1在小BC中，AB-=C，证明：B=C.证明在AABC中，由正弦定理及已知条件得sinBcosB=.sinCcosC于是sinBcosCcosBsinC=0,即sin（BC）=0,因为一兀<B-C<ti,从而B-C=0,所以B=C.探究点二分析

5、法a+bi思考1回顾一下：基本不等式一厂Ajab（a>0,b>0）是怎样证明的？a+b.答要证一>Jab,只需证a+b>2ab,只需证a+b-2Jab>0,只需证（由一b）2>0，因为（、一b）2>0显然成立，所以原不等式成立.思考2证明过程有何特点？答从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的条件，最终把要证明的结论变成一个显然成立的条件.小结分析法定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止,这种证明方法叫做分析法.思考3综合法和分析法的区别是什么

6、？答综合法是从已知条件出发，逐步推向未知，每步寻找的是必要条件；分析法是从待求结论出发，逐步靠拢已知，每步寻找的是充分条件.例2求证：3f3+，7<2<5.证明因为、卜十、卜和2、都是正数，所以要证也十，<25,只需证c/3+3）2<（25）2,展开得10+2，21<20,只需证427<5,只需证21<25,因为21<25成立，所以、/3+、/7<2、/5成立.反思与感悟当已知条件和结论联系不够明显、直接，证明中需要用哪些知识不太明确具体时，往往采用从结论出发，结合已知条件，用结论反推的方法.跟踪训练2求证：0a1<弋a_24a-3(

7、an3).证明方法一要证a-yja-1<#a-2-yja-3,只需证a+7a-3<a2+aa1,只需证(，+勺a-3)2<("xja2+勺a-1)2,只需证2a_3+2勺a?3a<2a_3+2a2-3a+2,只需证1a?3a<a23a+2,只需证0<2,而0<2显然成立，所以4-1<a-2ja-3(a>3).方法二因为他+/-1>/-2+a-3,11所以y/a+a1(a2+a3'所以"3«a-1<勺a-2ja3.探究点三综合法和分析法的综合应用思考在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答对思

8、路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论Q;再根据结构的特点去转化条件，得到中间结论P.若P?Q,则结论得证.兀例3已知”，弭kTt+2(kez),且sin0+cos0=2sina,sin0cos8=sin2&1tan2a1tan2B求证：2-=21+tan2a21+tan2B证明因为(sin0+cos8)22sin0cos8=1,所以将代入，可得4sin2a2sin23=1.1tan2a1tan2(3另一方面，要证=1+tan2a21+tan2§sin2asin2B1212-cos2acos2(

9、3即证2-=2,sin2asin2Bcos2acos23即证cos2asin2a=2(cos2sin2新，即证12sin2a=(12sin2份，即证4sin2a2sin23=1.由于上式与相同，于是问题得证.反思与感悟用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则综合法和分析法的综合应用可用框图表示为：p?P1P1?P2一一Pn?p'Q?Qmj-|Q2?Q"-|Q1?Q跟踪训练3若tan(a+B)=2tana,求证：3sinB=sin(2a+B).证明由tan(a+B)=2tanasina+(32sina得Q=,cosa+pcosa即sin(a+B)cosa=

10、2cos(a+»sina.要证3sinB=sin(2a+力即证3sin(a+B)a=sin(a+3)+a,即证3sin(a+B)cosacos(a+B)sina=sin(a+B)cosa+cos(a+4sina,化简得sin(a+B)cosa=2cos(a+B)sina.这就是式.所以，命题成立.1.已知y>x>0,且x+y=1,那么()A.x<-<y<2xyB.2xy<x<-<y22C.x<_<2xy<yD.x<2xy<_<y答案D解析.y>x>0,且x+y=1,，设y=,x=,44则二

11、"=2xy=",.2xy_y,故选D.22822.欲证、，2、，3、63成立,只需证（）a.（33）2（出一3）2b.（#）2（V3由）2c.（3+3）2（73+雨）2D.（烟一3血2（由）2答案C解析根据不等式性质，ab0时，才有a2b2,只需证：/+3市+市，即证：（电+由）2（V3+#y.1 tana3.已知=1,求证：cosasina=3（cosa+sina）.2+tana证明要证cosasina=3(cosa+sina),可编辑cosasina1tana只需证=3,只需证=3,cosa+sina1+tana只需证1tana=3(1+tana),1只需证tana=-

12、2，1tana答案C解析对于A：若c=0,则A不成立，故A错；对于B：若c<0,则B不成立，B错；对a>011a<0于C：若a3>b3且ab<0,则,所以小故C对；又行1D：若b，则D不成立.2 .A、B为4ABC的内角，A>B是sinA>sin8的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案Cab解析由正弦定理=2R,又A、B为三角形的内角，sinA>0,sinB>0,.sinsinAsinBA>sinB?2RsinA>2RsinB?a>b?A>B.3 .已知直线l,m,平面a,

13、3,且l,a,m3,给出下列四个命题：若all3,则Um；若Um,则all3;若B,则l±m；若l/m,则a1&其中正确命题的个数是（）A.1B.2C.3D.4答案B解析若la,mB,a/3则l,B,所以lm,正确;3l±m,a与B可能相交，不正确;若l,a,m（3,a±（3,l与m可能平行或异面，不正确;若l,a,m3l/m,则m，a,所以a±B,正确.4 .设a,ber+,且awb,a+b=2,则必有（）A.1"3Bab<i<。22C. ab3<12D芷 <ab<12答案B解析因为awb,故一2>

14、ab.又因为a+b=2>2、/0b,a2+b2a+b22ab故ab<1,=2ab>1,22a2+b2即>1>ab.25.设a=，2,b=yf7,c=6，2,则a,b,c的大小关系为答案a>c>b解析,.a2-c2=2(8-43)=4#6=48.c>b.6.已知p=a+(a>2),q=2a2+4a2(a>2)，贝Up、q的大小关系为a-2答案p>q1+2=4,-a2+4a-2=2-(a-2)2<2,a-2.-q<22=4书.7.求证：+<2.log519log319log219证明1因为'=logab,所

15、以左边=logbalog195+2log193+3log192=log195+log1932+log1923=log19(5x2X23)=log19360.因为10g19360<log19361=2,123所以+<2.log519log319log219二、能力提升ab8.已知a,b为非零实数，则使不等式：b+gw2成立的一个充分不必要条件是（）A.ab>0B.ab<0C.a>0,b<0D.a>0,b>0答案Cab解析.一与一同号，ba由亘十&-2,知a<0,b<0,baba即ab<0.又若ab<0,则一<0

16、,一<0.baababab.a>0,b<0是一十一w2成立的一个充分不必要条件.ba9.已知a、b、cCR,且a+b+c=0,abc>0,则一十一十一的值（）abcA.一定是正数B.一定是负数C.可能是0D.正、负不能确定答案B解析.a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0,又abc>0,，a,b,c均不为0,，a2+b2+c2>0.111ab+bc+ca，ab+bc+ca<0,.+=<0.abcabc10.如图所示，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件时,有A1CB1D1（注：填上你认为正确的一

17、个条件即可，不必考虑所有可能的情形）.答案对角线互相垂直解析本题答案不唯一，要证AiCXBiDi,只需证BiDi垂直于AiC所在的平面AiCCi,因为该四棱柱为直四棱柱，所以BiDCCi,故只需证BiDUAiCi即可.ii.若-i<x<i,i<y<i,求证：（-）2<i.ixy证明要证明（x yi xy)2<i ,只需证明(xy)2<(i -xy)2,即 x2 + y2 2xy<i -2xy + x2y2,只需证明x2+y2ix2y2<0,只需证明（y2i）（i-x2）<0,即（iy2）（ix2）>0.（*）因为一i<x&

18、lt;i,i<y<i,所以x2<i,y2<i.从而（*）式显然成立，所以（土一y"）2<i.i-xyp12 .已知抛物线y2=2px（p>0）,求证：以过焦点的弦为直径的圆必与x=,相切.证明（如图）作AA'、BB'垂直于准线，取AB的中点M,作MM'垂直于准线.只需证|MM'|；佛B|.由抛物线的定义：|AA'|AF|,|BB'|BF|,所以|AB|=|AA'|BB'|.i因此只需证|MM'|AA,|BB'|）,根据梯形的中位线定理可知上式是成立的.p,所以以过焦点的弦为直径的圆必与x=相切.2、探究与拓展13 .已知a、b、c是不全相等的正数，且0<x<1.求证：lo