管理决策模型与方法层次分析法

1、.第四章第四章 层次分析法层次分析法 决策的研究中存在的两种倾向：决策的研究中存在的两种倾向： 一是过分地依赖数学模型，期望对复杂的问题进一是过分地依赖数学模型，期望对复杂的问题进行定量而精确的分析并追求大而复杂的数学模型，其行定量而精确的分析并追求大而复杂的数学模型，其结果是无法反映人们的经验因素，因而使相当多的数结果是无法反映人们的经验因素，因而使相当多的数学模型的最优解与现实中的最优相距甚远。学模型的最优解与现实中的最优相距甚远。 二是过多的偏重于行为、逻辑、推理方面的研究二是过多的偏重于行为、逻辑、推理方面的研究和分析，而忽视了把重要因素定量地反映到决策中来，和分析，而忽视了把重要因素

2、定量地反映到决策中来，以致于不能够定量描述因素之间的相关关系。以致于不能够定量描述因素之间的相关关系。 正是在这种背景下，产生了层次分析理论。正是在这种背景下，产生了层次分析理论。 . 层次分析法层次分析法(The Analytic Hierarchy Process(The Analytic Hierarchy Process，简称简称AHPAHP方法方法) )是美国运筹学家是美国运筹学家A.L.SaatyA.L.Saaty教授二十世纪教授二十世纪七十年代提出的，它是一种新的定性与定量分析相结七十年代提出的，它是一种新的定性与定量分析相结合的系统分析方法。合的系统分析方法。AHPAHP本质上

3、是一种决策思维方式，本质上是一种决策思维方式，人们往往把人们往往把AHPAHP看作一种最优化技术，归入多目标决策看作一种最优化技术，归入多目标决策的一个分支，的一个分支，但但AHPAHP改变了以往最优化技术只能处理定改变了以往最优化技术只能处理定量分析问题的传统观念，而率先进入了长期滞留在定量分析问题的传统观念，而率先进入了长期滞留在定性分析水平上的许多科学研究的领地。性分析水平上的许多科学研究的领地。AHPAHP最大的贡献最大的贡献在于提供了对非定量事件作定量分析的简便方法，而在于提供了对非定量事件作定量分析的简便方法，而导致这种贡献的最关键突破在于导致这种贡献的最关键突破在于对人的主观判断

4、做出对人的主观判断做出了客观的定量描述了客观的定量描述。.层次分析法的理论核心层次分析法的理论核心 AHPAHP法是综合定性与定量分析，使决策者法是综合定性与定量分析，使决策者对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化对复杂系统的决策思维过程模型化、数量化或规范化的一种方法或规范化的一种方法，其理论其理论核心核心是：很多是：很多复杂的系统可以简化为有序的递阶层次结构，复杂的系统可以简化为有序的递阶层次结构，决策问题通常表现为一组方案优先顺序的排决策问题通常表现为一组方案优先顺序的排列问题，而这种排序又可以通过简单的两两列问题，而这种排序又可以通过简单的两两比较形式导出。比较形式导出。.层次分析法的

5、特点层次分析法的特点 （1 1）思路）思路简单明瞭简单明瞭，它将决策者的思维过程，它将决策者的思维过程条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受；条理化、数量化，便于计算，容易被人们所接受； （2 2）所）所需要的定量数据较少需要的定量数据较少，但对问题的本，但对问题的本质，包含的因素及其内在关系分析得清楚；质，包含的因素及其内在关系分析得清楚； （3 3）可用于复杂的非结构化的问题可用于复杂的非结构化的问题，以及多，以及多目标、多准则、多时段等各种类型问题的决策分目标、多准则、多时段等各种类型问题的决策分析，具有较广泛的实用性。析，具有较广泛的实用性。 .第一节第一节 层次分析法的原理层次分

6、析法的原理 一、一、AHPAHP的基本思想的基本思想 层次分析法对复杂决策问题处理的层次分析法对复杂决策问题处理的基本思想基本思想是：是：在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，如措施层的联系，并把它划分为若干层次，如措施层( (或方或方案层案层) )、准则层（含子准则）、目标层等。、准则层（含子准则）、目标层等。措施层措施层指的是决策问题的可行方案，准则层是指评价方案指的是决策问题的可行方案，准则层是指评价方案优劣的准则，目标层指的是解决问题所追求的总目优劣的准则，目标层指的是解决问题所追求的总目标，把各层间要求的联系用直

7、线表示出来，所形成标，把各层间要求的联系用直线表示出来，所形成的层次结构如下图所示。的层次结构如下图所示。.目 标目标层准则层(含子准则层)方案层准则1方案1准则2准则m方案2方案n方案3图4-1 层次结构.AHPAHP的基本思想的基本思想( (另一种说法另一种说法) ) 以系统方法为指导，在对问题充分研究以系统方法为指导，在对问题充分研究后首先分析问题内在因素间的联系，并把它后首先分析问题内在因素间的联系，并把它划分为若干层次，然后通过两两比较确定同划分为若干层次，然后通过两两比较确定同一层次元素相对上一层次元素的数量关系，一层次元素相对上一层次元素的数量关系，最后进行简单的数学运算，从而实

8、现对方案最后进行简单的数学运算，从而实现对方案进行排序的一种简洁实用的决策方法。进行排序的一种简洁实用的决策方法。 .二、层次分析法的基本原理二、层次分析法的基本原理 复杂的决策问题往往涉及到许多因素，如社会、政复杂的决策问题往往涉及到许多因素，如社会、政治、经济、科技乃至自然环境等，因此要认识一个复杂治、经济、科技乃至自然环境等，因此要认识一个复杂系统就比较困难。层次分析法正是处理此类问题的有效系统就比较困难。层次分析法正是处理此类问题的有效方法。它首先提出了方法。它首先提出了递阶层次结构理论递阶层次结构理论，然后给这种递，然后给这种递阶层次结构进行定量描述，通过阶层次结构进行定量描述，通过

9、排序理论排序理论得出满足系统得出满足系统总目标要求的各个方案（或措施）的优先次序。因此，总目标要求的各个方案（或措施）的优先次序。因此，层次分析法的基本原理可归纳为层次分析法的基本原理可归纳为层次的数学原理层次的数学原理特征特征向量方法、向量方法、递阶层次结构原理、递阶层次结构原理、两两比较标度与判断原两两比较标度与判断原理、理、层次排序原理。层次排序原理。 .（一）（一）层次分析法的数学原理层次分析法的数学原理 特征向量方法特征向量方法 重量两两进行比较如下：重量两两进行比较如下：nnAAA,21nWWW,21个物体个物体重量分别记为重量分别记为。现将每个物体的。现将每个物体的假设有假设有，

10、它们的它们的单事例分析来说明。单事例分析来说明。层次分析法的基本原理可以用以下的简层次分析法的基本原理可以用以下的简.物体重量两两比较结果：物体重量两两比较结果： 1A1A2A2AnAnA11/WW21/WWnWW /112/WW22/WWnWW /21/WWn2/WWnnnWW /. 若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关若以矩阵来表示各物体的这种相互重量关系，即系，即 nnijnnnnnnaWWWWWWWWWWWWWWWWWWA)(/212221212111显然jiijaa/1 1 iia), 2 , 1,(nkjiaaaikjkij ； .上式中，上式中，A称为判断矩阵。称为判断矩阵。Wn

11、AW则有：则有：所对应的特征向量。所对应的特征向量。WAnAnAW这就是说这就是说, ,是判断矩阵是判断矩阵的特征向量的特征向量,是是的一个特征值。事实上，根据线性代数知识的一个特征值。事实上，根据线性代数知识( (根据矩阵理论根据矩阵理论) )，我们不难证明，我们不难证明，是矩阵是矩阵的唯一非零的，也是最大的特征值，而的唯一非零的，也是最大的特征值，而为其为其 TnWWWW,21 若取重量向量若取重量向量. 上述事实提示我们，如果有一组物体上述事实提示我们，如果有一组物体( (假假设其设其重量总和为重量总和为1 1) )，需要知道它们的重量，需要知道它们的重量，而又没有衡器，那么我们就可以通

12、过两两比而又没有衡器，那么我们就可以通过两两比较它们的相互重量，得出每对物体重量比的较它们的相互重量，得出每对物体重量比的判断，从而构成判断矩阵判断，从而构成判断矩阵; ;然后通过求解判然后通过求解判断断矩阵的最大特征值矩阵的最大特征值max向量，就可以得出这一组物体的相对重量。向量，就可以得出这一组物体的相对重量。 和它所对应的特征和它所对应的特征. 根据这一思路，对于复杂管理决策问题，根据这一思路，对于复杂管理决策问题，通过建立层次分析模型通过建立层次分析模型, , 对于一些无法测量对于一些无法测量的因素，只要引入合理的标度，构造出判断的因素，只要引入合理的标度，构造出判断矩阵，就可以应用

13、这种求解判断矩阵的最大矩阵，就可以应用这种求解判断矩阵的最大特征根及其特性向量的方法特征根及其特性向量的方法, ,来确定出相应各来确定出相应各种方案、措施、政策等相对于总目标的重要种方案、措施、政策等相对于总目标的重要性权值性权值( (因素之间的相对重要性因素之间的相对重要性) )，从而为有，从而为有关决策提供依据。关决策提供依据。 . 一个复杂的无结构问题可分解为它的若一个复杂的无结构问题可分解为它的若干组成部分或因素。例如，目标、约束、准干组成部分或因素。例如，目标、约束、准则、子准则、方案等则、子准则、方案等, ,按照属性的不同把这些按照属性的不同把这些因素分组形成互不相交的层次，上一层

14、次的因素分组形成互不相交的层次，上一层次的因素对相邻的下一层次的全部或某些因素起因素对相邻的下一层次的全部或某些因素起着支配作用，形成按层次自上而下的逐层支着支配作用，形成按层次自上而下的逐层支配关系配关系, ,具有这种性质的层次称为递阶层次。具有这种性质的层次称为递阶层次。分析建立一个有效的合理的递阶层次结构对分析建立一个有效的合理的递阶层次结构对于能否解决问题具有决定性意义。于能否解决问题具有决定性意义。（二）（二）递阶层次结构原理递阶层次结构原理. 例例: : 某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑某人拟从相同配置的金长城电脑、联想电脑和托普电脑中购买一台，其决策的层次结构模型如下和托普

15、电脑中购买一台，其决策的层次结构模型如下图所示。图所示。A购买一台满意的电脑购买一台满意的电脑目标层目标层准则层准则层(含子准则层含子准则层)方案层方案层C1功能强功能强C2价格低价格低C3易维护易维护P1金长城金长城P3托普托普P2联想联想图4-2.（三）两两比较的标度与判断原理（三）两两比较的标度与判断原理(断矩阵。断矩阵。某一层因素，比如第某一层因素，比如第i1 ikA层，以及相邻上一层层，以及相邻上一层) )层次中的一个因素层次中的一个因素, ,两两比较第两两比较第i层的所有因素对层的所有因素对kA因素的影响程度，将比较的因素的影响程度，将比较的结果以数字的形式写入一个矩阵表，即构成判

16、结果以数字的形式写入一个矩阵表，即构成判判断矩阵的构成是，先给出递阶层次中的判断矩阵的构成是，先给出递阶层次中的而言，而言，nBBB,21ijbiBjB为为i层的因素，层的因素，则有判断矩阵如表则有判断矩阵如表4-14-1所示。其中所示。其中表示对表示对kA相对重要性的数值表现形式。相对重要性的数值表现形式。对对如，设如，设.表表41 判断矩阵判断矩阵 AkB1B2 BnB1b11b12b1nB2b21b22b2nBnbn1bn2bnn. 任何一个递阶层次结构，均可以建立若任何一个递阶层次结构，均可以建立若干个判断矩阵，干个判断矩阵，判断矩阵数目是该递阶层次判断矩阵数目是该递阶层次结构图中，除

17、最低一层以外的所有各层次的结构图中，除最低一层以外的所有各层次的因素之和。因素之和。 对于两两比较的比率采用什么标度，也对于两两比较的比率采用什么标度，也即判断比率问题。层次分析法采用的标度是即判断比率问题。层次分析法采用的标度是1-91-9标度法，如表标度法，如表4-2 4-2 所示。所示。 .表表42 标度方法标度方法 标度标度 含含 义义1表示两个因素相比表示两个因素相比, ,具有同样重要性。具有同样重要性。 3表示两个因素相比表示两个因素相比, ,一个因素比另一个因素稍微重要。一个因素比另一个因素稍微重要。 5表示两个因素相比表示两个因素相比, ,一个因素比另一个因素明显重要。一个因素

18、比另一个因素明显重要。 7表示两个因素相比表示两个因素相比, ,一个因素比另一个因素显得很重要。一个因素比另一个因素显得很重要。 9表示两个因素相比表示两个因素相比, ,一个因素比另一个因素显得极其重要。一个因素比另一个因素显得极其重要。 2,4,6,8上述两相邻判断的中值。上述两相邻判断的中值。 倒数倒数 因素因素i i与与j j比较得判断比较得判断bij , ,则因素则因素j j与与i i比较的判断比较的判断bji =1/ =1/ bij 。. AHPAHP从决策角度提出社会经济因素的测从决策角度提出社会经济因素的测度方式。在其测度过程中存在度方式。在其测度过程中存在两种标度：两种标度：

19、一种是一种是规定性标度规定性标度，它用于在某一准则，它用于在某一准则下两个元素相对重要性或优劣的测度，属于下两个元素相对重要性或优劣的测度，属于比例标度，标度值为比例标度，标度值为1 19 9之间的整数及其倒之间的整数及其倒数，测量方法是两两比较判断并赋值，其结数，测量方法是两两比较判断并赋值，其结果表现为正的互反矩阵。果表现为正的互反矩阵。 另一种标度是另一种标度是导出标度导出标度，用于被比较元，用于被比较元素相对重要性程度的测量，标度值为素相对重要性程度的测量，标度值为00，11区间的实数，通过计算判断矩阵的特征向量区间的实数，通过计算判断矩阵的特征向量导出测度结果，它涉及导出测度结果，它

20、涉及AHPAHP的排序理论的排序理论( (后面后面的内容将详细叙述的内容将详细叙述) )。 . (1)AHP (1)AHP测度是通过两两比较判断给出的，在进测度是通过两两比较判断给出的，在进行这种判断的时候，被比较的对象在它们所具有的行这种判断的时候，被比较的对象在它们所具有的某种属性特征上应该是比较接近的，否则定性分析某种属性特征上应该是比较接近的，否则定性分析将没有什么意义，而且测量也缺乏必要的精度。在将没有什么意义，而且测量也缺乏必要的精度。在估计事物的区别时，可以用五种判断很好表示其特估计事物的区别时，可以用五种判断很好表示其特征的重要程度征的重要程度( (或强弱程度或强弱程度) )，

21、即，即同等重要、较重要、同等重要、较重要、重要、很重要、极其重要重要、很重要、极其重要( (或相等、较强、强、很或相等、较强、强、很强、绝对强强、绝对强) )。当需要更高精度时，还可以在相邻。当需要更高精度时，还可以在相邻判断之间做出比较，这样就有九个数值，它们有连判断之间做出比较，这样就有九个数值，它们有连贯性，因此在实践中可以应用。同时，当一个客体贯性，因此在实践中可以应用。同时，当一个客体比另一客体的强弱判断用比另一客体的强弱判断用1 19 9中的某个整数表达时，中的某个整数表达时，后者与前者相比，其判断当然可以用这些整数的倒后者与前者相比，其判断当然可以用这些整数的倒数来表达，这是数来

22、表达，这是比例标度用比例标度用1 19 9的整数及其倒数的的整数及其倒数的理由之一理由之一。 采用采用1 19 9比例标度方法的依据比例标度方法的依据. (2)(2)人们对事物某种属性同时做出判断比人们对事物某种属性同时做出判断比较，并且使判断基本保持一致性时，所能感知较，并且使判断基本保持一致性时，所能感知的最小差异是多少？这个问题属于心里学范畴。的最小差异是多少？这个问题属于心里学范畴。显然，这个最小差异与被比较事物所涉及的属显然，这个最小差异与被比较事物所涉及的属性有关。很多心里学家在此方面做过实验。心性有关。很多心里学家在此方面做过实验。心里学家里学家G.A.MillerG.A.Mil

23、ler的实验表明在某种属性上对的实验表明在某种属性上对若干个不同物体进行辨别时，普通人能正确辨若干个不同物体进行辨别时，普通人能正确辨别的物体数目在别的物体数目在5 59 9个之间。个之间。MillerMiller认为，认为， 9 9个项目为心理学上的测量极限个项目为心理学上的测量极限。这表明用。这表明用1 19 9足以表述人在同时比较某种属性差异的档次判足以表述人在同时比较某种属性差异的档次判断，这是断，这是比例标度采取比例标度采取1 19 9标度的第二个理由标度的第二个理由。 . (3)1(3)19 9标度是一种比例标度，以此为元素组标度是一种比例标度，以此为元素组成的判断矩阵，一般不具有

24、一致性。这里的一致成的判断矩阵，一般不具有一致性。这里的一致性包括性包括基本一致性基本一致性与与次序一致性次序一致性。 基本一致性基本一致性是指：如果要素甲比要素乙重要两是指：如果要素甲比要素乙重要两倍，要素乙比要素丙重要四倍，则要素甲比要素倍，要素乙比要素丙重要四倍，则要素甲比要素丙重要八倍。在介绍判断矩阵时所给公式丙重要八倍。在介绍判断矩阵时所给公式 bij bjk = = bik就是基本一致性的数学表达式；就是基本一致性的数学表达式； 所谓所谓次序一致性次序一致性是说：如果要素甲比要素乙是说：如果要素甲比要素乙重要，乙又比丙重要，则要素甲比要素丙重要。重要，乙又比丙重要，则要素甲比要素丙

25、重要。 . 利用利用AHPAHP的比例标度进行判断赋值，的比例标度进行判断赋值，允允许违反上述两类一致性许违反上述两类一致性。即便是在判断不一。即便是在判断不一致甚至相互矛盾的情况下对被比较要素进行致甚至相互矛盾的情况下对被比较要素进行标度，所求得的标度，所求得的导出标度仍然趋近于实际情导出标度仍然趋近于实际情况况。况且这种标度方法不要求对被比较的事。况且这种标度方法不要求对被比较的事物有专门的知识，普通非专业人员也可使用。物有专门的知识，普通非专业人员也可使用。因此因此1 19 9标度在众多可采用的标度中，堪称标度在众多可采用的标度中，堪称一种最佳标度，这是一种最佳标度，这是选择选择1 19

26、 9标度的第三个标度的第三个理由理由。 . (4) (4)如果需要用比标度如果需要用比标度1 19 9更大的数，更大的数，可用聚类分析方法将因素进一步分解聚可用聚类分析方法将因素进一步分解聚类，在比较这些因素之前，先比较这些类，在比较这些因素之前，先比较这些类，这样就可使所比较的因素间的差别类，这样就可使所比较的因素间的差别落在落在1 19 9标度范围内。标度范围内。 .（四）层次排序原理（四）层次排序原理 层次排序原理包括：层次单排序、层次总层次排序原理包括：层次单排序、层次总排序和一致性检验理论。排序和一致性检验理论。 1 1、层次单排序原理：确定各层次中因素、层次单排序原理：确定各层次中

27、因素对相邻上一层次的各因素的优先次序称为层对相邻上一层次的各因素的优先次序称为层次单排序。次单排序。为为B的分量的分量, ,即为相即为相WBWmax maxBW，计算满足，计算满足的特征根与特征向的特征根与特征向量，式中量，式中的最大特征根的最大特征根, ,为对为对应于应于B B的正规化特征向量的正规化特征向量, ,W 层次单排序可归结为计算判断矩层次单排序可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵阵的特征根和特征向量问题，即对判断矩阵. 应因素单排序的权值。最常见的求特征向量应因素单排序的权值。最常见的求特征向量的计算方法有的计算方法有和积法和积法( (求和法求和法) )、方根

28、法方根法、正正规化求和法规化求和法及及特征向量法特征向量法。 前三种方法是近似方法，使得人们可以前三种方法是近似方法，使得人们可以在使用小型计算器并保证足够精确度的条件在使用小型计算器并保证足够精确度的条件下应用层次分析法；而最后一种方法则是严下应用层次分析法；而最后一种方法则是严格计算特征向量的方法。格计算特征向量的方法。 .（1 1）求和法）求和法)n ,i (Vbinjij211 计算步骤是：计算步骤是： 把判断矩阵的元素依行相加，即把判断矩阵的元素依行相加，即niV这样得到这样得到个值已经表示出该层要素的优劣值已经表示出该层要素的优劣程度了，但为了便于比较起见，我们在进行第程度了，但为

29、了便于比较起见，我们在进行第二步；二步；值加起来后去除值加起来后去除iV得得iV进行正规化进行正规化( (或向量归一化或向量归一化) )，即把各，即把各.), 2 , 1(1niVVWnjjiiW于是得到向量于是得到向量。11niiW，这符合，这符合显然显然层次单排序原理。层次单排序原理。.（2 2）正规化求和法）正规化求和法 具体步骤如下：具体步骤如下： 将判断矩阵每一列进行正规化将判断矩阵每一列进行正规化正规化后，每列各元素之和为正规化后，每列各元素之和为1 1；), 2 , 1,(1njibbbnkkjijij), 2 , 1(1nibWnjiji每一列经过正规化后的判断矩阵按行相加每一

30、列经过正规化后的判断矩阵按行相加.), 2 , 1(1niWWWnjjiiWiW这样得出的向量这样得出的向量中各分量中各分量就是各要素优就是各要素优先次序的系数，即层次单排序权重。先次序的系数，即层次单排序权重。TnWWWW,21进行正规化进行正规化再对向量再对向量.（3 3） 方根法方根法 计算步骤如下：计算步骤如下：), 2 , 1(1nibMnjiji次方根次方根niW计算计算iM的的niMWnii, 2 , 1iM计算判断矩阵每一行元素的乘积计算判断矩阵每一行元素的乘积.), 2 , 1(1niWWWnjjiiWiW这样得出的向量这样得出的向量中各分量中各分量就是各要素优就是各要素优先

31、次序的系数，即层次单排序权重。先次序的系数，即层次单排序权重。TnWWWW,21进行正规化进行正规化对向量对向量TnWWWW,21即为所求的特征向量。即为所求的特征向量。或或.（4 4）特征向量法）特征向量法 WWBWmax Bmax严格的计算特征向量严格的计算特征向量的方法是计算判断的方法是计算判断矩阵的最大特征根矩阵的最大特征根以及它所对应的特征以及它所对应的特征向向量量W，它们满足，它们满足， 是判断矩阵是判断矩阵, ,这个特征向量正是待求的系数向量。这个特征向量正是待求的系数向量。的计算步骤如下：的计算步骤如下：W与max., 2 , 1 , 0111kWWkk ；, 2 , 1 ,

32、0 1kBWWkk计算计算nikiW11令令，计算，计算 ；0W取一个与判断矩阵同阶的初值向量取一个与判断矩阵同阶的初值向量.niiinWBW1maxmax还需还需说明的是计算最大特征值说明的是计算最大特征值的简单近似法为的简单近似法为kikiWW1nii, 2 , 11kWW，当对所有所有都成立时，则都成立时，则为所为所求特征向量，可转入求特征向量，可转入，否则返回，否则返回；给定一个精度给定一个精度nikikinWW11max计算最大特征值计算最大特征值；. 以上计算可以在计算机上很容易地完成。以上计算可以在计算机上很容易地完成。但由于这种计算并不要求太高的精确度，判断但由于这种计算并不要

33、求太高的精确度，判断矩阵元素的给出也不是太精确，因此用前述的矩阵元素的给出也不是太精确，因此用前述的第二、三种方法已经足够了。第二、三种方法已经足够了。 BiWiBWBWi是判断矩阵，是判断矩阵，个分量，个分量，为求得的特征向量的为求得的特征向量的的第的第第第是向量是向量i个分量。分量。式中式中.（四）层次排序原理（四）层次排序原理( (续续) ) 2 2、一致性检验原理：在计算出层次单排、一致性检验原理：在计算出层次单排序结果之后，对于计算所依据的判断矩阵还序结果之后，对于计算所依据的判断矩阵还要进行一致性检验。按照各因素重要程度、要进行一致性检验。按照各因素重要程度、优先次序对比的内在规律

34、，判断矩阵应该满优先次序对比的内在规律，判断矩阵应该满足以下三个条件（称为足以下三个条件（称为“完全一致性条完全一致性条件件”）。）。 (1) (1) 对角线元素为对角线元素为1 1 njibij, 2 , 11. (2) (2) 右上三角和左下三角对应元素互为倒右上三角和左下三角对应元素互为倒数数njijibbjiij, 2 , 1,1nkjibbbjkikij, 2 , 1,(3) (3) 因素优先次序的传递关系因素优先次序的传递关系. 如果给出的判断矩阵完全满足这三个条件，如果给出的判断矩阵完全满足这三个条件，说明评分与决策准则没有矛盾。但由于客观事说明评分与决策准则没有矛盾。但由于客观

35、事物的复杂性，人们在分析问题时，认识具有片物的复杂性，人们在分析问题时，认识具有片面性，要达到完全一致性是非常困难的。例如面性，要达到完全一致性是非常困难的。例如甲、乙两个因素相比较，当问甲比乙的重要等甲、乙两个因素相比较，当问甲比乙的重要等级时，回答是较重要，甲得级时，回答是较重要，甲得5 5分，而问乙比甲的分，而问乙比甲的重要等级时重要等级时, ,可能回答是乙比甲稍次要，乙得可能回答是乙比甲稍次要，乙得0.250.25分，这里分，这里51/0.2551/0.25分分, ,破坏了一致性条件，破坏了一致性条件，判断出现矛盾判断出现矛盾, ,正确的应是乙得正确的应是乙得1/51/5分。分。. 而

36、一致性检验是根据矩阵理论来进行的，而一致性检验是根据矩阵理论来进行的，根据矩阵理论有公式根据矩阵理论有公式WBWmax ，当判断，当判断nmax矩阵具有完全一致性时，矩阵具有完全一致性时， n n为判断为判断max矩阵阶数。当判断矩阵具有满意一致性时，矩阵阶数。当判断矩阵具有满意一致性时，稍大于稍大于n n。 为了检验判断矩阵一致性，需要计算其为了检验判断矩阵一致性，需要计算其CI一致性指标一致性指标。 1max nnCI. 可以看出可以看出CI为零，具有完全一致性，为零，具有完全一致性，CI越大，一致性越差。对复杂问题进行判断时，越大，一致性越差。对复杂问题进行判断时，做到完全一致性比较困难

37、，但是必须要有满做到完全一致性比较困难，但是必须要有满意一致性。何为满意一致性呢？为此，将意一致性。何为满意一致性呢？为此，将CI与平均随机一致性指标与平均随机一致性指标RI进行比较进行比较( (RI是通是通过多次随机试验，通过改变判断矩阵的数值过多次随机试验，通过改变判断矩阵的数值引起引起CI的变化，再将不同的的变化，再将不同的CI平均起来而求平均起来而求得的。得的。) )，各阶，各阶RI值如表值如表4-3所示。所示。.表表4-3 4-3 各阶各阶RI的值的值 阶数 1234567891011RI0.00 0.00 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45 1.4

38、9 1.52 在这里，对于在这里，对于1，2阶判断矩阵，阶判断矩阵，RI只是形式只是形式上的，因为上的，因为1，2阶判断矩阵总具有完全一致性，阶判断矩阵总具有完全一致性，当阶数大于当阶数大于2时，判断矩阵的一致性指标时，判断矩阵的一致性指标CI与同与同阶平均随机一致性指标阶平均随机一致性指标RI之比称为随机一致性比之比称为随机一致性比率，记为率，记为CR。当。当CR0.10时，判断矩阵具有满时，判断矩阵具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。.（四）层次排序原理（四）层次排序原理( (续续) ) 3 3、层次总排序及其一致性检验：计算同、层次总

39、排序及其一致性检验：计算同一层次上不同因素对总目标的优先次序称为层一层次上不同因素对总目标的优先次序称为层次总排序。这一过程是由最高层次到最底层次次总排序。这一过程是由最高层次到最底层次逐层进行的。逐层进行的。此时此时B层次总排序权值由表层次总排序权值由表4-44-4给出。给出。 mAAA,21maaa,21nBBB,21jAnjjjbbb,21jA0 kjb, , 其 层 次 总 排 序 权 值 分 别 为其 层 次 总 排 序 权 值 分 别 为, ,下一层次下一层次B包含包含n n个因素个因素,它们对于因素它们对于因素的层次单排序权值分别为的层次单排序权值分别为( (当当B Bk k与无

40、联系时，无联系时，),若 上 层 次若 上 层 次 A , , 包 括包 括 m 个 因 素个 因 素. 层次层次B层次层次 AB层次总层次总排序权值排序权值A1a1A2a2 AmamB1b11b12b1mB2b21b22b2mBnbn1bn2bnmjmjjba11 jmjjba21 njmjjba 1. 为了评价层次总排序的一致性，需要进行为了评价层次总排序的一致性，需要进行与单排序类似的检验，称为层次总排序的一与单排序类似的检验，称为层次总排序的一致性检验。这一步骤也是从高到低逐层进行致性检验。这一步骤也是从高到低逐层进行的。的。如果如果B层次某些因素对于层次某些因素对于则层次总排序随机一

41、致性比率为则层次总排序随机一致性比率为 jAjRIjCI单排序的一致性指单排序的一致性指标为标为，相应的平均随机一致性指标为，相应的平均随机一致性指标为， mjjjmjjjRIaCIaCR11 类 似 地 ， 当类 似 地 ， 当 C R 0.10时，认为层次总排序时，认为层次总排序结果具有满意的一致性，结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。阵的元素取值。.第二节第二节 层次分析法的基本步骤和分析计算过程层次分析法的基本步骤和分析计算过程 一、一、AHPAHP的基本步骤的基本步骤 层次分析方法通常用于解决一组方案或客体层次分析方法通常用于解决一组方案或

42、客体的优先排序问题。其基本过程，大体可以分为的优先排序问题。其基本过程，大体可以分为如下五个基本步骤：如下五个基本步骤：.（一）明确问题，建立层次结构（一）明确问题，建立层次结构 AHP AHP在用于决策分析时，首选要弄清决策问题的在用于决策分析时，首选要弄清决策问题的范围及要求，所包含的有关因素，各因素之间的关系范围及要求，所包含的有关因素，各因素之间的关系等，以便尽量掌握充分的信息。在充分定性分析的基等，以便尽量掌握充分的信息。在充分定性分析的基础上建立递阶层次结构，形成一个多层次的塔式结构。础上建立递阶层次结构，形成一个多层次的塔式结构。 这种层次结构常用结构图来表示这种层次结构常用结构

43、图来表示( (见图见图4-1)4-1)，图，图中要标明上下层元素之间的关系。中要标明上下层元素之间的关系。如果某一个元素与如果某一个元素与下一层的所有元素均有联系，则称这个元素与下一层下一层的所有元素均有联系，则称这个元素与下一层次存在有完全层次关系；如果某一个元素只与下一层次存在有完全层次关系；如果某一个元素只与下一层的部分元素有联系，则称这个元素与下一层次存在有的部分元素有联系，则称这个元素与下一层次存在有不完全层次关系。不完全层次关系。层次之间可以建立子层次，子层次层次之间可以建立子层次，子层次从属于主层次中的某一个元素，它的元素与下一层的从属于主层次中的某一个元素，它的元素与下一层的元

44、素有联系，但不形成独立层次。元素有联系，但不形成独立层次。 .目 标目标层准则层(含子准则层)方案层准则1方案1准则2准则m方案2方案n方案3图4-1 层次结构.1 1、建立层次结构模型应遵循的要领、建立层次结构模型应遵循的要领 (1) (1)模型应形成目标层、若干中间层和底层模型应形成目标层、若干中间层和底层的自上而下的塔式结构（完全层次联系与不完的自上而下的塔式结构（完全层次联系与不完全层次联系）。全层次联系）。 目标层表示解决问题的目的，即目标层表示解决问题的目的，即AHPAHP欲达到欲达到的总目标。的总目标。 在前述在前述例例中总目标是从候选的电脑中排出综合性能的优劣顺序，从而选出中总

45、目标是从候选的电脑中排出综合性能的优劣顺序，从而选出性能最优的微机。又如在图性能最优的微机。又如在图所示的层次结构模型中，总目标是从诸候选人中排出所示的层次结构模型中，总目标是从诸候选人中排出各人综合素质的优劣顺序，继而选出综合素质最高者担任厂长。各人综合素质的优劣顺序，继而选出综合素质最高者担任厂长。 总之总之 目标层无异于评价候选方案或对象的目标层无异于评价候选方案或对象的综合指标，因此，作为目标层的要素只能有一综合指标，因此，作为目标层的要素只能有一个。个。.A购买一台满意的电脑购买一台满意的电脑目标层目标层准则层准则层(含子准则层含子准则层)方案层方案层C1功能强功能强C2价格低价格低

46、C3易维护易维护P1金长城金长城P3托普托普P2联想联想图4-2. 选或聘厂长 政治思想知识与专业水平年轻化 政治表现 图43工作能力 资 历 事魄 业心力 关心群众 使用干部 学 历 业务能力 年 龄 健康状况 候选人 甲 乙 丙 . 中间层：表示采取某种措施、政策、方案中间层：表示采取某种措施、政策、方案等来实现总目标所涉及的中间环节，一般可分等来实现总目标所涉及的中间环节，一般可分为策略层、约束层、准则层等。中间各层要素为策略层、约束层、准则层等。中间各层要素已经是其下一层要素的聚集组合，因此各层要已经是其下一层要素的聚集组合，因此各层要素的基本单位是逐层减小的。为了素的基本单位是逐层减

47、小的。为了AHPAHP法其它法其它程序的顺利进行，中间各层的受到上层要素支程序的顺利进行，中间各层的受到上层要素支配的要素不得超过九个。配的要素不得超过九个。 最底层：表示要选用的解决问题的各种措最底层：表示要选用的解决问题的各种措施、政策、方案、人等。这一层的受上层支配施、政策、方案、人等。这一层的受上层支配的要素一般也不得超过九个。的要素一般也不得超过九个。. (2) (2) 在层次模型中，采用作用线标明相邻两层在层次模型中，采用作用线标明相邻两层次要素之间的联系（主层次与子层次）。次要素之间的联系（主层次与子层次）。 如果某个要素与下一层次中所有要素皆有联系，则如果某个要素与下一层次中所

48、有要素皆有联系，则称这个要素与下一层次存在着完全层次联系。如在称这个要素与下一层次存在着完全层次联系。如在( (图图4-2所示模型所示模型) )中准则层中各要素都与方案层具有完中准则层中各要素都与方案层具有完全层次联系；而经常可见的是不完全的层次关系，即某全层次联系；而经常可见的是不完全的层次关系，即某个要素仅与下一层次的部分要素有联系。如在上述个要素仅与下一层次的部分要素有联系。如在上述所示的层次结构模型、下述所示的层次结构模型、下述所示的层次结构模型所示的层次结构模型中准则层各要素与指标层之间就是不完全的层次关系。中准则层各要素与指标层之间就是不完全的层次关系。.选择合适的科研课题人才培养

49、课题可行性科学意义 图44成果贡献实用价值优势发挥难易程度研究周期财政支持课题S1S2Sn经济价值社会价值. 层次之间可以建立子层次，子层次从属于层次之间可以建立子层次，子层次从属于主层次中某个要素，它的要素与下一层次的要主层次中某个要素，它的要素与下一层次的要素有联系，但不形成独立层次。如在素有联系，但不形成独立层次。如在中经中经济价值与社会价值两要素便形成了从属于济价值与社会价值两要素便形成了从属于“实实用价值用价值”的子层次。对于完全与不完全层次关的子层次。对于完全与不完全层次关系以及子层次三种概念的释义很有必要，因为系以及子层次三种概念的释义很有必要，因为它牵扯到以下程序中各层排序权值

50、的计算方法它牵扯到以下程序中各层排序权值的计算方法问题。问题。 . 将将AHPAHP用于决策分析的层次结构模型与用于决策分析的层次结构模型与通常的决策分析方法对比，我们不难发现层通常的决策分析方法对比，我们不难发现层次结构得以建立的思维过程。其中的次结构得以建立的思维过程。其中的目标层目标层相当于一般决策的综合指标相当于一般决策的综合指标，底层是需要抉底层是需要抉择评选的方案择评选的方案，次底层是影响各方案综合指次底层是影响各方案综合指标值的最基本的要素标值的最基本的要素，或者说是与综合指标，或者说是与综合指标有关的要素指标，再往上的各层是对其下层有关的要素指标，再往上的各层是对其下层要素的归

51、并、聚集，照此向上直至归并为一要素的归并、聚集，照此向上直至归并为一个总目标。这种层次上的各要素类似于分类个总目标。这种层次上的各要素类似于分类指标、结构因子的意义。指标、结构因子的意义。 2 2、建立层次结构的方法、建立层次结构的方法. 在建立了递阶层次结构模型后，就可以在建立了递阶层次结构模型后，就可以依依据两两比较的标度与判断原理据两两比较的标度与判断原理逐层逐次对各层逐层逐次对各层要素进行两两对比，利用评分法将比较判断的要素进行两两对比，利用评分法将比较判断的结果定量化。判断矩阵表示了针对上一层次中结果定量化。判断矩阵表示了针对上一层次中的某元素而言，评定该层次中各有关元素相对的某元素

52、而言，评定该层次中各有关元素相对重要性的状况。参照图重要性的状况。参照图4-24-2所示模型，所示模型，（二）构造判断矩阵（二）构造判断矩阵首先从第二层首先从第二层 准则层准则层mkAk, 2 , 1 要素的二元对比开始，一共需要进行要素的二元对比开始，一共需要进行各各2m对比，我们要反复回答准则对比，我们要反复回答准则 i与准则与准则 j 孰劣的孰劣的问题，并且把这种优劣判断赋以相应的数值，问题，并且把这种优劣判断赋以相应的数值，次的次的.A购买一台满意的电脑购买一台满意的电脑目标层目标层准则层准则层(含子准则层含子准则层)方案层方案层C1功能强功能强C2价格低价格低C3易维护易维护P1金长

53、城金长城P3托普托普P2联想联想图4-2. 最终形成一个最终形成一个m阶判断矩阵；接下来对方案层建立阶判断矩阵；接下来对方案层建立二元对比判断矩阵时，则应相对于准则层的每一个二元对比判断矩阵时，则应相对于准则层的每一个准则分别建立方案之间的二元比较判断矩阵，即反准则分别建立方案之间的二元比较判断矩阵，即反复回答相对于准则层复回答相对于准则层Ak来说方案来说方案i与方案与方案j孰优孰劣孰优孰劣的问题，这里有的问题，这里有n个方案，故需进行个方案，故需进行n2次的对比后次的对比后最终形成一个最终形成一个n阶判断矩阵，但这样的判断矩阵总阶判断矩阵，但这样的判断矩阵总共有共有m个。一般地说，假定模型有

54、个。一般地说，假定模型有K层层( (顶层称第一顶层称第一层，底层为第层，底层为第K层层) )，每层有，每层有mL(L=1,2,k)个要素，个要素，则从第二层起，第则从第二层起，第L层要素二元对比建立的判断矩层要素二元对比建立的判断矩阵应该有阵应该有mL-1(L=1,2,k)个，矩阵的阶为个，矩阵的阶为mL 。还应。还应该注意到，第二至第该注意到，第二至第K-1层与第层与第K层的要素进行层的要素进行. 二元对比时提法不同。严格地讲，前者要回二元对比时提法不同。严格地讲，前者要回答的是要素答的是要素i与要素与要素j对于某些要素来说谁重要对于某些要素来说谁重要谁不重要的问题，而后者则要回答的是相对谁

55、不重要的问题，而后者则要回答的是相对于第于第K-1层的某一要素，方案层的某一要素，方案i与方案与方案j孰优孰孰优孰劣的问题。在一个完整的层次结构模型中，劣的问题。在一个完整的层次结构模型中，前前K-1层与第层与第K层要素间有各自独立的意义。层要素间有各自独立的意义。前前K-1层（从第二层起）要素是对总目标的不层（从第二层起）要素是对总目标的不同分解形式，要素单位在逐层缩小，我们欲同分解形式，要素单位在逐层缩小，我们欲求解的各层要素的权系数实际上反映了各要求解的各层要素的权系数实际上反映了各要素对总目标的影响程度或重要程度，素对总目标的影响程度或重要程度， 因此在因此在. 中间层的二元对比时宜用

56、要素谁轻谁重的提中间层的二元对比时宜用要素谁轻谁重的提法。而层次模型的第法。而层次模型的第K层要素通常表现为一个层要素通常表现为一个方案集，由于在方案集，由于在AHP中难以通过绝对标度测中难以通过绝对标度测量方案的优劣，故只能采取量方案的优劣，故只能采取AHP提供的相对提供的相对标度的测量技术，最终求出各方案的相对优标度的测量技术，最终求出各方案的相对优劣排序，因此在进行第劣排序，因此在进行第K层二元相对比较时宜层二元相对比较时宜使用方案间谁优谁劣的提法。使用方案间谁优谁劣的提法。Bjiijiibbb1, 1), 2 , 1,(nji21nn设判断矩阵为设判断矩阵为, ,则根据判断矩阵的构成知

57、则根据判断矩阵的构成知，因此对，因此对n阶判阶判断矩阵断矩阵B中的中的n2个元素，只需要知道个元素，只需要知道. 衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断衡量判断矩阵质量的标准是矩阵中的判断结果是否具有一致性。如果判断矩阵中的数据结果是否具有一致性。如果判断矩阵中的数据存在关系存在关系), 2 , 1,(nkjibbbikjkij 则称判断矩阵具有完全一致性。但是，因客观则称判断矩阵具有完全一致性。但是，因客观事物的复杂性和人们认识上的多样性，可能会事物的复杂性和人们认识上的多样性，可能会ijb是根据资料数据、专家意是根据资料数据、专家意见和分析人员的认识见和分析人员的认识, ,经过反复研究后确定

58、的。经过反复研究后确定的。由于是对单一准则的两两比较，所以一般并不由于是对单一准则的两两比较，所以一般并不难做出判断而给出相应的赋值。难做出判断而给出相应的赋值。个就行了。这些个就行了。这些.产生片面性，加之我们对判断结果只能标以产生片面性，加之我们对判断结果只能标以19以及以及1/9，1/7，1/5，1/3等这样一些数值，等这样一些数值，这本身就是对实际目标值的极粗略的测度，因这本身就是对实际目标值的极粗略的测度，因此在确定时要求每一个判断矩阵都有完全的一此在确定时要求每一个判断矩阵都有完全的一致性显然是不可能的，特别是因素多、规模大致性显然是不可能的，特别是因素多、规模大的问题更是如此，只

59、要注意没有太大的矛盾就的问题更是如此，只要注意没有太大的矛盾就行了。因为为了考察层次分析法得到的结果是行了。因为为了考察层次分析法得到的结果是否基本合理，我们最后还要进行一致性检验。否基本合理，我们最后还要进行一致性检验。 .（三）层次单排序（三）层次单排序 上一步定义的判断矩阵，只是针对上一上一步定义的判断矩阵，只是针对上一层要素而言两两相比的评分数值矩阵，现在层要素而言两两相比的评分数值矩阵，现在要把第二层起各层要素相对于其上一层的某要把第二层起各层要素相对于其上一层的某个要素排出优劣顺序来。因此，层次单排序个要素排出优劣顺序来。因此，层次单排序的目的就是根据层次单排序原理，对于上层的目的

60、就是根据层次单排序原理，对于上层次中的某元素而言，确定本层次与之有联系次中的某元素而言，确定本层次与之有联系的元素重要性次序的权重值。它是本层次所的元素重要性次序的权重值。它是本层次所有元素对上一层次而言的重要性排序的基础。有元素对上一层次而言的重要性排序的基础。 . 如前所述，层次单排序的任务可以归结如前所述，层次单排序的任务可以归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题，的分量的分量, ,即相应因素单排序的权值。即相应因素单排序的权值。 BWBWmax maxW即对于判断矩阵即对于判断矩阵，计算满足，计算满足的特征根与特征向量，式中的特征根与特征向量，式