数学分析13-2

1、第十二章第十二章 数项级数数项级数1 级数的收敛性级数的收敛性一一 问题的提出问题的提出 有限个实数相加是实数，无限个实数相加会有限个实数相加是实数，无限个实数相加会是什么结果？是什么结果？一尺之棰，日取其半，万世不竭。一尺之棰，日取其半，万世不竭。将每天取下的长度将每天取下的长度“加加”起来：起来：21221 321 n21 21221 321 n21 无限个数相加！无限个数相加！直观上感觉结果（和）应该是直观上感觉结果（和）应该是1。再如：再如： 111111如果如果 11 11 11 （ ） （ ）（ ）结果是结果是0。如果如果 1 1 1 1 1 1 1 （ ）（ ）（ ）结果是结果是

2、1。再看一个有趣的例子：再看一个有趣的例子： 654321)51()41()31()21()11(1 51413121111 5()14()13()12()11(11 6543211 654321？看来无限个数相加与有限个数相加不一样！看来无限个数相加与有限个数相加不一样！有必要研究无限个数相加的含义！有必要研究无限个数相加的含义！二、级数的概念二、级数的概念定义定义1 1( (级数级数) ) nnnuuuuu3211记着记着称为数项级数或无穷级数，简称称为数项级数或无穷级数，简称级数级数。通项通项部分和部分和sn构成一个数列，称为构成一个数列，称为部分和数列部分和数列。 niinnuuuus

3、121级数的前级数的前n项的和称为项的和称为部分和部分和，记着，记着,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 给定数列给定数列,:321uuuun nuuuu321定义定义2 2：( ( 级数的收敛与发散级数的收敛与发散):):如如果果级级数数 1nnu的的部部分分和和数数列列 ns 有有极极限限s, , 即即 ssnn lim, , 则则称称无无穷穷级级数数 1nnu收收敛敛, ,极极限限s s叫叫做做级级数数 1nnu的的和和. .并并写写成成 321uuus 如如果果 ns 没没有有极极限限, ,则则称称无无穷穷级级数数 1nnu发发散散. . 即即 常常数数项

4、项级级数数收收敛敛( (发发散散) )nns lim存存在在( (不不存存在在) )例例 1 1 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收敛性的收敛性. .解解时时如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan ,1时时当当 q0lim nnqqasnn 1lim,1时时当当 q nnqlim nnslim 收敛收敛 发散发散时时如果如果1 q,1时时当当 q,1时时当当 q nasn 发散发散 aaaa级级数数变变为为不不存存在在nns lim 发散发散 综上综上 发散发散时时当当收敛收敛时时当当,1,10q

5、qaqnn请记忆请记忆!部分和奇偶子列收敛于不同的数，部分和奇偶子列收敛于不同的数，例例 2 2 判别无穷级数判别无穷级数 11232nnn的收敛性的收敛性. . 解解nnnu 1232,3441 n已知级数为等比级数，已知级数为等比级数，,34 q公比公比, 1| q.原级数发散原级数发散例例 3 3 判别无穷级数判别无穷级数 )12()12(1531311nn 的收敛性的收敛性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211

6、(21 n,21 .21, 和为和为级数收敛级数收敛定理定理1:(Cauchy收敛准则收敛准则)有有收敛收敛, 0, 01 pNmNunn .|21 pmmmuuu证证收敛收敛收敛收敛1nnnsu |, 0, 0mpmsspNmN有有.|21 pmmmuuu即即推论推论:(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件). 0lim1 nnnnuu 收敛收敛上述推论的逆命题不真上述推论的逆命题不真.?, 0lim但级数是否收敛但级数是否收敛有有 nnu n131211例如调和级数例如调和级数解解)0( |21 muuummmmmmmm 12111mmm212121 .21 故调和级数发散故调和级数发散.

7、请记忆！请记忆！的敛散性。的敛散性。判断判断例例 1152 4nnn, 052152lim nnn由于由于因而级数是发散的因而级数是发散的.的敛散性。的敛散性。判断级数判断级数例例 12sin 5nnnx解解解解|21pmmmuuu |2)sin(2)2sin(2)1sin(|21pmmmxpmxmxm |212121|21pmmm |212121|21pmmm 211211211 pm)211(2211pm m21 )( , 0 m故原级数收敛故原级数收敛.)2121211(21121 pm例例6 证明级数证明级数 收敛。收敛。 121nn证证|21pmmmuuu 222)(1)2(1)1(

8、1pmmm )(1(1)2)(1(1)1(1pmpmmmmm pmpmmmmm 1112111111pmm 11m1 )( , 0 m故级数收敛。故级数收敛。三、基本性质三、基本性质特别特别: : 收敛级数可以逐项相加与逐项相减收敛级数可以逐项相加与逐项相减. .思考思考: : 收敛收敛级数与发散级数级数与发散级数的的和的和的收敛性如何收敛性如何? ?必发必发散散证证,)(lim dcsdcsnnn 成立。成立。性质性质1性性质质 2 2 若若级级数数 1nnu收收敛敛, ,则则 1knnu也也收收敛敛)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. . 证明证明 类似地可以证明在级数前面加上或改变有类

9、似地可以证明在级数前面加上或改变有限项不影响级数的敛散性限项不影响级数的敛散性.故级数收敛与否故级数收敛与否,与前面的有限项无关与前面的有限项无关.有有收敛收敛, 0, 01 pNmNunn .|21 pmmmuuu性性质质 3 3 收收敛敛级级数数加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数仍仍然然收收敛敛于于原原来来的的和和. . 证明证明 )()()(32211111nnnnnuuuuuu,11ns .limlimssnnmm ,22ns ,33ns ,mnms ,的一个子列的一个子列是是故故nms 这说明这说明:收敛收敛级数满足加法的结合律级数满足加法的结合律.设设注意注意收敛级数去括弧后所成

10、的级数不一定收敛收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11(例如例如 1111推推论论 如如果果加加括括弧弧后后所所成成的的级级数数发发散散, ,则则原原来来级级数数也也发发散散. . 收敛收敛 发散发散例例8 8 判别收敛性：判别收敛性：； 81614121)1； 432214121312121211)2.6cos62cos6cos)3 n解解,1211 nn原原式式发发散散。 11nn 211 nn原原式式发发散散。6cos nan ,0原原式式发发散散。)211(1 nnn解解解解发发散散，收收敛敛，发发散散，四、小结四、小结1 1. .由由定定义义, ,若若ssn, ,则则级级数数收收敛敛; ;2 2. .当当0lim nnu, ,则则级级数数发发散散; ;常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法：基本审敛法：3. C