第1章：有限单元法

1、第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 机械设计中的一个重要环节是研究机械零部件的应力和变形问题，为强度和刚度等的设计计算提供依据。 1. 材料力学材料力学介绍了拉伸与压缩、剪切、扭转、弯曲内力、弯曲强度、弯曲变形、应力状态及应变状态分析、强度理论、组合变形、静不定系统、动载荷、交变应力、压杆稳定、平面曲杆、厚壁圆筒和旋转圆盘等内容。主要是传授机械设计强度、刚度、稳定性等方面的知识，并用来解决在机械设计中杆、梁、圆筒、圆盘等特殊构件的强度、刚度、稳定性方面的分析问题，且要求材料各向同性。由于机械构件的复杂性（包括几何复杂性、边界与载荷的复杂性、材料的复杂性），显然材料力学对于机械设

2、计来说远远不够。 弹性力学1.1 有限单元法产生的背景第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 2. 弹性力学弹性力学：弹性力学的任务与材料力学、结构力学类似，也是研究构件在外部因素（如载荷、温度变化等）作用下，在弹性变形阶段的应力和位移，校核构件的强度和刚度。 弹性力学方程的建立：众多的机械零部件通常可以看作是由杆件、板块、壳体、块体等组合而成的。弹性力学研究杆状构件、杆件系统、板、壳、块体等构件。弹性力学研究构件应力和变形时，对变形状态和应力的分布规律等不作假设，弹性力学解决问题的方法是：假想物体内部为无数个平行六面体单元，表面（表层）由无数个四面体单元组成。考虑这些单元体的平衡

3、，根据静力平衡条件可以写出一组平衡微分方程，但由于未知应力数多于微分方程数，因此弹性理论问题是超静定的，必须考虑变形协调条件。由于物体在变第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论形之后仍保持连续，所以单元之间的变形必须是协调的，由此可以产生一组表示变形连续性的微分方程，此外还要用广义胡克定律表示应力与形变之间的关系（物理方程）。另外，在弹性体表面上还需考虑体内应力与外载荷之间的平衡，称为边界条件。这样就可以列出足够的微分方程以求解未知应力、形变和位移。因此，弹性力学的研究方法是从受力体中取出一无限小的微元体，从静力平衡条件、几何变形条件和本构关系（物理方程）等方面，建立弹性体内各点的

4、位移和应力之间的基本的、普遍的关系式，再根据边界条件求得解答。 弹性力学方程组的求解：上述这些微分方程还可以综合简化为以应力为基本未知函数的微分方程，或以位移为基本未知函数的微分方程，但这些都是偏微分方程，往往第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论不能求得通解。所以弹性力学常用所 谓的“逆解法”，即先假设一解答，如这个解能满足所有的偏微分，同时满足边界条件，则这个解答就是正确的解答，同时也是唯一的。或用“半逆解法”，即先假设一部分解答，另一部分在解题过程中求出。 引申一步来讲，从数学角度看，一个工程问题往往可以通过系列偏微分方程来描述，如弹性力学基本方程组、塑性力学基本方程组、流体

5、力学基本方程组等。但是由于方程本身的复杂程度和求解域及边界条件的复杂性，常很难或根本得不到上述偏微分方程组的精确求解（解析解）。在这种情况下，寻求上述问题的数值解法以获得满足上述工程精度要求的近似解，就显得十分重要和必要。 数值分析法 第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 3.数值分析法数值分析法 在有限单元法产生以前，近似数值分析方法基本上可以分为两大类：一类是以有限差分为代表的方法；一类是是首先建立与原问题基本方程和定解条件相等效的积分方法，然后按此建立近似解法。例如加权残值法、最小二乘法、加辽金法、里兹法、力矩法等。虽然这两类方法在不同领域上均获得成功的应用实例（如有限差分

6、在流体场分析方面），但由于它们均是在整个求解区域上假设近似函数，因此对结构几何形状复杂的问题仍然不能给出满足近代工程技术精度要求的近似解，另外对于复杂几何形状问题甚至求解发生困难。 随着电子计算机的迅速发展和普遍应用，开发了另一种近似数值分析法有限单元法（Finite Element Method，简称FEM）。有限单元法的出现，是数值分析方法研究领域内重大突破性进展。第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 有限单元是一种适用性很强的数值方法，它可以用于求解多种类型的偏微分方程。有限元法的概念浅显，容易掌握。 对于像结构应力分析的这样问题，以往人们总是试图寻找一个或多个连续光滑的函

7、数，在整个求解域上满足控制方程和全部边界条件，以便得到精确的解析解。但是由于物体的几何形状及边界条件复杂，控制方程的条件苛刻，要寻找这样的解析函数非常困难，甚至根本不可能。有限元法避开在整个求解区域上寻找连续解析函数这一难点，转为寻求在各个子域（单元）上适应控制方程，并满足整个物体边界条件和连续条件的分块近似的插值函数。1.2 有限元单元法的基本解题思想与应用领域第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 1. 有限单元法的基本思想 先将整体假想地分成有限的小单元，单元与单元之间仅通过节点联结在一起，对于每个单元都用节点未知量通过插值函数来近似地表示单元内部的多种物理量，并使其在单元内

8、部满足该问题的控制方程，即单元特性分析，从而将各单元对整体的影响通过单元的节点传递；然后再将这些单元组装成一个整体，并使他们满足整个物体的边界条件和连续条件，得到一组关于节点未知量的联立方程，即整体分析；解出方程后，再用插值函数和有关公式求得物体内部各点所要求的多种物理量，即求解运算。单元节点未知量可以选取力、位移，根据节点未知量选取的不同，有限单元法分为力型有限单元法、位移型有限单元法和混合型有限单元法。常用的是位移型有限单元法。 第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 如果插值函数选取合适，单元分得越多、越细，得到的计算结果就越精确。当单元数趋于无穷时，计算结果就收敛于精确解。

9、但是单元数增加，节点数就大大增加，计算工作量和存储信息量就会迅速增加，这就要求计算机具备较好的性能。因此一般都是根据具体问题对精度的要求，只取一定数量的（有限个）的单元和节点进行分析。 有限元法的解题步骤是固定模式的，其主要研究工作就集中在构造计算简单、精度高、适用性强的单元模式上，即单元特性分析。一旦有了各种单元，如梁单元、杆单元、壳单元、平面单元、环单元、多面体单元等，就可以用来分析各种形状复杂的问题。第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论2. 有限单元法的特点 （1）概念清晰，深入浅出 理论上进行深入研究和探索，建立相应的数学模型和理论框架，进而扩大其应用领域，提高数值分析精

10、度，同时也可以通过非常直观的物理解释去理解，并可方便而现实地求解各类工程问题。 （ 2）具有统一、规范的表达形式 它采用矩阵形式表达，由于各单元的计算程式都相同，解题有固定的模式，所以有限元法的解题步骤已经系统化、标准化，因此十分便于计算机编程。有限元理论与应用的发展，完全离不开有限元软件的发展。重要的大型商业化有限元软件有ANSYS、MARC、NASTRAN、ABAQUS等。 （3）有限元法整体分析得到的大型联立方程组的系数矩阵是一个稀疏矩阵，其中所有元素都分布在矩阵的主对角线附近，且是对称的正定矩阵，方程间的联系较弱，这种方程可以降低计算规模和存储规模，且稳定性好。第1章 有限单元法概述第

11、01篇 有限单元法基本理论（4）具有很强的适用性，应用范围极其广泛 不受物体几何形状限制，可以计算复杂结构的场问题：这是因为单元能按各种不同的连接方式组合在一起，且单元本身又可以有不同的几何形状，因此可以模拟几何形状复杂的结构。 有限单元法是在20世纪50年代中期，最早以解决结构力学、弹性力学问题发展起来的，后来研究发现，它的理论基础就是变分原理。于是关于这个方法的稳定性、收敛性就得到了证明。后来进一步研究表明，它不是计算某个特殊问题的专用解法，而是一种通用的数值方法，可以推广到其它领域。 目前，有限单元法已经远远超出了原有的应用范畴，已从弹性力学扩展到了弹塑性力学、岩石力学、地质力学、流体力

12、学、热传学、气动力学、计算物理学等学科。以至目前开始向纳米级的分子动力学渗透。广泛用于核工业、铁道、石油化工、航空航天、机械工程、能源、汽车交通、国防军工、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利、日用家电等一般工业领域。第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论3. 有限单元法机械工程应用实例第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论1.3 结构的分类 结构的种类很多，其几何特征、受力状态和计算方法也各不相同，可以用不同

13、的角度来分类。1. 按几何特征分类按几何特征分类：杆件结构、板壳结构和实体结构杆件结构杆件结构：杆件的几何特征是其长度远大于其截面的宽度杆件的几何特征是其长度远大于其截面的宽度和高度（或直径）。由杆件组成的结构称为杆系结构，包括：和高度（或直径）。由杆件组成的结构称为杆系结构，包括： 桁架结构桁架结构 刚架结构刚架结构 组合结构组合结构第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 桁架结构：由直杆组成，所有杆件之间的连接结点均由直杆组成，所有杆件之间的连接结点均为铰接为铰接,如图如图11所示。为了简化计算，通常认为载荷只作用所示。为了简化计算，通常认为载荷只作用于桁架的结点处，称为结点载

14、荷，而将非结点处作用的载荷于桁架的结点处，称为结点载荷，而将非结点处作用的载荷转化为结点载荷，即等效结点载荷。因此，桁架的杆件只产转化为结点载荷，即等效结点载荷。因此，桁架的杆件只产生轴向力。生轴向力。 刚架结构：由直杆组成，所有杆件之间的连接结点均由直杆组成，所有杆件之间的连接结点均为刚接点为刚接点,如图如图12所示。为了简化计算，认为刚架在变形过所示。为了简化计算，认为刚架在变形过程中，各杆之间在连接处的夹角保持不变。因此，组成刚架程中，各杆之间在连接处的夹角保持不变。因此，组成刚架的的杆件除承受轴向力外同时还承受弯矩和剪力。的的杆件除承受轴向力外同时还承受弯矩和剪力。图1-1 桁架结构示

15、意图第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 组合结构：指由桁架与梁、桁架与刚架组合在一起的结构，指由桁架与梁、桁架与刚架组合在一起的结构，其中有些杆件只承受轴力，另一些杆件同时还承受弯矩和剪其中有些杆件只承受轴力，另一些杆件同时还承受弯矩和剪力，如图力，如图1 13 3所示。所示。图1-2 刚架结构第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 板壳结构 板是指厚度远小于其长度和宽度的构件。按照中面的几板是指厚度远小于其长度和宽度的构件。按照中面的几何形状，板又可分为薄板和薄壳。薄板是中面为平面的板，何形状，板又可分为薄板和薄壳。薄板是中面为平面的板，薄壳是中面为曲面的板。薄板

16、和薄壳组成板壳结构（又称薄薄壳是中面为曲面的板。薄板和薄壳组成板壳结构（又称薄壁结构），如图壁结构），如图1 13 3所示。所示。第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论 实体结构 实体也称块体，是指长、宽、高各方向都相当的构件。实体结构应实体也称块体，是指长、宽、高各方向都相当的构件。实体结构应用极为普遍，如地基、挡土墙、水坝、机架、轴承座用极为普遍，如地基、挡土墙、水坝、机架、轴承座。如图。如图1 14 4所示。所示。1.2.2 按受力状态分类按受力状态分类 按照杆轴线和外力的空间位置，结构可以分为按照杆轴线和外力的空间位置，结构可以分为平面结构平面结构和和空间结构空间结构。如果

17、结构的各杆轴线及外力（包括载荷和反力）均。如果结构的各杆轴线及外力（包括载荷和反力）均在同一平面内则称为平面结构，否则便是空间结构。在同一平面内则称为平面结构，否则便是空间结构。图1-4 实体结构第1章 有限单元法概述第01篇 有限单元法基本理论1.2.3 按计算方法分类按计算方法分类 按照计算方法分类，结构可以分为按照计算方法分类，结构可以分为静定结构静定结构和和静不定结静不定结构构 。如果在任意载荷作用下，结构的全部内力和反力都可以。如果在任意载荷作用下，结构的全部内力和反力都可以由静力平衡条件确定，这样的结构便称为静定结构；若还需考由静力平衡条件确定，这样的结构便称为静定结构；若还需考虑变形协调条件才能确定，这样的结构便称为超静定结构。虑变形协调条件才能确定，这样的结构便称为超静定结构。1.3 结构分析的任务 结构分析的目的：知晓结构在给定载荷作用下回有什么样的的响应。结构分析的目的：知晓结构在给定载荷作用下回有什么样的的响应。 结