第1章模态分析理论基础

1、 第第1章章 模态分析理论基模态分析理论基础础主讲人：主讲人：研究生课程研究生课程tjFetf)(tjXetx)(振动系统振动系统离散系统（有限自由度）连续系统（无限自由度）连续时间系统离散时间系统空间角度空间角度时间角度时间角度空间离散的连续时间系统空间离散的连续时间系统n振动分析的振动分析的“理论路线理论路线”n物理模型物理模型以质量、刚度和阻尼为参数的关于位移的振动微分方程n模态模型模态模型一系列固有频率及相应的模态阻尼系数和模态振型。n响应模型响应模型一系列响应函数组成n在理论分析中，首先从物理模型开始最终到非参数模型。n在实验分析中，首先从特性开始，最终推求物理模型。)()()()(

2、tftxktxctxm 物理参数模型物理参数模型)()()()(tftxktxctxm 0 kxxm txtxtxsin)0(cos)0()()cos()(tAtx另一种形式另一种形式)cos(tAx)0()0(arctg)0()0(22xxxxA两种形式描述的物两种形式描述的物块振动，称为无阻块振动，称为无阻尼自由振动，简称尼自由振动，简称自由振动。自由振动。 无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动简谐振动 初相位角 振 幅)()()()(tftxktxctxm 0kxxcxm 02kcm0222122, 1tAex衰减系数：固有频率

3、：阻尼比：mc2mk122, 11. 1. 欠阻尼系统欠阻尼系统( (undercritically-damped system) )1dii222, 11)1()exp(sincos)(21ttAtAtxdd0kxxcxm 22, 11i)0(1xA dxxA)0()0(2)cos()exp()(ttAtxd2120020dxxxA0001tanxxxd)cos()exp()(ttAtxd1. 表示初始幅值为A的自由衰减振动响应，振动的周期为Td；2.阻尼对频率或周期的影响；3.阻尼对振幅的影响；)/2exp(1dnnxx122, 12. 2. 临界阻尼系统临界阻尼系统( (critical

4、ly-damped system) )121)exp()(tBtAtx122, 13. 3. 过界阻尼系统过界阻尼系统(over(overcritically-damped system) )1122, 1)exp(sincos)(ttBtAtxn设系统作用简谐激励：设系统作用简谐激励：n稳态位移响应：稳态位移响应：n稳态速度响应：稳态速度响应：n稳态加速度响应：稳态加速度响应：( )ej tf tFej txXej txj X22()eej tj txjXX tjFetxktxctxm)()()( FXcjmk)(2振动微分方程：振动微分方程：n位移频响函数位移频响函数: 为稳态位移响应与激

5、励幅值之比：为稳态位移响应与激励幅值之比：21( )XHFkmj c2( )VVjXjHFFkmj c22( )AAj VHFFkmj c 频响函数频响函数n 加速度频响函数加速度频响函数：n 速度频响函数：速度频响函数：n频响函数的倒数称为频响函数的倒数称为阻抗阻抗n位移阻抗：位移阻抗：n速度阻抗：速度阻抗：n加速度阻抗：加速度阻抗：2( )FZkmj cX( )VFkZcj mVj2( )AFkcZmAj 单自由度系统，承受单位脉冲荷载单自由度系统，承受单位脉冲荷载 (t)时，响应为时，响应为h(t)单位脉冲响应函数（脉冲响应函数）单位脉冲响应函数（脉冲响应函数）( )mxcxkxt单位脉

6、冲激励可以用单位脉冲函数（狄拉克单位脉冲激励可以用单位脉冲函数（狄拉克 函数）函数） 000)(ttt1)( dtt0) 0 (xmx/ 1) 0(temthdtdsin1)(脉冲响应函数：脉冲响应函数：)()()()(tftxktxctxm cimkH21)()()()(FHX定义：(1)简谐激励时，稳态输出相量与输入幅值之比。(2)瞬态激励时，输出的傅里叶变换与输入的傅里叶变换之比。(3)平稳随机激励时，输出和输入的互谱与输入的自谱之比。dtethHti)()(dteHthti)(21)(n频响函数频响函数H( )是是脉冲响应函数脉冲响应函数h(t)的傅里叶变换的傅里叶变换n若系统的激励为

7、若系统的激励为n已知此时系统稳态输出为已知此时系统稳态输出为n因此因此n脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频脉冲响应函数与频响函数一样是反映振动系统动态特性的量，频响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描响函数在频域内描述系统固有特性，而脉冲响应函数在时域内描述系统固有特性。述系统固有特性。( )( )*( )() ( )d() ( )dx th tf th tff thjj( )e( ) ettx tXHFj()j-j( )() ( )de( )de( )edttx tf thFhFh-j( )( )edHh( )( )h tH线性系统的输入与输出关系线性

8、系统的输入与输出关系( )ej tf tFn根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频根据傅里叶变换时域卷积性质，在时域的卷积在频域应为乘积域应为乘积( )( )*( )x th tf t( )( ) ( )XHF单位力作用下单位力作用下的系统时域与的系统时域与频域的响应频域的响应 简谐激励简谐激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励下，频响函数定义为系统的稳态响应幅值与激励的幅值之比的幅值之比( )XHF 瞬态激励瞬态激励f(t)下响应为下响应为x(t) ，一般可做傅里叶变换，一般可做傅里叶变换 系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响应与激励的傅里叶系统在瞬态激励下的频响函数定义为在响

9、应与激励的傅里叶变换之比变换之比()F( )Ff t()F ( )Xx t( )( ) ( ) XHF 周期激励周期激励f(t)（周期为（周期为T）作用下，稳态位移响应为周期）作用下，稳态位移响应为周期T的函数的函数x(t)，都可写为傅里叶级数的形式都可写为傅里叶级数的形式系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值与激励系统在周期激励下的频响函数定义为在各倍频点上稳态响应幅值与激励的幅值之比的幅值之比( )XHF0022( )()e1()( )ejktkkTjktTkf tFFf tdtT0022( )()e1()( )ejktkkTjktTkx tXXx tdtT()() ()

10、 (1,2,)kkkXHFk 随机振动中，随机振动中，无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只能无论是激励和响应信号都不能进行傅里叶变换，只能用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率谱与用概率统计方法来处理。频响函数定义为输出与输入的互功率谱与输入的自功率谱之比输入的自功率谱之比( )( ) ( )xfffGHGn由频响函数表达式由频响函数表达式n可得频响函数复指数形式可得频响函数复指数形式 21( )XHFkmj c22222112( )e , arctan1(1)4iHk 幅频特性幅频特性相频特性相频特性 基本表达式基本表达式n频响函数表示成复数形式：频响函数表示成复数形

11、式：n其中其中 ( )( )( )RIHHjH2222211( )(1)4RHk 实频特性实频特性虚频特性虚频特性222212( )(1)4IHk 直角坐标表达式（复数形式）直角坐标表达式（复数形式）对于任一对于任一 ，根据上式可计算得到对应的一对，根据上式可计算得到对应的一对HR( )、 HI( )值，值，从而得到复平面上的一条矢量。从而得到复平面上的一条矢量。 从从0变到变到，矢端将画出变化，矢端将画出变化过程的轨迹，该轨迹过程的轨迹，该轨迹近似近似为一个圆。（为一个圆。（Nyquist图）图）22211( )( )44RIHHkk 222212( )(1)4IHk 2222211( )(

12、1)4RHk 矢量表达式矢量表达式n频响函数表示成矢量形式：频响函数表示成矢量形式： jHiHHIRin其中其中)()()()(tftKtCtMxxx nnnnnnmmmmmmmmmM212222111211nnnnnncccccccccC212222111211nnnnnnkkkkkkkkkK2122221112110 xKxM)()(tt 频率：频率：tjetXx)(0XMK)(20MK2特解特解该方程有非零解的该方程有非零解的充要条件是其系数充要条件是其系数矩阵行列式为零矩阵行列式为零频率方程频率方程特征方程特征方程设无重根，解得设无重根，解得 的的n个互异正根个互异正根 0i，称为无阻

13、尼系统的固有频率。，称为无阻尼系统的固有频率。即即特征方程的特征值特征方程的特征值.对一个具有n个自由度的系统，可以得到一个关于频率的n次代数方程，方程的n个根表示体系可能存在的n个振型对应的频率。具有最低频率的阵型称之为第一阶振型，第二低频率对应的振型为第二阶振型。0MK2n0020100 xKxM)()(tt 振型分析：振型分析：0XMK)(20XMKii)(201.特征向量，或振型，特征向量，或振型，一般用一般用i来表示；来表示；2.对对n自由度系统，自由度系统，n个个振型；振型；nnnnnnn21222121211121tjetXx)(模态矩阵模态矩阵振型正交性：振型正交性：iiiMK

14、20jjjMK20iTjiiTjMK20jTijjTiMK200)(2020iTjjiM0iTjM0iTjK0iTjM当当i=j时，定义时，定义模态质量模态质量（主质量）（主质量）iTiimM0iTjK当当i=j时，定义时，定义模态刚度模态刚度（主刚度）（主刚度）iTiikMjikjiKjimjiiiTjiiTj00M振型正交性：振型正交性：第第j阶模态惯性力在第阶模态惯性力在第i阶模态阶模态运动中做功为零；第运动中做功为零；第j阶模态阶模态弹性力在第弹性力在第i阶模态运动中做阶模态运动中做功为零。功为零。模态质量与模态刚度：模态质量与模态刚度：iiTimMiiTikKiiiTiiTiimkM

15、K20)(00000021inTmdiagmmmM)(00000021inTkdiagkkkK模态质量矩阵模态质量矩阵模态刚度矩阵模态刚度矩阵频响函数：频响函数：)()()(tttfxKxM FX )(2MKniiiTiimk12)(HMKH21)(频响函数矩阵频响函数矩阵的模态展式的模态展式tjXetf)(脉冲响应函数：脉冲响应函数：niiTiiimHth122011)()(-FniiiTiimk12)(H多自由度粘性阻尼系统的运动方程：多自由度粘性阻尼系统的运动方程： ( )MxCxKxf t CMK1 nrrrxq111 ( )nnnrrrrrrrrrMqCqKqf t, 1,2,iqi

16、n其中：其中：进行坐标变换，设物理坐标系中矢量进行坐标变换，设物理坐标系中矢量x在模态坐标系中在模态坐标系中的坐标为：的坐标为：nms第第s阶模态质量阶模态质量nks第第s阶模态刚度阶模态刚度ncs第第s阶模态阻尼系数阶模态阻尼系数nqs第第s阶模态坐标阶模态坐标111 ( )nnnrrrrrrrrrMqCqKqf t ( )Tsssssssm qc qk qf tssscmk ( ) ej tf tFej tssqQ左乘左乘 sT令令 则 n不考虑起始条件，可得位移响应：不考虑起始条件，可得位移响应：22()e e j tTj tsssssTsssssmj ck QFFQmj ck11 ee

17、nnj tj trrrrrrxXqQ12211 TnnrrrrrrrrrnXXXQFmj ckX2211 12TTnnrrrrrrrrrrrrrFFXmj ckkj rr21 12TnrrrrrFXkj 21 12rrrYkj 1 nTrrrrXHYF位移响应位移响应频响函数频响函数211( )NNirjrijrirjrrrrrrHYkmj c 物理意义为：在物理意义为：在j点作用单位力时，在点作用单位力时，在i点点引起的响应引起的响应频响函数频响函数脉冲响应函数：脉冲响应函数：脉冲响应函数的傅氏变换脉冲响应函数的傅氏变换 频响函数与模态参数的关系频响函数与模态参数的关系n频响函数矩阵中任一行

18、为频响函数矩阵中任一行为 如果在结构上的某一固定点如果在结构上的某一固定点i点拾振，轮流激励所有点，即点拾振，轮流激励所有点，即可求得可求得H中的一行。中的一行。（单点拾振法单点拾振法）1211211221 NTiiiNrirrrNrirrrNrrNirrrNrrrrrHHHYYkmj c n频响函数矩阵中任一列为频响函数矩阵中任一列为 如果在结构上的某一固定点如果在结构上的某一固定点j点激振，在其他各点拾振，即点激振，在其他各点拾振，即可求得可求得H中的一列。（中的一列。（单点激励法单点激励法）111222211 jrrNNjjrrrrjrrrrrrNrNrNjHHYkmj cH 频响函数与模态参数的关系频响函数与模态参数的关系 频响函数图像频响函数图像n频响函数表达式频响函数表达式 n频响函数的图像可以看作为一系列单自由度系统的频响频响函数的图像可以看作为一系列单自由度系统的频响函数曲线的迭加。函数曲线的迭加。2111( )NNNirjrijrirjrrijrrrrrrHYHkmj c 1234523456F11234512345123451234512345模态阶数模态阶数12345频率(Hz)34.4994100.6979 158.7263203.88