第3章_气体动理论-6

1、12 系统系统 热力学系统：热力学系统：要含有大量原子、分子或其要含有大量原子、分子或其它微观粒子，体积有限的宏它微观粒子，体积有限的宏 观物体。热力学研究的对象。观物体。热力学研究的对象。一、热力学系统与外界一、热力学系统与外界 系统分类：系统分类：1. 孤立系统：孤立系统：2. 封闭系统：封闭系统：3. 开放系统：开放系统： 外界：外界：热力学系统以外的物体。热力学系统以外的物体。无物质、能量的交换。无物质、能量的交换。有能量交换，无物质交换。有能量交换，无物质交换。既有物质交换又有能量交换。既有物质交换又有能量交换。3二、微观状态与宏观状态二、微观状态与宏观状态2. 宏观状态：对系统在整

2、体上表现出来的某些性质进行宏观状态：对系统在整体上表现出来的某些性质进行 描述而确定的状态。描述而确定的状态。 宏观量：宏观量：表征系统状态和属性的表征系统状态和属性的 物理量。物理量。可用仪器直接测量可用仪器直接测量,可被人的感官察觉。可被人的感官察觉。1. 微观状态：微观状态：对组成系统的大量微观粒子的运动状态对组成系统的大量微观粒子的运动状态 进行描述进行描述而确定的状态。而确定的状态。 微观量微观量：不能直接测量，不能被人的感官察觉。：不能直接测量，不能被人的感官察觉。微观量与宏观量有一定的内在联系。微观量与宏观量有一定的内在联系。分子的质量、直径、位置、速度、动量、动能等。分子的质量

3、、直径、位置、速度、动量、动能等。广延量广延量: 质量质量 M、体积、体积 V、能量、能量 E 等；等；强度量：压强强度量：压强 P、温度、温度 T 等。等。4 三、平衡态三、平衡态 平衡态：平衡态：系统内部没有宏观的粒子和能量流动，其系统内部没有宏观的粒子和能量流动，其宏观性质不随时间改变。是一种宏观性质不随时间改变。是一种动态平衡，动态平衡，并伴随并伴随涨落。涨落。布朗运动是可观测的涨落现布朗运动是可观测的涨落现象之一。象之一。 非平衡态：非平衡态：当处在平衡态的系统受到外界影响时，当处在平衡态的系统受到外界影响时，内部会出现宏观的粒子和能量流动，此时内部会出现宏观的粒子和能量流动，此时系

4、统处在非平衡态。系统处在非平衡态。 平衡态原理：平衡态原理：一个孤立的热力学系统，不管它原来一个孤立的热力学系统，不管它原来处在什么状态，总会自处在什么状态，总会自 发地趋向平衡态，发地趋向平衡态，并保持这个状态不变。并保持这个状态不变。非平衡态非平衡态平衡态平衡态平衡态平衡态5四、平衡态的状态参量四、平衡态的状态参量1. 状态参量：状态参量： 描述系统宏观性质（热学、力学、化描述系统宏观性质（热学、力学、化 学、电磁等）的宏观量。学、电磁等）的宏观量。2. 气体的状态参量：气体的状态参量： 体积体积 V 压强压强 pSI 单位：单位：Pa (N/m2)1 atm=1.01325105 Pa

5、= 76 cmHg 温度温度T反映物质分子运动的剧烈程度。反映物质分子运动的剧烈程度。 几何描述几何描述 力学描述力学描述 热力学描述热力学描述SI 单位：单位：m31 l=10-3 m36一、热平衡一、热平衡AB绝热板绝热板A、B两体系互两体系互不影响，各自不影响，各自达到平衡态。达到平衡态。AB导热板导热板两体系的平衡态有联两体系的平衡态有联系，达到共同的系，达到共同的热平热平衡状态衡状态 (热平衡热平衡)。二、热力学第零定律二、热力学第零定律ACB绝热板绝热板导热板导热板互为热平衡的热力学体系，必定具有一个共同的宏观物互为热平衡的热力学体系，必定具有一个共同的宏观物 理性质和相同的宏观参

6、量理性质和相同的宏观参量 温度。温度。温度测量的理论和实验根据温度测量的理论和实验根据。温度是系统状态的一个态函数温度是系统状态的一个态函数 状态方程状态方程。7决定一个系统是否与其它系统达到热平衡的宏观性质。决定一个系统是否与其它系统达到热平衡的宏观性质。 处于热平衡的多个系统具有相同的温度处于热平衡的多个系统具有相同的温度 具有相同温度的几个系统放在一起必然处于热平衡。具有相同温度的几个系统放在一起必然处于热平衡。 温度测量温度测量ABA 和和 B 热平衡，热平衡，TA = TB酒精或水银酒精或水银热胀冷缩特性，标准热胀冷缩特性，标准状态下，冰水混合，状态下，冰水混合，B 上留一刻痕，上留

7、一刻痕， 水沸水沸腾，又一刻痕，之间腾，又一刻痕，之间百等份，就是百等份，就是摄氏温摄氏温标（标（Co）。）。8四、四、 温温 标标温度的数值表示法称为温度的数值表示法称为温标温标。1. 理想气体温标理想气体温标 (T): 测温物质：理想气体测温物质：理想气体 玻意耳定律：玻意耳定律：（温度不变）（温度不变） 常数常数 pV三相点温度三相点温度 参考点：参考点： 单位：开单位：开尔文尔文(K)K16.2733 T2. 热力学温标：热力学温标：与任何物质特性无关，在理想气体温与任何物质特性无关，在理想气体温标范围内，与理想气体温标等价。标范围内，与理想气体温标等价。3. 摄氏温标摄氏温标 (t)

8、单位：摄氏度单位：摄氏度( )C15.273 Tt五、热力学第三定律五、热力学第三定律9理想气体在任一平衡态下各宏观量之间的关系称理想气体在任一平衡态下各宏观量之间的关系称为为理想气体状态方程理想气体状态方程。 RTMmpV R为普适气体常数为普适气体常数15.273104 .2210013. 13500,0 TVpRmRTpV )KmolJ(31. 8 10若写成若写成 ANN 令令KJNRkA231038. 1 玻耳兹曼常数玻耳兹曼常数nkTp 理想气体状态方程理想气体状态方程TNRNRTNNpVAA mol/10023. 623 AN阿伏伽德罗常量阿伏伽德罗常量NkTpV n：气体分子数

9、密度气体分子数密度nkTkTVNp 11例例: 一容器内装有气体，温度为一容器内装有气体，温度为 27 oC，问：，问：(1) 压强为压强为1.013 105 Pa时，在时，在 1 m3 中有多少个分子；中有多少个分子；(2) 在高真空时，压强为在高真空时，压强为 1.33 10-5 Pa，在，在 1 m3 中有多中有多 少个分子少个分子?3253235m1045. 2m3001038. 110013. 1)1 ( kTpn3153235m1021. 3m3001038. 11033. 1)2( kTpn按公式按公式 p = nkT 可知可知解：解：12一、布朗运动：一、布朗运动：水表面的花粉

10、颗粒的不停顿的无规则水表面的花粉颗粒的不停顿的无规则运动是液体分子永不停息的无规则热运动的宏观表现。运动是液体分子永不停息的无规则热运动的宏观表现。二、二、分子间相互作用力分子间相互作用力r0r合力合力斥力斥力引力引力dfO10-9m理想气体的微观模型就理想气体的微观模型就是建立在这样的气体分是建立在这样的气体分子相互作用的图像上。子相互作用的图像上。13一、对单个分子的力学性质的假设一、对单个分子的力学性质的假设 分子当作质点，不占体积；分子当作质点，不占体积； 分子之间及分子与器壁间除碰撞的瞬间外，无分子之间及分子与器壁间除碰撞的瞬间外，无 相互作用力；相互作用力； 弹性碰撞弹性碰撞(动能

11、守恒动能守恒)； 分子运动分子运动服从牛顿力学。服从牛顿力学。理想气体分子像一个个极小的理想气体分子像一个个极小的彼此间无相互作用彼此间无相互作用的的遵守牛顿力学规律的弹性质点遵守牛顿力学规律的弹性质点fr理想气体：理想气体：在各种压强下都严格遵守玻意耳定律的气体。在各种压强下都严格遵守玻意耳定律的气体。14二、二、 对分子集体的统计性假设对分子集体的统计性假设 若忽略重力影响，达到平衡态时分子按若忽略重力影响，达到平衡态时分子按位置的分位置的分 布是均匀布是均匀的的, 即分子数密度到处一样，并且有即分子数密度到处一样，并且有VNdVdNn dV：体积元：体积元 (宏观小，微观大宏观小，微观大

12、) 分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化，分子的速度各不相同，而且通过碰撞不断变化， 平衡态时，平衡态时，分子速度按方向的分布是均匀分子速度按方向的分布是均匀的。的。每个分子的速度指向任何方向的概率是一样的。每个分子的速度指向任何方向的概率是一样的。 iiixiixnvnv iii2i2xnvnvxi322z2y2xvvvv 0 zyxvvv15一、压强宏观意义一、压强宏观意义SFp SF二、气体压强微观意义二、气体压强微观意义气体压强等于气体对单位面积器壁的压力，气体对容器壁气体压强等于气体对单位面积器壁的压力，气体对容器壁的压力是气体分子对器壁频繁碰撞的总的的压力是气体分子对器壁频繁碰

13、撞的总的平均效果平均效果。iiiixixixmvmvmv2 器壁受到的冲量为器壁受到的冲量为iixmv2三、压强公式推导三、压强公式推导方法：方法：理想气体模型出发，应用力学理想气体模型出发，应用力学规律和统计平均，处理由大量分子组规律和统计平均，处理由大量分子组成的成的质点系质点系对器壁产生的压强。对器壁产生的压强。考虑速度为考虑速度为 的单个气体分子与器壁发的单个气体分子与器壁发生弹性碰撞后，分子动量的增量为：生弹性碰撞后，分子动量的增量为：ivxivivx16考虑容器壁上一面积元考虑容器壁上一面积元 dA，速度为，速度为 的的气体分子（这种速度的分子的数密度为气体分子（这种速度的分子的数

14、密度为 ni ）在在 dt 时间间隔内能与面积元时间间隔内能与面积元 dA 发生碰撞发生碰撞的数目为：的数目为：ivdtdAvnNixii)(2mvdAdtvnixixi 速度为速度为分子在分子在 dt 时间对时间对 dA 的冲量为：的冲量为：iv所有分子在所有分子在 dt 时间内对时间内对 dA 产生的总冲量为：产生的总冲量为：dAdtv2mn21dIiiix 2气体对器壁的宏观压强为：气体对器壁的宏观压强为： iiiiixixvnmvmnp22xdAdtviivx2xnmv t2nvnmp32312tmv21 分子的平均平动动能分子的平均平动动能统计规律：统计规律：宏观量宏观量和微观量和微

15、观量的统计平均值的定量关系；的统计平均值的定量关系；对大量气体分子才对大量气体分子才有意义。有意义。ni: 分子按速度的分布函数分子按速度的分布函数，如麦克斯韦分布函数。，如麦克斯韦分布函数。17tnp 32 由压强公式由压强公式状态方程状态方程kTt23平均平动动能公式平均平动动能公式热力学温度公式热力学温度公式nkTnt 32可得可得温度的微观意义：温度的微观意义：温度是气体分子平均平动动能的量度。温度是气体分子平均平动动能的量度。nkTp tkT 32 一、热力学温度公式及温度的微观意义一、热力学温度公式及温度的微观意义18关于温度概念关于温度概念 温度是大量分子热运动的宏观表现，具有温

16、度是大量分子热运动的宏观表现，具有统计意义统计意义，个别，个别 分子并无这种温度概念。分子并无这种温度概念。 温度是标志物体内部分子温度是标志物体内部分子无规则热运动激烈程度无规则热运动激烈程度的物理量，的物理量， 温度越高，分子的平均平动动能就越大。温度越高，分子的平均平动动能就越大。 分子的平动动能总和为系统的内动能，与温度有关。分子的平动动能总和为系统的内动能，与温度有关。 温度和物体的整体运动温度和物体的整体运动 (轨道动能轨道动能) 无关。无关。 温度还与分子热运动的温度还与分子热运动的平均转动平均转动和和振动动能振动动能有关。有关。一切气体、液体和固体，分子作一切气体、液体和固体，

17、分子作无规则热运动的平均平动动无规则热运动的平均平动动 能都为能都为 3kT/2，与分子质量及分子间有无相互作用无关。，与分子质量及分子间有无相互作用无关。两个温度不同的系统达到热平衡的微观过程：平两个温度不同的系统达到热平衡的微观过程：平均平动动能均平动动能 大的分子通过碰撞，将能量传递给大的分子通过碰撞，将能量传递给平平均平动动能小的分子，均平动动能小的分子， 直到其相等。这种由于直到其相等。这种由于温度差而传递的能量称为热量温度差而传递的能量称为热量。19kTvm23212 MRTv32 M为摩为摩尔质量尔质量m为单个为单个分子质量分子质量mkTv32 同一温度下，质量大的分子其方均根速

18、率小。同一温度下，质量大的分子其方均根速率小。如：如： 在在0时，时，H2 分子的方均根速率分子的方均根速率smv/18362 在在0时，时，O2 分子的方均根速率分子的方均根速率smv/4612 mkTv32 二、方均根速率：二、方均根速率：与分子速率相关的一种统计平均值，与分子速率相关的一种统计平均值， 与分子运动的平均平动动能相联系。与分子运动的平均平动动能相联系。20例例 1. 在多高温度下，气体分子的平均平动动能等于在多高温度下，气体分子的平均平动动能等于 1 电子伏特电子伏特?解解: 1 eV = 1 电子电量电子电量 1伏特伏特 = 1.602 10-19 库仑库仑 1 伏特伏特

19、 = 1.60210-19 焦耳焦耳kTt23 KkTt323191074. 71038. 1310602. 1232 非平衡等离子体：非平衡等离子体：在日光灯中，电子温度约为在日光灯中，电子温度约为 20000 K,而离而离子子及及大量中性原子温度约为室温，这种电子大量中性原子温度约为室温，这种电子和离和离子温度各不相同子温度各不相同的等离子体叫非平衡等的等离子体叫非平衡等离子离子体。为什么？体。为什么？21例例 2. 某气体在温度某气体在温度T = 273K时，压强为时，压强为p=1.0 10-2atm, 密度密度 =1.24 10-2kg/m3。求：该气体分子的方均根速率求：该气体分子的

20、方均根速率?2 v解解:mkTv32 不能直接使用不能直接使用!nkTp 22521024. 11010013. 13 v pmnpv332 npkT )(495sm 22自由度数：自由度数：确定一个物体的空间位置所需要的独立确定一个物体的空间位置所需要的独立 坐标的数目，称为该物体的坐标的数目，称为该物体的自由度数自由度数。一个一个质点质点的自由度的自由度t = 3 (x,y,z)刚体刚体的自由度的自由度质心的平动：质心的平动：t = 3绕质心的转动：绕质心的转动： r = 3共计共计 6 个自由度个自由度由由弹簧联结的两个小球弹簧联结的两个小球构成的系统构成的系统质心的平动：质心的平动：

21、t = 3两小球连线轴方位：两小球连线轴方位： r = 两小球的相对位置：两小球的相对位置： s = 1共计共计 6 个自由度个自由度共计共计 3 个自由度个自由度23二、刚性双原子分子二、刚性双原子分子 (如如 H2)暂不考虑双原子之间的振动，即认为分子是刚性的。暂不考虑双原子之间的振动，即认为分子是刚性的。质心平动自由度：质心平动自由度： t = 31coscoscos222 所以只有两个独立坐标，所以只有两个独立坐标，称为称为转动自由度转动自由度，表示为表示为 r = 2。刚性双原子分子总自由度数：刚性双原子分子总自由度数：i = t + r = 3 + 2 = 5一、单原子分子一、单原

22、子分子 (如如He)同质点，具有同质点，具有 3 个个平动自由度平动自由度，用，用 t = 3 表示。表示。两原子连线定位：两原子连线定位： xyzo 24三、刚性三原子分子三、刚性三原子分子 (如如H2O)刚性三原子分子总自由度数：刚性三原子分子总自由度数： i = t + r = 3 + 3 = 6四、刚性多（三个以上）原子组成的分子四、刚性多（三个以上）原子组成的分子的的 总自由度数总自由度数同刚性三原子分子同刚性三原子分子 考虑考虑 3 号原子绕号原子绕 1、2 号号连线转动，需一角量连线转动，需一角量 ，为转动自由度。为转动自由度。五、五、n 原子组成的分子的原子组成的分子的总自由度

23、数总自由度数3n其中：其中： 3 个平动自由度个平动自由度 3 个转动自由度个转动自由度 3n-6 个振动自由度个振动自由度 当分子运动受到某种当分子运动受到某种约束或限制时，其自约束或限制时，其自由度相应减少由度相应减少 123xyzo 25kTt23 一个分子的平均平动动能为一个分子的平均平动动能为考虑到考虑到222231vvvvzyx 222212121zyxvmvmvm kT21 22131vm各对应一个平动自由度各对应一个平动自由度kT21平均平动动能在三个平平均平动动能在三个平动自由度间平均分配。动自由度间平均分配。关于分子热运动动能的统计规律，是对大量分子统关于分子热运动动能的统

24、计规律，是对大量分子统计平均的结果，靠无规碰撞来实现。计平均的结果，靠无规碰撞来实现。26一、气体分子的平均总动能一、气体分子的平均总动能设分子有：平动自由度设分子有：平动自由度 t ，转动自由度，转动自由度 r，振动自由度，振动自由度 v单原子分子单原子分子 kTk23 刚性双原子分子刚性双原子分子kTk25 刚性多原子分子刚性多原子分子kTk3 分子平均总动能：分子平均总动能：1()=22kitrvkTkT室温至几百度下，实际多原子分子的振动自由度被冻室温至几百度下，实际多原子分子的振动自由度被冻结（量子效应），实际分子可当做刚性分子处理。结（量子效应），实际分子可当做刚性分子处理。27理

25、想气体模型理想气体模型的的单原子分子单原子分子 2z2y2x平动mvmvmvE212121 刚性双原子分子刚性双原子分子除平动能，还有除平动能，还有转动能：转动能：z2yy2xxIIE2121 动转转非刚性双原子分子非刚性双原子分子除平动能、转动能，除平动能、转动能，还有对应于一个振还有对应于一个振动自由度的振动能：动自由度的振动能：2动krrE21212 振振每个转动自由度分配平均动能每个转动自由度分配平均动能kT21每个平动自由度分配平均能每个平动自由度分配平均能kT21每个振动自由度分配平均能每个振动自由度分配平均能 2 倍倍kT21非刚性双原子分子室温下的平均总能量：非刚性双原子分子室

26、温下的平均总能量：kTk25振动自由度只有在振动自由度只有在较高温度（几千度）较高温度（几千度）下才激发起来下才激发起来28二、理想气体的内能二、理想气体的内能气体的内能气体的内能 = 总动能总动能 + 总势能总势能理想气体的内能理想气体的内能 = 总动能总动能 + 0 mol 理想气体的内能：理想气体的内能：kTiNNEAkA2 RTiE2 理想气体分子之理想气体分子之间无相互作用力间无相互作用力1 mol 刚性多原子分子气体内能：刚性多原子分子气体内能：1 mol 刚性双原子分子气体内能：刚性双原子分子气体内能：1 mol 单原子分子气体内能：单原子分子气体内能：RTE23 RTE3 RT

27、E25 理想气体的内能是温度理想气体的内能是温度 T 的单值函数的单值函数 TRiE 2定体摩尔热容量定体摩尔热容量RidTdE)dTdQ(CmVV,m2 293031一个一个螺旋肽分子的热运动螺旋肽分子的热运动。灰灰色、红色及蓝色的球分别代表碳、色、红色及蓝色的球分别代表碳、氧及氮原子，而小白球则代表氢原子。氧及氮原子，而小白球则代表氢原子。一、统计规律性一、统计规律性（伽耳顿板（伽耳顿板实验实验）1. 单个小球落入某特定狭槽是个偶然事件。单个小球落入某特定狭槽是个偶然事件。2. 少量小球按狭槽的分布也带有明显的偶然性。少量小球按狭槽的分布也带有明显的偶然性。3. 大量小球按狭槽的分布是确定

28、的，遵从一种大量小球按狭槽的分布是确定的，遵从一种 统计分布规律统计分布规律。可将可将统计规律统计规律可推广到气体可推广到气体分子的无规则运动分子的无规则运动的描述：的描述： 任一时刻，各个分子都具有不同的位置和速度；同一任一时刻，各个分子都具有不同的位置和速度；同一 分子在不同时刻也处在不同的运动状态。分子在不同时刻也处在不同的运动状态。 但对处于平衡态下的所有分子而言，处在一定空间范但对处于平衡态下的所有分子而言，处在一定空间范 围及速度间隔的分子数目却是确定的。围及速度间隔的分子数目却是确定的。32式中式中 Ni/N 表示速率位于表示速率位于vi到到vi+v v 区间内的分子数占总区间内

29、的分子数占总分子数的百分比分子数的百分比,或分子位于或分子位于vi到到vi+v v 区间内的概率。区间内的概率。分子速率千变万化，而与速率相关联的统计平均却保持分子速率千变万化，而与速率相关联的统计平均却保持不变，这说明在无序的分子热运动背后存在一种稳定的不变，这说明在无序的分子热运动背后存在一种稳定的气体分子按速率的分布，气体分子按速率的分布，二、速率分布函数二、速率分布函数222iiN vNvvNNiiii21322mvkT速率处于速率处于v 处单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。处单位速率区间的分子数占总分子数的百分比。分子速率处于分子速率处于 vi 处单位速率区间内的概率处单位速率

30、区间内的概率vNNi1iNv v 很小时，可认为很小时，可认为 vNNvNNvfvdd11lim0速率分布函数速率分布函数 33设气体的总分子数为设气体的总分子数为N。显然，分子的最小速率为。显然，分子的最小速率为 0，最大速率原则上不受限制，因此最大速率原则上不受限制，因此 v0dvvfNdNv)( 速率分布律速率分布律 速率分布函数速率分布函数 f(v) 代表分子速率处于在代表分子速率处于在 v 附近单位速附近单位速率间隔内的概率，因此也叫做率间隔内的概率，因此也叫做概率密度概率密度。即：所有速率区间的分子数占总分子数的比例之和为即：所有速率区间的分子数占总分子数的比例之和为1。归一化条件

31、归一化条件1)(0 dvvf速率的平方的平均速率的平方的平均 022dvvfvv34dvevkTmNdNkTmvv2/223224 麦克斯韦速率分布函数：麦克斯韦速率分布函数： kTmvevkTmvf2223224 麦克斯韦给出：在平衡态下麦克斯韦给出：在平衡态下,气体分子速率在气体分子速率在 区区间内的分子数间内的分子数占总分子数的比例占总分子数的比例为为dvvv 遵守玻耳兹曼分布律遵守玻耳兹曼分布律也可理解为在平衡态下也可理解为在平衡态下,一个气体分子的一个气体分子的速率速率在在 区区间内的的间内的的概率。概率。dvvv 350v)(vf一、麦克斯韦速率分布函数及曲线的意义一、麦克斯韦速率

32、分布函数及曲线的意义1.在平衡态下，气体分子按速率分布特点是中间多，在平衡态下，气体分子按速率分布特点是中间多，两头少。两头少。pv 的的物理意义：物理意义： 一定温度下，对相同的速率区一定温度下，对相同的速率区间，间， 所在区间内的分子数占总所在区间内的分子数占总分子数的百分比最大，分子数的百分比最大，气体分子气体分子出现出现在在 所在区间内的几率最大。所在区间内的几率最大。 pvpvpv2. 存在存在一个极大一个极大值值 ，对应的速，对应的速率率 为为最概最概 然速率然速率(最可几速率最可几速率)。pv)(pvf)(vf)(pvf36MRTMRTmkTvp41. 122 最概然速最概然速率

33、率 的确定的确定pv由由得得0/ )( dvvdf121)8( ekTmvfp ）（若令若令 ，则麦克斯韦速率函数可改写为如下，则麦克斯韦速率函数可改写为如下便于记忆的形式便于记忆的形式pvvu/ 224ueuuf ）（37温度越高，速率大的分子数越多。温度越高，速率大的分子数越多。3.最概然速率与温度关系最概然速率与温度关系A. 某种气体，某种气体，分子质量分子质量 一定，一定，温度不同温度不同时时321TTT )()()(321pppvfvfvf 321pppvvv 但保持但保持 曲线下的总面积曲线下的总面积)(vf1)(0 dvvf0T1T2T3v1pv2pv3pv)(1pvf)(vf)

34、(3pvf)(2pvf38321mmm B.相同温度下，不同种气体相同温度下，不同种气体质量越小，速率大的分子数越多。质量越小，速率大的分子数越多。321pppvvv m1m2m30v1pv2pv3pv)(1pvf)(vf)(3pvf)(2pvf39二、麦克斯韦速率分布律的应用二、麦克斯韦速率分布律的应用dvvNfdN)( 它们的速率之和它们的速率之和dvvvNf)( 全部全部N个分子的速率之和个分子的速率之和 0)(dvvvNf平均速率平均速率 00)()(dvvvfNdvvvNfv速率速率在在 区间的分子数区间的分子数dvvv mkTv 8 1.平均速率平均速率vMRT60. 1 MRT

35、8 402.方均根速率方均根速率数学定义数学定义NNvviii 22物理应用物理应用NdNvv 022mkTv32 mkT3 NdvvfNv 02 dvvfvv 022MRT73. 1 MRT3 41三个统计速率的应用三个统计速率的应用讨论平均自由程时应用。讨论平均自由程时应用。讨论分子的平均平动动能时应用。讨论分子的平均平动动能时应用。2vvvp MRTv8MRTvp2MRTv32讨论速率分布时应用，它给出讨论速率分布时应用，它给出了了 极大值的位置，随温度极大值的位置，随温度增高而向增高而向 增大的方向移动。增大的方向移动。v)(vfvpvv2v)(vf42例例1. f(v) 是速率分布函

36、数，试说明下列各表达式的物理是速率分布函数，试说明下列各表达式的物理意义。意义。 速率在速率在 v 附近单位速率间隔内的分子数。附近单位速率间隔内的分子数。 速率在速率在 附近附近 d 速率间隔内的分子数速率间隔内的分子数 占总占总 分子数的比例。分子数的比例。平均速率平均速率平均平动动能平均平动动能归一化条件，所有速率区间内的分归一化条件，所有速率区间内的分子数占总分子数的比例之和为子数占总分子数的比例之和为1。(3) 0)(dvvvf(1)(vNf(2)dvvf)(4) 02)(21dvvfmv(5)1)(0 dvvf43 速率小于最概然速率速率小于最概然速率 vp 的分子数。的分子数。速

37、率为速率为 v1 到到 v2 的分子的平均速率。的分子的平均速率。最概然速率最概然速率 vp 附近附近 dv 速率间隔的速率间隔的分子数占总分子数的比例。分子数占总分子数的比例。速率为速率为 v1 到到 v2 的分子的的分子的总平动动能。总平动动能。(6)dvvfp)(9) 2121vvvvf(v)dvvf(v)dv(8) pvdvvf)(7) pvdvvfN0)(10) 2121vv2f(v)dvvNm 的分子数占总分子数的比例。的分子数占总分子数的比例。pvv 44例例2.己知：有己知：有N个假想的气体分子个假想的气体分子,其速率分布如图所其速率分布如图所示示, v 2v0 的分子数为零。

38、的分子数为零。N，v0己知。己知。求：求：1. b=? 2.速率在速率在v0-2v0之间的分子数之间的分子数=?3.分子的平均速率分子的平均速率=? 0,2,2,000000 vfvvbvfvvvvvbvfvvv02v0b0vf(v)写写出出 函数函数解：解：)(vf45(1) 求求 b=?: 1 dvvf0032vb v02v0b0vf(v)由归一化条件由归一化条件 10000232201 dvvfdvvfdvvfvvvv 12200200 vvbvvb10000200 vvvdvbdvvvb另法：另法：1001002100 bvbvS由图可有面积由图可有面积 S032vb 46(2) 求求

39、v0 - 2v0间的间的分子数分子数: dvvfNN002vv21 002vvbdvNNvvNNbv3232000 v02v0b0vf(v)(3) 求平均速率求平均速率:由定义由定义 dvvfvv0 00002201 dvvfvdvvfvvvvv 0002vvv00dvbvdvvbvvv0119 47 222322deddd2xyzm vvvkTxyzNmvvvNkT 分子速度处于分子速度处于vx vx+ dvx， vy vy+ dvy ， vz vz+ dvz 区间内的分子数占总分子数的百分比区间内的分子数占总分子数的百分比2322242mvvkTdNmv edvNkT 麦克斯韦速率分布律麦

40、克斯韦速率分布律：在平衡态下：在平衡态下,气体分子速率在气体分子速率在 区区间内的分子数占总分子数的比例间内的分子数占总分子数的比例dvvv 48vxvzOv+dvvyvxvzvdvvxvyvzzvOxvdyvdyv分子在速度空间中不同状态区间内的分布分子在速度空间中不同状态区间内的分布vv+dvvx vx+ dvx vy vy+ dvy vz vz+ dvz49zz+dzn，pn+dn，p+dpz由力学平衡条件由力学平衡条件(d )dA ppnmgA zAp地球表面大气层中分子数密度随高度的分布地球表面大气层中分子数密度随高度的分布等温气压公式等温气压公式ddpnmg z 0expmgzn

41、znkT 0expmgzp zpkTddnmgznkTpnkT 由由得得50 气体分子处于位置区间气体分子处于位置区间 x x+ dx，y y+ dy ， z z+ dz 内内,分子速度处于分子速度处于vx vx+ dvx， vy vy+ dvy ， vz vz+ dvz 区间内的分子数占总分子数的百分比区间内的分子数占总分子数的百分比d( , , ,)d( , , ,)d( , , )d( , , )xyzxyzN x y z vvvN x y z vvvN x y zNN x y zN 22232202ded d d d d dxyzm vvvmgzxyzkTxyzN xyzvvvnmx

42、y z vvvNNkT ， ， ， ， ，51玻耳兹曼分布律是麦克斯韦速率分布律的推广，其中玻耳兹曼分布律是麦克斯韦速率分布律的推广，其中状态状态 对应于一定能量值，对应于一定能量值，也就是说，在能量越大的状态，粒子也就是说，在能量越大的状态，粒子 数就越少，且随能量值增大按指数规律衰减。数就越少，且随能量值增大按指数规律衰减。 重力场中分子按高度分布：重力场中分子按高度分布：mgh/kTheNdN 0分子按平动动能大小分布：分子按平动动能大小分布：/2kTmv/kTEEeeNdNkk20 分子按转动动能大小分布：分子按转动动能大小分布：/kTEEririeNdN 0)10(KkEr 分子按振动动能大小分布：分子按振动动能大小分布：/kTEEsisieNdN 0)1000(KkEs 玻耳兹曼分布律：玻耳兹曼分布律：在温度为在温度为 T 的平衡态下，任何系的平衡态下，任何系 统的微观粒子按统的微观粒子按状态状态分布。分布。E/kTEeNdN 52一、实际气体（一、实际气体（CO2 ）等温线）等温线v（10-3 l /mol）P (atm)95.50455072.3K48.1 OC31.1OC13OC实际气体的等实际气体的等温线可