高等数学方法讲解(中国矿业大学王升瑞)完整

1、1高等数学方法主讲教师主讲教师: : 王升瑞王升瑞 第一讲2唯有奋斗最风流!惜时如金3培根说培根说：历史使人聪明，诗歌使人机智，数学使人精细。马克思马克思：一门科学只有当它达到了能够成功地运用数学，才算真正发展了。伽利略认为伽利略认为：宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学的语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，华罗庚华罗庚：数学是最宝贵的研究精神之一。科学家语录科学家语录什么也看不清。勤能补拙是良训，一分辛苦一分才。4华罗庚华罗庚 （1910 - 1985）“聪明在于勤奋聪明在于勤奋, , 天才在于积累天才在于积累”“学而优则用学而优则用, , 学而优则创学而优则创”“由薄到厚由薄到厚 ,

2、,由厚到薄由厚到薄”注意问题注意问题：认真听课，扼要记录，认真听课，扼要记录， 多做题目，总结规律多做题目，总结规律。5此刻打盹，你将做梦，学习时的痛苦是暂时的， 未学到的痛苦是终身的；学习这件事，不是缺乏时间，学习不是人生的全部，请享受无法回避的痛苦；哈佛图书馆的训诫哈佛图书馆的训诫但是人生的一部分;只有比别人更早，更勤奋的努力，此刻学习，你将圆梦；而是缺乏努力；学习也无法征服，还能做什么呢？才能尝到成功的滋味；6谁也不能随随便便成功，狗一样地学习，绅士一样地玩；今天不走，明天要跑；教育程度代表收入；哈佛图书馆的训诫哈佛图书馆的训诫没有艰辛，便无所获。它来自彻底的自我管理和毅力；即使现在，对

3、手也不停地翻动书页；7科学方法是打开科学殿堂大门的科学方法是打开科学殿堂大门的钥匙钥匙 , 是由必然王国通向自由王国的是由必然王国通向自由王国的桥梁桥梁。数学方法是数学的数学方法是数学的灵魂灵魂高等数学方法高等数学方法（上）（上）8参 考 书张晓宁、李安昌张晓宁、李安昌： 高等数学方法高等数学方法 中国矿业大学出版社，2002.9目目 录录第一讲第一讲 高等数学中的分析问题和解决问题 方法第二讲第二讲 研究函数与极限的基本方法第三讲第三讲 导数的计算方法及微分中值定理应用第四讲第四讲 导数应用的方法第五讲第五讲 积分学的概念、性质和不定积分的 计算法第六讲第六讲 定积分的计算、证明和解应用问题

4、 的方法第七讲第七讲 试题类型及解题方法分析10前言一一. 为什么要学为什么要学“高等数学方法高等数学方法 (参考前言第一段参考前言第一段)1. 科学方法的重要性科学方法的重要性科学科学是什么 , 为什么:技术技术做什么 , 怎么做:科学方法科学方法桥梁与钥匙。反映自然、 社会、思维的客观规律的分科的知识体系。进行物资资料生产所凭借的方法和能力。11数学数学思维的体操科学的语言生活的需要(思路思路)(表达表达)(应用应用)数学方法数学方法对数学规律的认识对数学规律的认识思维方法解题方法(是数学的灵魂是数学的灵魂)2. 数学方法的含义数学方法的含义12二二. “高等数学方法高等数学方法”的结构与

5、学习方法的结构与学习方法(参考前言第二、三段参考前言第二、三段)第一部分第一部分 (第一至第七章)每节包含: 方法指导, 实例分析, 相关问题第二部分第二部分 (第八至第十一章)包括综述和提高(从古典数学向近代数学靠拢 )学习方法学习方法:1. 掌握数学内容和数学方法相结合；2. 重视分析问题和解决问题的方法；3. 学习要纵横结合 , 着眼于提高数学素养。13第一讲第一讲 高等数学高等数学中的中的 分析问题分析问题 和和 解决问题解决问题 方法方法14一一. 数学模型及数学建模方法数学模型及数学建模方法 ( P511 , 第一节第一节 )数学模型数学模型客观实际问题内在规律性的数学具有形式化形

6、式化、符号化符号化、简洁化简洁化的特点.是一种高度抽象的模型. 有狭义狭义和广义广义两种解释 .数学建模方法数学建模方法 实验归纳法 理论分析法 ( P514 )物理模型数学模型求解和分析结构.许多物理中的概念都要借助于高等数学中的数学结构才能说的清楚。15可无限逼近可无限逼近例如例如 , , 为什么用为什么用N及语言定义极限语言定义极限 ? ? 用圆内接正多边形面积逼近圆面积用圆内接正多边形面积逼近圆面积A . .orn圆内接正n边形的面积为nA),5,4,3(n,0N(正整数) , 当Nn 时, 有, AAn记作记作.limAAnn精度要求精度要求边数足够多边数足够多找出找出利用极限知识可

7、求出 :nAlim2rnncossinn2rnnrcossin2n16 测量圆面积测量圆面积2rA直接观测量为r间接观测量为A.半径真值为0r面积真值为0A测量圆半径得r计算圆面积为2)(rrf任给精度,0要使0)(Arf寻找精度,0让0rr记作20200lim)(limrrrfrrrr17又如又如 , 为什么用增量比的极限定义导数为什么用增量比的极限定义导数 ?运动规律)(tss 平 均 速 度ts0limt瞬 时v速度函数)(tvv 平 均 加速度tv0limt瞬 时a转动规律)(t平 均 角速度t0limt瞬 时电量函数)(tqq 平 均 电流强度tq0limt瞬 时I质量分布)(xmm

8、 平均线密度xm0limx光滑曲线)(xyy 割 线 斜 率xy0limx切 线k抽象抽象: 定义导数xyyx0lim( 描述变化率问题 )18再如再如 , 椅子稳定问题椅子稳定问题 (P515P516)假设假设: 四条腿一样长 ; 地面为连续曲面 .建模建模:设 A , C 两脚与地面的距离之和为,0)(2CgB , D 两脚与地面的距离之和为,0)(2CfABCDABCD不妨设,0)0(g,0)0(f且对任意有,0)()(gf证明存在, ),0(02使.0)()(00gf19证明证明: 设)()()(gfh,0)0(h, ,0C2又,0)(h2由连续函数零点定理可知 , 存在, ),0(0

9、2使0)(0h即)()(00gf又知,0)()(00gf所以0)()(00gf思考思考: 对长方形板凳的稳定问题如何考虑?不妨设,0)0(g,0)0(f且对任意有,0)()(gf证明存在, ),0(02使.0)()(00gf2（转后，对角线互换）。提示提示：相邻两脚之和，并旋转1800。20二二 .几种常用的分析问题的方法几种常用的分析问题的方法 (P444-455)1. 简化方法简化方法 2. 直观分析法直观分析法3. 逆向分析法逆向分析法 4. 类比法类比法1. 简化方法简化方法复杂问题 简单问题分解法分解法变换法变换法换元法换元法递推法递推法转化法转化法216ln6ln3ln)(23xx

10、xxf单调递减。 提示提示: 令,ln xt )663()(23tttetgt)0(0)(3ttetgt31)(xxxfx)1(x则转化为讨论下述函数在 t 0 时单调递减 . 注意说明说明 1. ) 1()()(33xxxfxg与具有相同的极值点 , 故可用后者代替前者讨论极值 2. 有些复合函数的单调性问题 , 可利用组成它的简单例例1. 证明问题与单调性问题 . 函数链的单调性传递得出 . 如 P445例1.22 设, 求提示：将函数化为提示：将函数化为则)24cos(41)(nxynnxxy44cossin.)(ny例例2.442222sincos2sincos2sincosyxxxx

11、xx221 2sincosxx 211sin 22x xy4cos41431 cos414x 232. 直观分析法直观分析法 通过特例或图形，寻找规律、方法和结论. 与几何形体有关的问题应尽量画图寻求启示. 有关几何应用画出图形找几何关系 . 填空题和选择题可用增强条件的方法找结论.24)(xf的图形关于例例1. 设定义在实数域上的函数直线ax 及)(abbx对称 , 试证)(xf为周期函数 . ( P.447 例例4 )oyxax bx x)(xfxa2)(2abx直观分析直观分析:任取一个实数, xxa()2,aaxax2axxb(2)2(), bbaxxba( )(2)(2()f xfa

12、xf xba因此有)(xf是周期为)(2ab的函数 .它关于直线的对称点为而关于直线的对称点为显然可猜想25)(xf的图形关于例例1. 设定义在实数域上的函数直线ax 及)(abbx对称 , 试证)(xf为周期函数 . ( P.447 例例4 )oyxax bx x)(xfxa2)(2abx证证:, ),(x有)(2(abxf)2(xaf)(xf因此)(xf是周期为)(2ab的函数 .26拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 )( (1) 在区间 a , b 上连续)(xfy 满足:(2) 在区间 ( a , b ) 内可导至少存在一点, ),(ba使.)()()(abafbffxyoab)(xf

13、y 思路思路: 利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然 ,)(x在 a , b 上连续 , 在 ( a , b ) 内可导, 且证证: 问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立 ., )(babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕27例例2 证明拉格朗日中值定理时如何设辅助函数?分析分析:)(xfy Cxyabafbf)()(由图可知 , 设辅助函数CxabafbfxfxF)()()()(C 为任意常数 )都可使 F( x ) 在 a , b 上因此所设辅助函数不唯一 .oyx

14、ab满足罗尔定理条件 ,28例例3.3.如何求函数)(xfy 的斜渐近线?bxay分析分析: :oyxx)(xfy bxay由图可知, 若曲线)(xfy 有斜渐近线,bxay则必有0)()(limbxaxfx从而xxlimxbxxfa)(0 xlimxbxxfa)(0,lim)(xxfxa)(limxaxfbx29例如例如 , 求曲线12( )xf xxe的斜渐近线。解解:xxfxa)(lim)(limxxfbx21limxex11lim21xexx21limxxx0所以曲线有斜渐近线.xy 3032(1)xyx32yx32(1)limlimxxyxkxx x32(1)lim()lim()xx

15、xbykxxx的斜渐近线方程。解解 所求 斜渐近线方程为 2、求曲线321lim (1)1xxx321lim(1)1xx2005考研考研3 13lim22xxx31)(xf),(ba)(xf )(,(),(,(bfbBafaA)(xfy ,)(,(cfcC,bca),(ba 在,ba上连续, 在内存在 , 连接两点的直线交曲线于且试证至少存在一点使.0)( f提示提示:如图所示, 有),(),( )()()()(2121bccaabafbfff)(xf 在,21上应用Rolle定理。1 2 CacbAB对（ P118 题题7 ）例例4.4.已知32逆向思维反推 执果溯因反证 利用正命题与逆否命

16、题等价，反例 找反例说明原命题不正确3. 逆向分析法逆向分析法多用于否命题。33设函数 在 0,1 上二阶可导 , 且证明至少存在一点 ,使 .0)() 1()(2 ff) 1 , 0(提示提示: 设辅助函数)() 1()(2xfxxF )() 1()() 1()() 1(222 xfxxfxxfx在0,1上满足 Rolle 定理 ,可知有 , 再对 F(x) 在)(xf)(xf0)( f1 ,),0() 1 (ff从结论入手, 注意到利用上用 Rolle 定理.例例1.34在 上连续,在 内可导,且,试证存在 使得)(xf,ba),(ba0)( xfeabeeffab)()(提示提示:转化为

17、证efeeabfab)()(上满足 Lagrange 定理条件 ,使,)()()(abfafbf则只需证明efeeafbfab)()()(可见只要对)(xf)(xf),(ba ,),(ba上用 Cauchy 中值定理.( P450,考研考研98 )由于在,ba则有xe,ba及在例例2. 设函数350!100!211002xxx无实根.( P451 例例7 )提示提示:用反证法. 假设有实根) 10(!101!100!211011002 xexxxexx代入,0 xx 1010!10100 xeexx 上式两边异号上式两边异号, 矛盾, 假设不真!,00 x,0 x利用显然则有例例3. 证明方程

18、2100000102!100!xxx36高等数学方法主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞 第二讲37 类比是找相似性, 是发现问题和解决问题的重要方法。 4. 类比方法类比方法38计算极限)2)(1(143213211limnnnn提示提示:类比下列极限) 1(1321211limnnn)111()3121()211 (limnnn111limnn例例 1( P453 例例9)2)(1(1kkk2112limn3223) 1() 1(nnnn)2)(1()2(21kkkkk139计算极限)2)(1(143213211limnnnn提示提示:类比下列极限例例 1( P453 例例9)2)(1(1kk

19、k)2)(1()2(21kkkkk1112(1)(1)(2)k kkk1 112 24) 1(1321211limnnn111limnn111(1)(2)nkk kk11112(1)(1)(2)nkk kkk111112(1)(1)(2)nnkkk kkk1111(1)(1)2122nnn 40练练 习习NnNn1211lim(1) 1() 1(1) 1(321211limknnnkkn(2)求下列极限 :11lim(1)2NNnn n1112 lim()1NNnnn2提示：如例1类推41练练 习习)11 (lim22nknk(3)求下列极限 :)11111222kkkkkkk( 提示 :1

20、3 2 4 3 5111lim()2 2 3 3 4 42nnnnn42利用Lagrange 微分中值定理易推出 :若)(xf 在 a , b 上严格单调增加严格单调增加 , 则)()()()(bfabafbfaf例例2. 证明下列不等式 :nnxxxnnxnn212lnlnloglog) 1(ln) 1(ln) 1 ()1, 1(nx)1, 1( ln) 1()2(2121nanaaaanannnn43nnxxxnnxnn212lnlnloglog) 1(ln) 1(ln) 1 ()1, 1(nx提示提示: 将不等式改写为nnnn) 1(ln) 1(ln11设1( ), ,1lnf ttn

21、nt易证21( ).lnf ttt 若)(xf 在 a , b 上严格单调增加严格单调增加 , 则)()()()(bfabafbfaf) 1(ln) 1(12nnnn2ln122lnlnlnln(1)(1)ln (1)lnln(1)lnxxxxnnnnnn. )1(0)( ttf44)1, 1( ln) 1()2(2121nanaaaanannnn提示提示: 设,)(1tatf易证12ln( )(1).taaf tntnt 若)(xf 在 a , b 上严格单调增加严格单调增加 , 则)()()()(bfabafbfaf14ln (ln2 )( )0 (1).taaatftntnt 11111

22、122lnln (1,1)(1)nnnnaaaaaaannn 45说明说明: 类似应用 Cauchy 中值定理易推出若, )()()(bxaMxgxfN则MagbgafbfN)()()()(利用此不等式可证明很多有用的不等式 . 例如)20(1cos2122xxxx提示提示: 原式可为)20(100coscos2122xxx令,)(,cos)(2xxgxxf易证xxxgxfsin21)()(在 严格单调增加 .)2,0(10cos只需证22coscos02xxx 46xxxgxfsin21)()(在 严格单调增加 .)2,0(2( )1 sinsincos( )22fxxxxxg xxx 易证

23、( )sincosh xxxx令( )sin0h xxx( )(0)0h xh( )0( )fxg x( )( )fxNMg x)20(100coscos2122xxx)20(1cos2122xxxx即则47三三. .几种常用的证题方法几种常用的证题方法1.分析综合法分析综合法2. 设辅助函数法设辅助函数法3. 反证法反证法 证明题是考核基本理论、基本运算掌握情况和逻辑推理能力的重要题型通过“执果溯因”寻找证明的途径,利用“由因导果”写出证明过程.1. 分析综合法分析综合法48设 为正实数,试证ba,提示提示:xxxfln)(为), 0( )0.fxbabababa)(22ln)(lnlnba

24、babbaa2ln22lnlnbababbaa上的上凹函数在 上，(0,)( )ln ,( )ln1f xxxfxx( P473 例例12 )例例1.满足49在 上可导, 且 , 证明至少存在一点 使)(xf,ba),(ba ba 0)()(1)()(bfafbabaff 提示提示: 方法方法1因为1( )( )abf af bab可考虑对函数xxGxxfxF1)(,)()(在区间 a , b 上用 Cauchy 中值定理 .baafbbfa)()(abaafbbf11)()( P81 例例10 )例例2 设( )( )11f bf ababa22( )( )1ff( )( )ff50例例2

25、设一点 使),(ba )()(1)()(bfafbabaff 提示提示:令)()(1bfafbaabk 方法方法2故可考虑对问题等价于证明)(fxkxfxF)()(Rolle 中值定理.0)( kf在 a , b 区间上用在 上可导, 且 , 证明至少存在)(xf,baba 0baafbbfa)()(即( )( )()a f bb f ak ab ( ) ( )a f bkb f ak( )( )f bkf akba51利用辅助函数证明等式或不等式是一种重要的证明方法.如:寻找辅助函数一般用逆向分析法. 通过设辅助函数, 利用微分或积分中值定理 证明等式或方程零点的存在. 通过讨论辅助函数的单

26、调性或最值,证明 相关不等式.2. 设辅助函数方法设辅助函数方法52例例1. 设)(xf在 上连续且可导, 并有 n 个不同的),0零点120.nxxx 证明证明: 对任意常数 a ,)()(xfxfa在 上至少有 ),0提示提示: 设辅助函数)()(xfexFxa在)1,2, 1(,1nixxii上用 Rolle 定理 . n -1 个不同的零点.( )( )( )axF xea f xfx( )( )0iaxiiF xef x( )( )( )0iaiiiFea ff11,2,1.iiixxin( )( )0iia ff53设函数 和 在 上二阶可导, 且)(xf)(xg,ba提示提示:只

27、要证,0)()()()( gfgf且依据乘积导数法则想到设辅助函数)()()()()(xgxfxgxfx )(x ,ba在( )0,( , )gxxa b(用反证法)再证明 上满足 Rolle 定理条件, 0)( xg试证至少存在一点,),(ba使)()()()( gfgf ( P475 例例15,考研考研95 )( )0.g例例 2., 0)()()()(bgagbfaf( )0 即,0)()()()( gfgf54例例3. 设)(,)(xgxf在 上二阶可导,且,ba,)()(bfaf,)()(bgag证明: 存在 使, ,ba)()(2)()()()()()(gfgbgaffgf 提示提

28、示: 只需证)()()()(2)()(gfgfgf ,0)()()()( gafbgf即证:0 )()(xxgxf)()()()(xgafbgxf设辅助函数)()()()()()()()()(xgafbgxfxgxfxgxfx证明)(x在 a , b 上满足Rolle 定理 .)()(xgxf55设 , 求证eababba提示提示:方法方法1. 设设证明它在单调增增;方法方法2. 设设,lnln)(xaaxxF证明它在单调减减。baabbaablnlnxxxFln)(),a),abbaalnln例例4.563. 反证法反证法反证法是一种逆向分析方法, 是通过否定命题的结论 , 引导出与题设条件或已知结论矛盾的结果来证明明原命题的正确性.反证法多适用于直接推证时已有知识点较少或比较困难的命题. 如果所证结论中含有“不可能不可能”、 “不存在不存在”、“至多至多”、 “至少至少”、“唯一唯一”、 “大于大于” 或或 “小小于于” 等字眼时 , 一般多考虑用反证法.57abba2222122xxbabalnlnlnbabalnlnlnabablnlnabbealn1c