动量及动量守恒定律

1、第三章动量及动量守恒定律3-13-1、质点和质点系的动量定理、质点和质点系的动量定理大小大小：mv 方向：速度的方向方向：速度的方向单位：单位：kgm/s 量纲：量纲：MLT11、动量、动量 （描述质点运动状态，矢量）（描述质点运动状态，矢量）vmP方向：速度变化的方向方向：速度变化的方向单位：单位：Ns 量纲：量纲：MLT12 2、冲量、冲量 （力的作用对时间的积累，矢量）（力的作用对时间的积累，矢量）I （1） 恒力的冲量恒力的冲量tFI （2） 变力的冲量变力的冲量11tF 22tF iitF nntF I的方向不同的方向不同!注意：冲量注意：冲量的方向和瞬时力的方向和瞬时力IF当力连续

2、变化时当力连续变化时21ttdtFI把作用时间分成把作用时间分成 n 个个很小的时段很小的时段 ti ，每个每个时段的力可看作恒力时段的力可看作恒力nntFtFtFI2211iiitFtFx：冲量：冲量图线与坐标轴所围的面积。图线与坐标轴所围的面积。在数值上等于在数值上等于xI 212121ttzzttyyttxxdtFIdtFIdtFI分量式：分量式：（注意可取（注意可取 + -号）号）0t+xF1t2t2112 ttdtFIPPF 为恒力时，可以得出为恒力时，可以得出IF tF 作用时间很短时，可用力的平均值来代替。作用时间很短时，可用力的平均值来代替。质点所受合外力的冲量，等于该质点动量

3、的增量。质点所受合外力的冲量，等于该质点动量的增量。这个结论称为动量定理。这个结论称为动量定理。2121ttPPdtFPddtFPd dtPdF 21ttdtFI3、质点的动量定理、质点的动量定理1212,21ttvmvmtPFtFPdtFItt冲量有两种求法：冲量有两种求法：zzzyyyxxxmvmvImvmvImvmvI121212注意：注意：1、动量为状态量；动量为状态量；3、动量定理可写成分量式，即：、动量定理可写成分量式，即：4、质点的动量定理的应用、质点的动量定理的应用（1）由动量的增量来求冲量；）由动量的增量来求冲量；（2）进而求平均冲力，）进而求平均冲力，tmvmvFxxx12

4、tFPXX1一定时，当增大作用时间，缓冲增大作用时间，缓冲2、冲量为过程量、冲量为过程量，是力的作用对时间的积累，是力的作用对时间的积累。4、质点系的动量定理、质点系的动量定理一、质点系的动量定理一、质点系的动量定理 质点系（内力质点系（内力 f、外力外力F F ） 两个质点（两个质点（ m1、m2 ）的系统的系统dtPdfFFfm1111,:dtPdfFFfm2222, :dtPddtPdFFff2121dtPddtPdfFfF2121两式相加两式相加 n个质点的系统个质点的系统 由于内力总是成对出现的，其矢量和为零。所以：由于内力总是成对出现的，其矢量和为零。所以：由此可得由此可得“质点系

5、的动量定理质点系的动量定理”：积分形式积分形式微分形式微分形式以以 F 和和 P 表示系统的合外力和总动量，上式可写为：表示系统的合外力和总动量，上式可写为：iiiiPdtdFdtPdFPddtFPPddtFPPtt2121内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。内力不改变系统的总动量，但会使系统内部动量重新分配。只有外力才能改变系统的总动量。只有外力才能改变系统的总动量。例例1、质量为质量为2.5g的乒乓球以的乒乓球以10 m/s 的速率飞来，被板推挡后，的速率飞来，被板推挡后，又以又以 20 m/s 的速率飞出。设两的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面速度在垂直于板面的同

6、一平面内，且它们与板面法线的夹角内，且它们与板面法线的夹角分别为分别为 45o 和和30o，求：求： （1）乒乓球得到的冲量；乒乓球得到的冲量； （2）若撞击时间为若撞击时间为0.01s，求板求板 =施于球的平均冲力的大小施于球的平均冲力的大小=和方向。和方向。45o 30o nv2v145o 30o nv2v1Oxy取坐标系，将上式投影，有：取坐标系，将上式投影，有：解法一：解法一：取挡板和球为研究对象，取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为响。设挡板对球的冲力为 则有：则有：Fmv2mv1mv1tFI12vmvmdtFItFmv

7、mvdtFIxxx)45cos(30cos0102tFmvmvdtFIyyy010245sin30singmsmvsmvst52,/20,/10,01021NsINsIyx00730,0610NsIIIyx22210146解法二解法二 应用余弦定理、正弦定理解三角形应用余弦定理、正弦定理解三角形 为为 I 与与 x 方向的夹角方向的夹角 0526,12000tanxyIINFFFNFNFyxyx146,730,1622NsvvmvmvmtFI2021222221210146105cos2NtIF14602105sinsintFmv05251,78660sin526455251000mv2mv1

8、mv1tFI例例2一质量均匀分布的柔软细一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重力的等于已落到桌面上的绳重力的三倍。三倍。ox证明：证明：取如图坐标，设取如图坐标，设t 时刻已有时刻已有x 长的柔绳落至桌面，随后的长的柔绳落至桌面，随后的dt时间时间内将有质量为内将有质量为 dx（Mdx/L)的柔绳的柔绳以以dx/dt的速率碰到桌

9、面而停止，它的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：的动量变化率为：dtdtdxdxdtdP一维运动可用一维运动可用标量标量ox根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：柔绳对桌面的冲力柔绳对桌面的冲力FF 即：即：而已落到桌面上的柔绳的重量为而已落到桌面上的柔绳的重量为mg=Mgx/L所以所以F总总=F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg22vLMvF而而LMgxFgxv/2222vdtdtdxdxdtdPF3-23-2、动量守恒定律、动量守恒定律 一个质点系所受的合外力为零时，这一一个质点系所受的合外力为零时，这一质点系的总动量就保持不变。质点系的总动量就保持

10、不变。 这就是动量守恒定律，其条件是：这就是动量守恒定律，其条件是：系统所受合外力为零系统所受合外力为零:0外F常矢量）(,0,0CPdtPdFCvmPiiiii即即注意：注意： 1 1、动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应动量守恒定律只适用于惯性系。定律中的速度应 =是是对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的对同一惯性系的速度，动量和应是同一时刻的=动量动量之和。之和。2 2、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。、系统动量守恒，但每个质点的动量可能变化。3 3、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程、在碰撞、打击、爆炸等相互作用时间极短的过程 =中，往往可忽略外力（中，往往可

11、忽略外力（外力与内力相比小很多）外力与内力相比小很多）=近似守恒条件。近似守恒条件。4 4、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方、动量守恒可在某一方向上成立（合外力沿某一方=向为零。）向为零。）部分守恒条件部分守恒条件5 5、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿、动量守恒定律在微观高速范围仍适用。是比牛顿=定律更普遍的最基本的定律定律更普遍的最基本的定律例例3 质量为质量为m的质点作圆锥摆运动，质点的速率为的质点作圆锥摆运动，质点的速率为u，圆半径为圆半径为R，圆锥母线与轴线之间的夹角为圆锥母线与轴线之间的夹角为，计算拉力在一周内的冲量。计算拉力在一周内的冲量。Ir =0 ，IT=

12、-IP=mg2 R/u k解解1 一周内重力一周内重力P 的冲量为的冲量为 IP = Pdt = -mg tk= -mg2 R/u kIr =Frdt=0 。而重力是恒力，只需知道而重力是恒力，只需知道它运动一周的时间就能算出其冲量，则拉它运动一周的时间就能算出其冲量，则拉力的冲量力的冲量IT =Ir IP 分析：分析：冲量冲量 I=Fdt 是一矢量式，当质点在作圆周运动时，拉力是一矢量式，当质点在作圆周运动时，拉力T 的方向是时刻改变的，因此，直接由拉力来求冲量是困难的；的方向是时刻改变的，因此，直接由拉力来求冲量是困难的；但是，若采用转换的方法，先分别求出合力但是，若采用转换的方法，先分别

13、求出合力Fr 和重力和重力P 的冲量，的冲量，再利用矢量合成的平行四边形法则，即可求得拉力的冲量。虽再利用矢量合成的平行四边形法则，即可求得拉力的冲量。虽然合力然合力Fr 仍是一变力，但它在任意仍是一变力，但它在任意 dt 时间内的冲量时间内的冲量dIr 均指向均指向圆心。当计算一周内的冲量时，由于各圆心。当计算一周内的冲量时，由于各 dIr 的对称性，的对称性，FrPTmR解解2 根据动量定理，一周内合力的冲量为根据动量定理，一周内合力的冲量为 IF = IT + IP =mu mu =0 则则 IT = - IP = mg 2 R/u k 注意：注意：一周内合力的冲量为零，并不是说明一周内

14、一周内合力的冲量为零，并不是说明一周内 质点的动量时时处处守恒，只是终点又恢复质点的动量时时处处守恒，只是终点又恢复 到起点的动量，这不叫动量守恒；所以，动到起点的动量，这不叫动量守恒；所以，动 量守恒的条件，不能说是量守恒的条件，不能说是“系统所收合外力系统所收合外力 的冲量为零的冲量为零”。例例4 一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点一炮弹发射后在其运行轨道上的最高点 h19.6 m 处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后处炸裂成质量相等的两块。其中一块在爆炸后 1 秒秒钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距钟落到爆炸点正下方的地面上，设此处与发射点的距离离S1100米米,问另一块

15、落地点与发射点的距离是多少？问另一块落地点与发射点的距离是多少？（空气阻力不计，（空气阻力不计，g=9.8m/s2)解：解：已知第一块方向竖直向下已知第一块方向竖直向下2121gttvhst1为第一块落地时间为第一块落地时间smvvy/71411v2yhxv1hS1爆炸中（忽略重力）系统动量守恒爆炸中（忽略重力）系统动量守恒smvstgtvvghtvStvxyyxy/5022, 00201）（，到最高点用时为炮弹在最高点，v2yhxv1hS10212121122yyxxmvmvmvmvmv1/2mv2/2mvxsmvvxx/10022smvvyy/71412第二块作斜抛运动第二块作斜抛运动mv

16、1/2mv2/2mvx可得第二块碎片落地点的水平位置：可得第二块碎片落地点的水平位置：mx500222222221221gttvhytvSxyx落地时，落地时，ststy24, 0222（舍去）（舍去）例例5 如图所示如图所示, 在水平地面上，有一横截面在水平地面上，有一横截面 S = 0. 20m2 的直角弯管的直角弯管, 管中有流速为管中有流速为v =3. 0m.s-1 的水通的水通过过, 求弯管所受力的大小和方向求弯管所受力的大小和方向.vvABS分析分析: 对于弯管部分对于弯管部分AB 段内的水而段内的水而言言, 由于流速一定由于流速一定, 在时间在时间t 内内, 从其一端流入的水量等于从另一端从其一端流入的水量等于从另一端流出的水量流出的水量. 因此，对这部分水来因此，对这部分水来说说, 在时间在时间t 内动量的增量内动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量也就是流入与流出水的动量的增量 ;)(ABvvmP 此动量的变化是管壁在时间此动量的变化是管壁在时间t 内对其作用内对其作用冲量冲量 的结果的结果. 依据动量定理可求得该段水受到依据动量定理可求得该段水受到管壁的冲力管壁的冲力 ； 由牛顿第三定律由牛顿第三定律, 自然就得到自然就得到水流对管壁的作用力水流对管