有关微分方程20160124

1、有关微分方程有关微分方程模型模型数学模型是数学模型是主体主体对对现象现象的的主观认识主观认识的数学表示。的数学表示。知识知识库库人人脑脑实际现象实际现象数学数学模型模型知识知识1 1人人脑脑实际现象实际现象模型模型1 1同样现象可能表示为不同的模型同样现象可能表示为不同的模型知识知识2 2模型模型2 2比如人口模型比如人口模型模型好或者坏？用更简单的方法更有效的解决了实际问模型好或者坏？用更简单的方法更有效的解决了实际问题是数学建模所追求的。题是数学建模所追求的。我们的主题：连续时间连续状态系统的建模（微分方程我们的主题：连续时间连续状态系统的建模（微分方程模型）和求解。首先要认识到现象具有连

2、续的特征模型）和求解。首先要认识到现象具有连续的特征1 1、用微分方程建模的大致步骤和思路、用微分方程建模的大致步骤和思路2 2、微分方程求解方法、微分方程求解方法3 3、简单微分方程的、简单微分方程的matlabmatlab解法解法4 4、复杂方程的理论求解方法、复杂方程的理论求解方法如物质流动、扩散问题振动问题力学和运动问题温度分布病毒传染种群变化可以搜集一下材料，备用类比法类比法大致建模思路是：大致建模思路是：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，建立模型的基本结构。然后根据该结构，通过给定数据用参数辨识的方法来确定模型的参数，从而最终确定模型。进而进行模型验

3、证步骤：（1 1）建立基本结构）建立基本结构，如是偏微分还是常微分，是一阶还是二阶；（2 2）参数辨识）参数辨识，需利用观测数据（3）模型验证。可用部分数据估计，剩余一些数据进行验证建立模型结构的大致思路：建立模型结构的大致思路：p将过程的变化因素（自变量）进行微元划分，将过程的变化因素（自变量）进行微元划分，p分析邻近部分与这一小部分的相互作用分析邻近部分与这一小部分的相互作用，如利用物理，如利用物理学规律，运行、受力、温度、守恒等，或其它规律。学规律，运行、受力、温度、守恒等，或其它规律。p以算式表达这个作用最后化简、整理、即得到所研究以算式表达这个作用最后化简、整理、即得到所研究问题的偏

4、微分方程问题的偏微分方程如果认为变化因素仅需考虑一个，可尝试常微分方程建如果认为变化因素仅需考虑一个，可尝试常微分方程建模；否则，尝试偏微分方程。如人口模型中只有时间。模；否则，尝试偏微分方程。如人口模型中只有时间。这个过程在建模中很多时候不需要自己完全的创新，更这个过程在建模中很多时候不需要自己完全的创新，更多是需要找到相关的模型做改进，但注意发现问题关键多是需要找到相关的模型做改进，但注意发现问题关键特征差异。（特征差异。（快速查到相关研究是重要的，平时多积累快速查到相关研究是重要的，平时多积累查找文献资料的方法查找文献资料的方法）注意：注意：需要针对当前问题修改别人模型。需要针对当前问题

5、修改别人模型。要针对问题要针对问题结合分析，为什么用采用某个模型及针对问题做了哪结合分析，为什么用采用某个模型及针对问题做了哪些修改，为什么要做修改，对模型的借用方式应该是些修改，为什么要做修改，对模型的借用方式应该是随内容的分析展开而自然的引入，不应该是没有分析随内容的分析展开而自然的引入，不应该是没有分析的强行增加。的强行增加。二维情况二维情况自查三维情况自查三维情况如何求解微分方程模型如何求解微分方程模型微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（组）解析解的命令（matlab）:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始条件初始条件,自变量自变量) 结 果：u = tg(

6、t+c1) 解解 输入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)结 果 为 : y =3*exp(-2*x)*sin(5*x)解解 输入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t) 结 果 为：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t 对于偏微分方程而言，一般借助对于偏微分方程

7、而言，一般借助matlabmatlab偏微分偏微分方程工具箱方程工具箱PDEtoolPDEtool，有可视化操作窗口，也可，有可视化操作窗口，也可以自己编制命令。以自己编制命令。 如果可以求解当然好，否则，可能需要如果可以求解当然好，否则，可能需要自己根据计算方法自己编写程序。自己根据计算方法自己编写程序。()( ), ( )dduduprqufaxbdxdxdxu au b()()( , ),( , )( , )( , ),( , )uuppquf x yx yxxyyu x yx yx y微分方程的差分法，即用差分式代替微分式微分方程的差分法，即用差分式代替微分式 数值解法的步骤：数值解法

8、的步骤： 第一步：选点。在哪些点上处理方程。从连续区域中第一步：选点。在哪些点上处理方程。从连续区域中提取有限离散值，由有限个采样值，来估计刻画整体提取有限离散值，由有限个采样值，来估计刻画整体连续特征。连续特征。第二步：方程离散化。用几个离散点的函数值规律代第二步：方程离散化。用几个离散点的函数值规律代表连续函数在这几个点涉及范围内特征，必然是不能表连续函数在这几个点涉及范围内特征，必然是不能完全代表，因此存在近似，因此我们最后求得的解也完全代表，因此存在近似，因此我们最后求得的解也仅仅是在这些离散点上求连续函数的近似解。仅仅是在这些离散点上求连续函数的近似解。第三步：对离散化的方程或能求得

9、数值解的性质进行第三步：对离散化的方程或能求得数值解的性质进行分析。如相容性、收敛性、稳定性。分析。如相容性、收敛性、稳定性。第四步：代数方程组求解。离散化的方程和初边值条第四步：代数方程组求解。离散化的方程和初边值条件实际上表现为一组代数方程组，通过求解获得离散件实际上表现为一组代数方程组，通过求解获得离散点上的近似解。点上的近似解。第一步的选点方法主要是等距分割或是不等距分割。第一步的选点方法主要是等距分割或是不等距分割。等距分割好处：方程好处理，计算精度高，但对要求等距分割好处：方程好处理，计算精度高，但对要求求解区域比较规则求解区域比较规则不等距分割对区域的要求较低，但计算精度较差。不

10、等距分割对区域的要求较低，但计算精度较差。一般情况下，看给定数值特征，是否等距。一般情况下，看给定数值特征，是否等距。第二步：离散化方程，主要是对微分项的近似。第二步：离散化方程，主要是对微分项的近似。差商法和待定系数法差商法和待定系数法第二步：离散化方程，主要是对微分项的近似。第二步：离散化方程，主要是对微分项的近似。差商法和待定系数法差商法和待定系数法注意非第一类边界条件的情况，如果存在导数部分注意非第一类边界条件的情况，如果存在导数部分，也可类似处理。但注意选点。，也可类似处理。但注意选点。11211,112221,21,12,11,1,;,;,ThNNNNNNuuuuuuuuuu21h

11、Hugh也可得到也可得到通过上面过程，我们可以求解问题的真实解的通过上面过程，我们可以求解问题的真实解的近似解（含有未知参数）近似解（含有未知参数）通过调整该函数中待定系数，使得该函数与已通过调整该函数中待定系数，使得该函数与已知点集的差别知点集的差别( (最小二乘意义最小二乘意义) )最小最小计算参数计算参数情况情况1 1：如果模型中待求解函数可由所提的数如果模型中待求解函数可由所提的数学模型通过学模型通过精确精确理论理论推导推导求解（含有未知参求解（含有未知参数），数），则可利用此理论解和给定观测数值，再则可利用此理论解和给定观测数值，再借助借助最小二乘法进行参数计算最小二乘法进行参数计算

12、；情况情况2 2：如果模型中待求解函数无法通过所提如果模型中待求解函数无法通过所提的数学模型精确求解，那就需通过数值方法获的数学模型精确求解，那就需通过数值方法获得模型的近似解（含有未知参数），然后再用得模型的近似解（含有未知参数），然后再用最小二乘法进行参数计算。最小二乘法进行参数计算。 最小二乘法：最小二乘法：111( ,), ( ,), (,)iiinnnu x y zu x y zu xyz已知数据已知数据模型求解模型求解111(,), ( ,), (,)iiinnnu x y zu x y zu xyz如果模型正确的话，即模型能够准确刻画现象如果模型正确的话，即模型能够准确刻画现象，

13、那也意味着，模型解和观测值之间的误差差，那也意味着，模型解和观测值之间的误差差异应该很小，因此，我们选择参数的方法为：异应该很小，因此，我们选择参数的方法为：21min ( ,)( ,)niiiiiiiu x y zu x y z待估计参数111( ,), ( ,), (,)iiinnnu x y zu x y zu xyz已知数据已知数据模型求解模型求解111(,), ( ,), (,)iiinnnu x y zu x y zu xyz如果模型正确的话，即模型能够准确刻画现象如果模型正确的话，即模型能够准确刻画现象，那也意味着，模型解和观测值之间的误差差，那也意味着，模型解和观测值之间的误差

14、差异应该很小异应该很小准备工作准备工作第一天晚前的活第一天晚前的活查到相关资料是好事吗？查到相关资料是好事吗？设计模型的最基本要求：能较好的反映事实设计模型的最基本要求：能较好的反映事实具体要求：具体要求：p明确做什么：（明确做什么：（1 1）要解决的实际问题是什么；（）要解决的实际问题是什么；（2 2）要解决该实际问题，需要解决哪些理论和技术问题要解决该实际问题，需要解决哪些理论和技术问题p研究怎么做？要解决理论或技术问题，前提条件是研究怎么做？要解决理论或技术问题，前提条件是什么，假设如何提，有什么特殊特征，用什么数学方什么，假设如何提，有什么特殊特征，用什么数学方法，怎么求解和计算，特殊

15、特征对模型的影响是什么，法，怎么求解和计算，特殊特征对模型的影响是什么，怎么说明模型的是否反映实际怎么说明模型的是否反映实际p由模型做什么？建立模型的目的首先是反映实际，由模型做什么？建立模型的目的首先是反映实际，然后是通过模型，分析出实际问题更多的性质（起到然后是通过模型，分析出实际问题更多的性质（起到做实验的效果）做实验的效果）钢管订购及运输优化问题钢管订购及运输优化问题问题描述问题描述强调几个意识：强调几个意识：1.1. 具体问题具体分析，立足实际分析问题。具体问题具体分析，立足实际分析问题。2.2. 生题不忧、熟题不喜生题不忧、熟题不喜3.3. 现学现用，没有相关知识别紧张（不是不用准

16、备）现学现用，没有相关知识别紧张（不是不用准备）4.4. 战略上，建模就是一次小测试战略上，建模就是一次小测试 战术上，就是一次战斗，准备要充分、要把握任战术上，就是一次战斗，准备要充分、要把握任何小的细节。何小的细节。5. 5. 团队合作团队合作6 6、坚持到底，别轻言放弃、坚持到底，别轻言放弃7 7、突发事件、突发事件 多做备份、随时保存多做备份、随时保存摘要摘要一定要反复读、反复改。一定要反复读、反复改。方法，算法，结论，特色，不要有废话，一定要突方法，算法，结论，特色，不要有废话，一定要突出重点出重点( (让人一看就知道这篇论文是关于什么的，做让人一看就知道这篇论文是关于什么的，做了什么工作，用的什么方法，得到了什么效果，有了什么工作，用的什么方法，得到了什么效果，有什么创新和特色什么创新和特色) )。要精悍，吸引眼球。如何吸引眼球，在建模时可能要精悍，吸引眼球。如何吸引眼球，在建模时可能就要有所考虑。就要有所考虑。语言描述很关键，叙述逻辑要清、语言要通