材料力学--- 组合变形

1、1第第 十十 章章组合变形组合变形10.1 10.1 组合变形的概念组合变形的概念10.2 10.2 斜弯曲斜弯曲10.3 10.3 拉伸拉伸( (压缩压缩) )与弯曲的组合与弯曲的组合10.4 10.4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合第十章第十章 组合变形组合变形PPR10.1 10.1 组合变形的概念组合变形的概念一、一、组合变形组合变形：由两种或两种以上基本变形组合而成：由两种或两种以上基本变形组合而成的变形，称为组合变形的变形，称为组合变形（combined deformation) )4Ph5水坝水坝q hP二、组合变形的研究方法二、组合变形的研究方法 先分解而后先分解而后叠加叠加

2、 外力分析，确定基本变形：外力分析，确定基本变形：将将外力分解为几组与之外力分解为几组与之静力等效的简单载荷，确定基本变形；静力等效的简单载荷，确定基本变形； 内力分析，确定危险截面：内力分析，确定危险截面：求每个外力分量对应的求每个外力分量对应的内力并画内力图，确定危险面；内力并画内力图，确定危险面； 应力分析，确定危险点：应力分析，确定危险点：画危险面应力分布图，画危险面应力分布图，确定危险点，叠加求危险点应力；确定危险点，叠加求危险点应力； 强度计算：强度计算：建立危险点的强度条件，进行强度计算。建立危险点的强度条件，进行强度计算。具体步骤：具体步骤：710.2 10.2 斜弯曲斜弯曲

3、斜弯曲：杆件产生弯曲变形后，杆轴线不再位于外斜弯曲：杆件产生弯曲变形后，杆轴线不再位于外力力 作用平面内。作用平面内。一、正应力的计算一、正应力的计算 ：1 1、将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得、将外载沿横截面的两个形心主轴分解，得: :, cosFFysinFFzyzFzFyxxzyOlFcoscos)()(MxlFxlFMyz2 2、梁任意截面上的弯矩为：、梁任意截面上的弯矩为：sinsin)()(MxlFxlFMzy8zIMIzMyyysin yIMIyMzzzcos )cossin(yIzIMzy My引起引起A的应力的应力：Mz引起引起A的应力的应力：则，则，F引起的应力为：引起

4、的应力为：yzyzAFzFyxxzyOlFcosMMzsinMMy3 3、梁截面上任一点、梁截面上任一点A（y,z）的应力为的应力为（考虑坐标符号）（考虑坐标符号）：另外，另外， 的正负号可由的正负号可由My和和 Mz引起的变形是拉引起的变形是拉还是压直接判断。还是压直接判断。 和和9D1D2二、中性轴的位置二、中性轴的位置tantan00yzIIzy中性轴中性轴0)cossin(00yIzIMzyyzFzFyF 令令（y0，z0）是中性轴上任一点，则有：是中性轴上任一点，则有：显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线，显然，中性轴是一条通过坐标原点的直线，可见，中性轴的位置并不依赖于力可见，中性

5、轴的位置并不依赖于力F的大小，而只与力的大小，而只与力F和形心主轴和形心主轴 y 的夹角以及截面几何形状和尺寸有关的夹角以及截面几何形状和尺寸有关。三、最大正应力和强度条件三、最大正应力和强度条件在中性轴两侧，距中性轴最远的点为最大拉、压应力点。在中性轴两侧，距中性轴最远的点为最大拉、压应力点。, 1maxD2maxD图中图中D1、 D2两切点应力最大：两切点应力最大：设其与设其与z轴的夹角为轴的夹角为，则有：则有：应力分布如图所示：应力分布如图所示：10若横截面周边具有棱角若横截面周边具有棱角，则无需确定中性轴的位置，直，则无需确定中性轴的位置，直接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应

6、力点接根据梁的变形情况，确定最大拉应力和最大压应力点的位置。的位置。D1D2中性轴中性轴yzD2D1中性轴中性轴yz强度条件：强度条件：)cossin(maxmax11maxmaxyyzzzyWMWMyIzIM则则 若若 ,1）（则则 若若 ,2）（, maxmax11（2 2）对于方形、圆形一类的截面，）对于方形、圆形一类的截面，Iy Iz，则，则 ，此时的，此时的挠度不仅垂直于中性轴而且与外力平面重合，为挠度不仅垂直于中性轴而且与外力平面重合，为平面弯曲平面弯曲。中性轴中性轴yzF 22zywwwtantanyzyzIIww且且wzwy四、挠度的计算四、挠度的计算 wcos3333zzyy

7、EIFlEIlFw自由端处由自由端处由Fy引起的挠度为：引起的挠度为：自由端处由自由端处由Fz引起引起的挠度的挠度为为：sin3333yyzzEIFlEIlFw则，自由端处由则，自由端处由F引起引起的总挠度的总挠度为为：tan由上式可见：由上式可见：（1 1）对于矩形、工字形一类的截面，）对于矩形、工字形一类的截面，Iy Iz，则，则 ，这表示，这表示挠度方向垂直于中性轴但与外力平面不重合，为挠度方向垂直于中性轴但与外力平面不重合，为“斜弯曲斜弯曲”。12例例10-2-110-2-1 矩形截面木檩条如图，跨长矩形截面木檩条如图，跨长L=3m，h=2b，受集度为受集度为q=700N/m的均布力作

8、用，的均布力作用， =10MPa，容容许挠度许挠度 w=L/200 ，E=10GPa，试选择截面尺寸并校，试选择截面尺寸并校核刚度。核刚度。N/m307438. 0700sin qqyyzhb =26qLqAB解：解：、外力分析外力分析分解分解qN/m629899. 0700cos qqzNm4 .34583307822max LqMyzNm6 .70783629822max LqMzy、内力分析内力分析求求Mzmax、Mymax13、应力分析应力分析求求max 、强度计算强度计算确定截面尺寸确定截面尺寸2)2(366322maxbMMbhMhbMWMWMyzyzyyzzmm8 .1182mm

9、4 .59 2)2(33bhMMbyz、校核刚度校核刚度m105 . 1200m1044. 1)()(3845222242max2maxmaxLwIqIqELwwwyzzyzyyyzzWMWMmax14例例10-2-210-2-2 如图所示简支梁由如图所示简支梁由28a号工宇钢制成，已知号工宇钢制成，已知F=25kN，l=4m， ，许用应力，许用应力 =70MPa，试，试按正应力强度条件校核此梁。按正应力强度条件校核此梁。 15 解解: (1): (1)将集中力将集中力 F 沿沿 y 轴和轴和 z 轴方向分解轴方向分解 kN4 .2115cos25cos.FFykN47. 615sin25si

10、nFFz15kNm1 .24441 .244maxlFMyzkNm47. 64447. 64maxlFMzy28a号工宇钢的抗弯截面模量号工宇钢的抗弯截面模量 336 .56 ,508cmWcmWyz7 .16110)3 .1144 .47( )10(6 .561047. 6)10(508101 .246323323maxmaxmaxMPaWMWMyyzx此梁满足强度要求。此梁满足强度要求。 16zMABCDx2kNm1kNm例例10-2-310-2-3 两端铰支矩形截面梁，其尺寸两端铰支矩形截面梁，其尺寸 h=80mm , b=40mm, 校核梁的强度。校核梁的强度。 ,MPa120 xAB

11、CD30kNz30kN100mm100mm100mmyzyhb解解: :( (1)1)画内力图，确定画内力图，确定危险截面危险截面: :kNm,2ByMkNm1BzM+ABCDxyM2kNm1kNmkNm,1CyMkNm2CzM 61 ,61 22hbWbhWzy而而17(2)(2)校核强度校核强度: :zBzyByBWMWMmax6622hbMbhMBzBy92392310408061011080406102MPa75.93 MPa120MPa19.117 maxmaxC故，梁安全。故，梁安全。zCzyCyCWMWMmax6622hbMbhMCzCy923923104080610210804

12、06101MPa19.11718 工程实际中，常遇到如下受力的构件：工程实际中，常遇到如下受力的构件：10.3 拉伸拉伸(压缩压缩)与弯曲的组合与弯曲的组合lF1F2FFM偏心压缩偏心压缩轴向力轴向力和横向和横向力同时力同时作用作用偏心拉伸偏心拉伸FFMzMyyz19一、轴向力和横向力同时作用一、轴向力和横向力同时作用xzylF1xF2分析任一截面上应力分析任一截面上应力 F1单独作用时：单独作用时：AFNF2单独作用时：单独作用时： zIMy1 FFN其中其中)( 2xlFM其中其中F1、 F2共同作用时：共同作用时： zNIMyAF20zNIMyAFzNWMAFmaxmaxzNWMAFma

13、xmax特别指出：特别指出：运用上式计算最大应力时，弯矩运用上式计算最大应力时，弯矩 M 取绝取绝对值对值，而轴力，而轴力 FN 取代数值取代数值。强度条件：强度条件：maxmaxzNWMAFmaxmaxzNWMAF, (2)若(2)若, (1)若(1)若则则则则,maxmaxmaxMax21 例例10-3-110-3-1 最大吊重为最大吊重为 P=20kN的简易吊车的简易吊车，如图，如图所示，所示，AB为工字为工字A3钢梁，许用应力钢梁，许用应力 100100MPa，试选择工字梁型号。试选择工字梁型号。ADCBF302m1mYAXACABF52kN_FNTxTyT20kNmM- -解：解：(

14、1)选工字梁为研究对选工字梁为研究对象受力如图所示：象受力如图所示：0330sin2 :0FTMAkN60 T分解：分解： kN30 kN,52yxTT画内力图如上：画内力图如上：22由弯矩图和轴力图知：由弯矩图和轴力图知：C截面左侧为危险截面。截面左侧为危险截面。(2) 暂不考虑轴力影响，只暂不考虑轴力影响，只按弯曲正应力强度条件初按弯曲正应力强度条件初选工字梁型号，有：选工字梁型号，有：33463maxcm200m102101001020MWz(3) 按压弯组合变形进行校核。按压弯组合变形进行校核。MPa99102371020105 .3510526343maxmaxWMAFN初选成功，即

15、选初选成功，即选20a号工字梁合适。号工字梁合适。 YAXACABF52kN_FNTxTyT20kNmM- -查型钢表，初选取查型钢表，初选取20a号工字号工字钢，钢，Wz=237cm3，A35.5cm2100MPa23二、偏心拉伸（压缩）二、偏心拉伸（压缩）(1)若若F 的作用点在杆的一对称轴上，的作用点在杆的一对称轴上，maxmaxzNWMAFmaxmaxzNWMAFFMFemaxzWMAFmaxzWMAFzFeM 其中其中则强度条件为：则强度条件为：24FMzMyyzFyezeyz(2) 若若F 的作用点不在杆的任一对称轴上的作用点不在杆的任一对称轴上maxzzyyWMWMAFmaxzz

16、yyWMWMAFzzyyFeMFeM 其中其中则强度条件为：则强度条件为：FMyyMz25例例10-3-2图示压力机，最大压力图示压力机，最大压力F=1400kN，机架用铸铁作成，许用，机架用铸铁作成，许用拉应力拉应力+=35MPa，许用压应力，许用压应力- -=140MPa，试校核该压力机立柱部分，试校核该压力机立柱部分的强度。立柱截面的几何性质如下：的强度。立柱截面的几何性质如下：yc= 2 0 0 m m ， h = 7 0 0 m m ，A=1.8105mm2，Iz=8.0109mm4。 解：解：由图可见，载荷由图可见，载荷 F 偏离立柱轴线，偏离立柱轴线，500FFhzycyC其偏心

17、距为：其偏心距为： e=yc+500=200+500=700mm。FeFNM任一截面上的力如图：任一截面上的力如图：其中：其中：FeMFFN ,26FeM 在偏心拉力在偏心拉力 F 作用下，横截面上由各内力产生的应力作用下，横截面上由各内力产生的应力如图：如图：可见，立柱符合强度要求。可见，立柱符合强度要求。 zzbMzczcaMIFeyIMyIFeyIMy22 ,AFFMPa3 .3210100 . 82 . 07 . 010140010108 . 11014001293653zcaMFaIFeyAFPey2ycbcaFN=FaMbMFabMPa5 .5310100 . 85 . 07 .

18、010140010108 . 110140012936532zbMFbIFeyAFMPa35MPa14027例例10-3-3一端固定、具有切槽的杆如图所示，试指出危险点的一端固定、具有切槽的杆如图所示，试指出危险点的位置，并求最大应力，已知位置，并求最大应力，已知F=1kN。10501010405Fyz510 解：解：在切槽的截面上的内力有：在切槽的截面上的内力有：N1000 FFNm5N21010100023hFMzm5N. 22105100023bFMy截面几何性质：截面几何性质：26m1050bhA38922m1017. 4101056161hbWy38922m1033. 8101056

19、161bhWzMPa98.1391033. 851017. 45 . 21051000885maxzzyyNWMWMAF危险点在切槽截危险点在切槽截面的左上角。面的左上角。28AACBFlaABFMe10.4 弯曲与扭转的组合弯曲与扭转的组合(1)分析分析AB杆，将力杆，将力F 向其向其B端端 简化，并画内力图。简化，并画内力图。- - -TFaMFl由内力图知由内力图知A为危险截面为危险截面K1K2(2) 画危险截面的应力分布图画危险截面的应力分布图K1、 K2两点为危险点两点为危险点29zWMtWT4223r)2(4)()(4)(2222223zzztzrWTMWTWMWTWM75. 0)

20、2(3)()(3)(2222224zzztzrWTMWTWMWTWM3224rK1K1AK1K2从从K1点取一单元体，如图，点取一单元体，如图，其中其中第三强度理论：第三强度理论：第四强度理论：第四强度理论：即：即：223zrWTM75. 0224zrWTM30、外力分析：、外力分析：外力向形心简化并外力向形心简化并分解；分解；、内力分析：、内力分析：每个外力分量对应的内力方程和内力每个外力分量对应的内力方程和内力图，图，确定危险面；确定危险面；、应力分析：、应力分析：确定危险点；确定危险点；22r34弯扭组合问题的求解步骤：弯扭组合问题的求解步骤：、建立强度条件：、建立强度条件：22r43W

21、TM22圆截面圆截面弯扭组合弯扭组合WTM2275. 0圆截面圆截面弯扭组合弯扭组合31 例例10-4-110-4-1 图示刚架，两杆在水平面内且相互垂直，受力与刚图示刚架，两杆在水平面内且相互垂直，受力与刚架平面垂直，架平面垂直，F= =2kN, , l= =1m, ,各杆直径各杆直径d= =10mm， =70MPa，按，按最大剪应力理论校核最大剪应力理论校核AB杆强度。杆强度。lFllABCD2FFl-M3Fl+TWTMAA223r MPa4 .641 . 01102103233故：故：AB杆安全杆安全解解: : （1 1）将力向）将力向AB杆上简化杆上简化: :（2 2）画）画AB杆内力

22、图杆内力图: :（3 3）强度校核）强度校核: :FMeAB323322dFlFl32103dFl32 例例10-4-210-4-2 电机带动一圆轴电机带动一圆轴AB，其中点处装有一个重其中点处装有一个重Q=5kN，直径，直径D=1.2m的胶带轮，胶带紧边张力的胶带轮，胶带紧边张力F1=6kN, ,松松边张力边张力F2=3kN，如轴的许用应力，如轴的许用应力 =50MPa，试按第三强度理论设，试按第三强度理论设计计轴的直径轴的直径d。FABCMxMeWTMCC223r 解解: : （1 1）将力向）将力向AB轴上简化轴上简化: :（2 2）画）画AB轴内力图轴内力图: :（3 3）强度计算）强

23、度计算: :32232dTMCC其中其中kN1421FFQFmkN8 . 12)(21DFFMx+4.2kNmM-1.8kNmT32232 CCTMd36322105014. 3108 . 12 . 432m107 .973取取d=98mmF2l=1.2mABCQF1Dd33 例例10-4-310-4-3 将上例中的将上例中的胶带由竖直索引改为水平索引，其它不胶带由竖直索引改为水平索引，其它不变，变，试按第三强度理论设计试按第三强度理论设计轴的直径轴的直径d。WTMCC223r 解解: : （1 1）将力向）将力向AB轴上简化轴上简化: :（2 2）画）画AB轴内力图轴内力图: :（3 3）强

24、度计算）强度计算: :322232dTMMCCzCy其中其中kN921FFFmkN8 . 12)(21DFFMx-1.8kNmT322232 CCzCyTMMdm1099.893取取d=90mmF2F1Dl=1.2mABCQdQABCMxMeFxyz+1.5kNmMz2.7kNmMy, 41maxQlMzFlMy41max代数据代数据34MPa7 .351 . 07000163tWTMPa37. 6101 . 050432AP解：解：拉扭组合拉扭组合: :PTPTAA A 例例10-4-10-4-44 直径为直径为d=0.1=0.1m的圆杆受力如图，的圆杆受力如图，T= =7kNm，P=50k

25、N， =100=100MPaPa，试按，试按第三强度理论校核此杆的第三强度理论校核此杆的强度强度。安全安全22r34 MPa7 .717 .35437. 62235 例例10-4-510-4-5 直径为直径为d的实的实心圆轴，若心圆轴，若m=Fd，指出危指出危险点的位置，并写出相当险点的位置，并写出相当应力应力 。3r 解：解：WMAFNWT22234r :B 23232)322(43244dFdddFdF2734dFFx4/dmBFdTNFMF4/Fd画画轴内力图轴内力图: :可判断可判断轴的最上边缘点均轴的最上边缘点均为危险点。为危险点。36:NFF解：解： 例例10-10-4-64-6

26、图示直角折杆图示直角折杆ABC，AB段直径段直径d=60mm，l=90mm，F=6kN，=60MPa，试用，试用第三强度理论校核轴第三强度理论校核轴AB的强度的强度. . FyzxFCABll:yMFl:ZMFlABFMxFMyAB轴为拉、弯、扭组合变形轴为拉、弯、扭组合变形（1）AB轴的计算简图如图示：轴的计算简图如图示：（2 2）画）画AB轴内力图轴内力图: :可见，固定端面可见，固定端面A为危险截面为危险截面可判断可判断A上上k1 、k2两点为危险点两点为危险点:TFlzyk1k2A45 k1危险点应力状态图如图示危险点应力状态图如图示37223r4232321642324dFLdFLd

27、F MPa8 .45安全安全3243222dFlFldFWMAFN3316162dFldFlWT k1WMMAFAzAy22322324dFldF:NFF:yMFl:ZMFl:TFl38 1、 在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现在图示杆件中，最大压应力发生在截面上的哪一点，现有四种答案；有四种答案； （）点（）点 （）点（）点 （）点（）点 （）点（）点 PABDCC本章习题本章习题一、选择题一、选择题392、在下列有关横截面核心的结论中，、在下列有关横截面核心的结论中， 是错误的。是错误的。、当拉力作用于截面核心内部时，杆内只有拉应力。、当拉力作用于截面核心内部时，杆内只有拉应

28、力。 、当拉力作用于截面核心外部时，杆内只有压应力。、当拉力作用于截面核心外部时，杆内只有压应力。 、当压力作用于截面核心内部时，杆内只有压应力。、当压力作用于截面核心内部时，杆内只有压应力。 、当压力作用于截面核心外部时，杆内既有拉应力，又有压应、当压力作用于截面核心外部时，杆内既有拉应力，又有压应力。力。 B403、图示正方形截面直柱，受纵向力、图示正方形截面直柱，受纵向力P的压缩作用。则当的压缩作用。则当P力作用力作用点由点由A点移至点移至B点时柱内最大压力的比值有四种答案：点时柱内最大压力的比值有四种答案：（）（）: （）（）: （）（）: （）（）: BzAaayPPC414、决定截

29、面核心的因素是、决定截面核心的因素是 。、材料的力学性质。、材料的力学性质。 、截面的形状和尺寸。、截面的形状和尺寸。 、载荷的大小和方向。、载荷的大小和方向。 、载荷作用点的位置。、载荷作用点的位置。 B423、图示皮带轮传动轴，传递功率图示皮带轮传动轴，传递功率N=7kW，转速，转速n=200r/min。皮带轮重量。皮带轮重量Q=1.8kN。左端齿轮上啮合。左端齿轮上啮合力力Pn与齿轮节圆切线的夹角与齿轮节圆切线的夹角(压力角压力角)为为20o。轴材料的。轴材料的许用应力许用应力s=80MPa，试按第三强度理论设计轴的直，试按第三强度理论设计轴的直径。径。解：解：外力简化外力简化(建立计算模型建立计算模型)：外力向：外力向AB轴轴线轴轴线简化，并计算各力大小。简化，并计算各力大小。 ABCD200200400f f300f f500D2QQzyF1