2021年高考数学全国3卷第23题的多种解法与推广(1)

1、当且仅当(z一1)t一1=(Y+1)t一1=(z+1)t一1=0，即菇一1=Y+1=z+1时，等号成立故(菇一1)2+(y+1)2+(彳+1)2的最小值为÷所以=4(戈一1)+(Y+1)+(z+1)24(戈一1)2+(Y+1)2+(z+1)2×30，且口(戈一1)2+(y+1)2+(z+1)2了1(戈+)，+z+设戈一1=亨+仅，y+l=了2+p，z+1=季+7，1)2因为z+Y+彳=1，所以(z一1)2+(y+1)2+(彳+1)2÷(1+1)2所以(戈一1)2+(y+1)2+(孑+1)2=(了2+驯2一生+(了2+3)2+(了2+y)2=了4+(a2+矿+y2)

2、+了4(a。3。f13 x+y+z，=： 。+卢+y)=了4+(a2+JB2+72)了4气x2了1解得： y 2一了lz，戈一1=Rcosolco够2一了Y+1=Rsinacos3，0cto，21T)，卢o，1T)所以当且仅当戈=÷，y=一÷，z=一÷时，(戈一o彳+1=Rsin31)2+(y+1)2+(z+1)2取最小值导评注：此题构造的函数，也可以写成如下形式： g(t)=3t22(z一1)+(Y+1)+(z+1)t+(戈一1)2+(Y+1)2+(z+1)2解法3：(均值不等式法)因为戈，YR，剐在c。印sin(仅+詈)+si邶R(厄c。啦+sin3)=所以(

3、戈一1)2+(Y+1)22(菇一1)(Y+1)，(D同理：(Y+1)2+(彳+1)22(y+1)(彳+1)，即R jL一 三3 sin(3+9)3(z+1)2+(菇一1)22(z+1)(戈一1)所以尺2了4，即(石一1)2+()，+1)2+(z+1)2以上三式相加，得：2(戈一1)2+(Y+1)2+(z+1)22(石一1)(Y÷+1)+2(Y+1)(z+1)+2(彳+1)(菇一1)，当且仅当、同时取等号，即菇一1=Y+1故(戈一1)2+()，+1)2+(z+1)2的最小值为手=彳+1时，等号成立解法6：(Cauchy不等式)痢穷舞斡嘲·14·因为算+Y+彳=1，所

4、以(菇一1)+(Y+1)+(：+取一组数据为算一1，Y+1，：4-1且满足菇+Y 4-z=1)=21，那么它们的平均数为由Cauchy不等式，得：i=了1(菇一1)+(，+1)+(z+1)=÷(菇+(菇一1)2+(Y+1)2+(z+1)2(12+12+12)(菇一1)·1+(Y+1)·1+(：+1)·1 2，Y+z+1)2亏·当且仅当戈一1=Y+1=z+1时等号成立即3(髫一1)2+(Y+1)2+(z+1)222所以这组数据的方差为s2=了1(菇一1一互)2+(，+I一；)2+(z+I一；)2所以(算一1)2+()，+1)2+(z+1)2T4以

5、下同解法1=÷(菇一1)2+(y+1)2+(。+1)2-i2=一'解法7：(利用平面与球面的位置关系21)设(菇一'如(菇一1)2+(Y+1)2+(z+I)2一(÷)201)2+(Y+1)2+(z+1)2=R2，那么它表示球心为C(1，一1，一1)，半径为R的球所以(菇一1)2+(y+1)2+(：+1)2了4 因为菇+Y+石=1表示一个平面，所以点(戈，y,z)表示平面菇+Y+z=1与球C的公共点，那么球心C到故(戈一1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为争平面菇+Y+z=1的距离小于或等于球半径，即2摊产丛皇三1二婴R通过类比，我们不难得到此题的一般

6、形式：12+12+l 2推广：设戈l，菇2， ，筇。R(rtN，且，l2)，那么菇l所以尺去，即砰了4，亦即(菇-1)2+(，“)2 +并2+菇。=1，贝4(x，-口1)2+(戈：-口2)2+·+(Xn-On)2÷(口。+(2+1)2i4+口2+口。一1)2故(菇一1)2+()，+1)2+(z+1)2的最小值为睾证明：因为菇l+戈2+4-x。=1，解法8：(向量法)设m=(菇一1，Y+1，z+1)，n=所以(戈l一口I)4-(石2一口2)+ 4-(菇。一口。)=1 (1，1，1)，m与厅的夹角为o(o0仃)，那么I m l=一(口l+口2+ +口。)砍i1F万百可，I靠l-

7、万，由Cauchy不等式，得：xl一口1)2+(戈2一a2)2+(x。一口。)2(12+m·一=(戈一1)·1+(Y+1)·l+(彳+1)·1=12+12)筇+Y+z+1=2凼为m·n=I m I I n I cosO，(髫l一口I)·1+(髫2一口2)·1+ +(菇。一口。)所以I m·n II m I I n I，即·12，2以i1F丐了万T可·万即，l(筇I一口1)2+(菇2一口2 2+(戈。一an)21一(口l+口2+an)2所以(菇一1)2+()，+1)2+(z+1)2_4所以(戈l一

8、口1)2+(戈2一口2)2+ +(戈。一an)2故(菇一1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为睾÷(口。+口：+·+一1)2解法9：(利用方差的非负性)二、对第(2)小题的解答·15·对于第(2)小题，在求不等式(x一2)2+(y1)2掉任何一个考点，更不能考哪就讲哪+(z一口)：导左边的最小值时，完全可以采用第(1)2复习应前挂后联，打通知识壁垒在复习前面的知识时，应把后面相关联的知识揉在一起复习，讲清它小题的九种方法这里笔者只采用Cauchy不等式进们的联系，打通知识之间的壁垒，融会贯穿，而在复习 行求解后面的知识时，要对前面相关知识进行点拨、

9、提醒一解：因为戈+Y+z=1，所以(戈一2)+(，一1)+(戈下，防止学生遗忘一口)=一2一口3复习应做到“跳一跳，摘得到在复习过程中，由Cauchy不等式，得：要学习猴子摘桃子的方法，“跳一跳，摘得到就是平(菇一2)2+(Y1)2+(zo)2(12+12+12)时复习时，老师讲解的例题，给学生设计的练习和考题(菇一2)·1+(，一1)·1+(：一口)·12，当且仅的难度要适当略高于高考，这样才能使学生站得高，看 当戈一2=Yl=z一口时等号成立得远遇到像今年高考这样偏难的题目，学生就不会喊即3(戈一2)2+(，一1)2+(z一口)2(一2一难了口1 2所以(x一2)：+(y-1)2+z-a)：掣 4复习要注意训练学生的心理素质在平时复习考试中，试题难易程度、排列顺序不能一成不变，要随时加以改变，每次应有所不同，这样可以使学生心理产为掣所以(菇一2)2+(Y一1)2+(彳一口)2的最小值生起伏，调节学生心态在平时考试的时候，如有必要，也可以适当人为制造一点紧张气氛，训练学生的心理由题意知：丝弓丛÷，解之，得：口一3或口 素质和临场应变能力参考文献：一11刘绍学普通高中课程标准实验教科书数学三、对今后高考复习的启示(A版)选修44M北京：人民教育出版