线性代数 2 行列式

1、1.2 1.2 行行 列列 式式一、二阶及三阶行列式一、二阶及三阶行列式二阶行列式二阶行列式11a 2211aa行、行、列、列、元素元素主对角线、主对角线、 副对角线副对角线)( )( 12a21a22a2112aa-三阶行列式三阶行列式 332211aaa131211aaa312213aaa )( )( 232221aaa333231aaa312312aaa 322113aaa 332112aaa 322311aaa 1例例计算行列式计算行列式512432221D 解解122242531D ）（）（）（141522232 ）（）（）（39 :矩阵与行列式的区别矩阵与行列式的区别;数表数表矩阵

2、矩阵 数数行列式行列式 在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231MA .23M 二、二、n n阶行列式的定义阶行列式的定义,444342413433323124232221

3、14131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别定义定义1.71.7：行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 或或jnjnjjjjAaAaAaD 22

4、11 nj, 2 , 1 0532004140013202527102135 D例例2 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D . .1080124220 53241413252 53204140132021352152 66027013210 6627210 13rr 122 rr 例例3 证明证明上上三角行列式三角行列式等于其主对角线上所有等于其主对角线上所有元素之积元素之积.nnnnaaaaaa000222112110.2211nnaaa n 21 n 21对角形行列式对角形行列式三、行列式的性质三、行列式的性质行列式行列式 称为行列式称为行列式

5、的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .说明说明: :行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位, ,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. . 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互

6、换相同的两行，有 . 0 D,DD ,571571 266853.825825 361567567361266853性质性质 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 或或jnjnjjjjAaAaAaD 2211 nj, 2 , 1 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnnin

7、iinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122211111122211111例如例如性质性质6行列式中如果有两行（列）元素成比例，行列

8、式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质7把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakrr)()()(1222221111111

9、k例如例如4例例计算行列式计算行列式325298201503132 D解解325230012003500132 D321213132325300200500132 24 1.1.化三角形法化三角形法利用性质化为三角形行列式利用性质化为三角形行列式. .2.2.降阶法降阶法( (展开法展开法) )用展开法则按一行用展开法则按一行( (列列) )展开展开. .可在选定的一行可在选定的一行( (列列) )中中利用性质利用性质尽量尽量化化零，再按零，再按此行此行( (列列) )展开展开. .行列式计算的基本方法行列式计算的基本方法例例5:5:用化三角形法及降阶法计算下列行列式用化三角形法及降阶法计算下

10、列行列式3351110243152113 D3315112043512131 解法一：解法一： 原式原式72160648011202131 32rr 145rr 12rr 72160112064802131 56001080011202131 234rr 244rr 40250001080011202131 3486rr 例例6 6 计算计算 阶行列式阶行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1)

11、 1(00 .)() 1(1 nbabna7例例解解n21a1111a1111a1D 计算行列式计算行列式)n,2 , 1i , 0a(i )1( n1211a0a0aa11a1D )(21aa)(1naanniiaaaaa00001112211 n32aaa niiaaa2111n21aaa n1iia11阶范得蒙行列式阶范得蒙行列式证明证明例例n113121122322213211111 nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxD)xx(jinij1 )2n( 证明证明时时2n 12212xxxx11D 阶范得蒙行列式成立阶范得蒙行列式成立设结论对设结论对1n )x(1 )x(1 )x(1

12、 2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 2131122133112222213311()()()()()()nnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 2nn2n32n2n32n2k1kxxxxxx111)xx( )xx()xx(jinij2n2k1k )xx(jinij1 例例计算行列式计算行列式bacacbcbacbaD 222cbacbacbacbacbaD 222解解:111)(222cbacbacba 2222111)1)(cbacbacba )()

13、()(abbcaccba 例例解方程解方程:0144413331222132323232 xxx)23)(24)(34)(2)(3)(4( xxxDDT解解: 设方程左边为行列式设方程左边为行列式D,则则:(方法一方法一) 4, 3, 2321 xxx解解: 设方程左边为设方程左边为f(x),则则f(x)=0为三次方程为三次方程,又又(方法二方法二) 0)4(, 0)3(, 0)2( fff4, 3, 2321 xxx例例10:1111321121121121nnnnnaaaaaxaaaaxaaaaxD000000000012211121xaaxxaaxxaaaaxnnxaaxxaaxxaax

14、xannnn0000000000000) 1(1112211)1 ()()(21xaxaxan()()D行行列列式式 的的任任一一行行 列列 的的各各元元素素与与另另一一行行 列列.式乘积之和为零式乘积之和为零的对应元素的代数余子的对应元素的代数余子1s1 iAa2s2iAa 0Aasnin ) si ( t1j1Aat2j2Aa 0Aantnj ) tj ( 性质性质8：2921702133332314D 41424344AAAA.例例11：证明：证明满足满足性质性质9：四块缺角行列式：四块缺角行列式,0ACA BB 0.AA BDB 注意：注意：C 、D 子块与子块与 0 子块未必是方阵子块未必是方阵10000012000130000021000151002101215013 性质性质10：设：设A,B 都是都是 n 阶方阵，则阶方阵，则ABA B 一般地，有一般地，有kkAAAA11 注意：注意：BAAB )1(0)2( AB00 BA或或(4) AB BA 0)3( kA0 A 例例13: 设设n阶矩阵阶矩阵A 满足满足, IAAT 1,.AIA求求12:例例, 02, 2|,3