线性代数与运筹学 第一讲

1、上 海 海 事 大 学 任课教师：邓 伟邮 箱：课程安排课程安排 参考书目 运筹学张伯生 科学出版社 2007年管理运筹学第三版 韩伯棠 高等教育出版社 2010年工程数学线性代数同济大学数学系 高等教育出版社 运筹学简介运筹学简介 运筹学（Operations Research） 系统工程的最重要的理论基础之一，在美国有学者把运筹学称之为管理科学（Management Science）。运筹学所研究的问题，可简单地归结为一句话： “依照给定条件和目标，从众多方案中选择最佳方案。” 故有人称之为最优化技术。运筹学简介运筹学简介 运筹学（Operations Research） 运筹学是一门应用

2、科学，至今没有统一的定义。 据 大英百科全书释义：“运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学”，“运筹学为掌管这类系统的人提供决策目标和数量分析的工具”。运筹学简介运筹学简介 运筹学（Operations Research） 运筹学是一门应用科学，至今没有统一的定义。 据 大英百科全书释义：“运筹学是一门应用于管理有组织系统的科学”，“运筹学为掌管这类系统的人提供决策目标和数量分析的工具”。运筹学简介运筹学简介 运筹学（Operations Research） 中国大百科全书的释义为： 运筹学 “用数学方法研究经济、民政和国防等部门在内外环境的约束条件下合理分配人力、物力、财力等资源，使实际系统

3、有效运行的技术科学，它可以用来预测发展趋势，制定行动规划或优选可行方案”。运筹学简介运筹学简介 运筹学（Operations Research） 中国管理百科全书的释义为： “运运筹学是应用分析、试验、量化的方法，对筹学是应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统经济管理系统中的人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。最有效的管理。”运筹学简介运筹学简介 运筹学（Operations Research） 运筹学是运用科学的方法(如分析、试验、量化等)来决定如何最佳地运营和设

4、计各种系统的一门学科。 简而言之，运筹学就是一门研究系统优化的学科。 运筹学强调以量化为基础，广泛应用现有的科学运筹学强调以量化为基础，广泛应用现有的科学技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，技术知识和数学方法，解决实际中提出的专门问题，为决策者选择最优决策提供定量依据，具有多学科为决策者选择最优决策提供定量依据，具有多学科交叉的特点。交叉的特点。 通常以最优、最佳等作为决策目标，避开最劣的方案。运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 在英国称为: Operational Research 在美国称为: “Operations Research” 可直译为“运用研究”“作业研究”“运作研究

5、”。 1957 年，我国科技工作者从 “夫运筹帷幄之中，决胜千里之外”（史记 高祖本记）这句古语中摘取 “运筹” 二字，将 O.R. 正式译作运筹学。运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 中国古代：朴素的运筹学思想(田忌赛马（对策论）、孙子兵法) 战国时期，齐王与大臣赛马： 齐 王: 上 中 下田 忌: 下 上 中田忌两胜一负，以劣势净得千金。故有人称之为最优化技术。“运筹帷幄之中，决胜千里之外” 运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 北宋真宗年间，皇城失火，皇宫被毁，朝廷决定 重建皇宫，时间非常紧迫。宋真宗：“没有皇宫,如何上朝,如何议政,如何安居呢?” 宰相丁谓(9621033)负责修缮宫殿。

6、 瓦砾：失火中毁坏和修路中废弃的瓦砾填沟筑 路。 解决三项任务：取土、外地材料运输、处理瓦砾 取土：皇宫外的大街上挖沟取土； 运输：引开封附近汴水入沟，使载运外地材料的船 只直接抵达宫前；运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 “Operational Research”这一名词最早出现在第二次世界大战期间 美、英等国家的作战研究小组为了解决作战中所遇到的许多错综复杂的战略、战术问题而提出的。运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 1946年 二次世界大战期间，英美国家都发明制造了一些新式武器，如雷达，单武器的有效使用却落后于武器的制造，难以正确评估和迅速提高这些武器的使用效率。1935年，英国军方成

7、立了科学小组，研究如何有效地运用英国的一支力量有限的空军，来抵抗敌人的空袭和对付敌人的潜艇。反潜战争、运输问题、商船编队和舰队护航、武器质量控制和检测运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 1946年 “运作研究运作研究(Operational Research)小组小组”:解决解决复杂的战略和战术问题。例如：复杂的战略和战术问题。例如：1. 如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭如何合理运用雷达有效地对付德军德空袭2. 对商船如何进行对商船如何进行编队编队护航，使船队遭受德国潜护航，使船队遭受德国潜艇攻击时损失最少；艇攻击时损失最少；3. 在各种情况下如何调整反潜深水炸弹的爆炸深在各种情况下如何调

8、整反潜深水炸弹的爆炸深度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。度，才能增加对德国潜艇的杀伤力等。运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 1947年-1960年代上半期 主要用于企业管理，理论上趋于成熟 。从军事运筹研究转向国民经济各个部门，取得了良好的效果。 基础理论的研究，使之科学化、条理化 研究运筹学的新方法 企业管理运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 1960年代下半期 运筹学的内容越来越丰富，分工越来越细，产生了许多新的分支。 研究的系统由小而大，逐渐和系统分析相结合。 在时间上由短到长，逐渐和未来学结合。 研究的因素由技术性转向非技术性，和社会科学结合。运筹学简介运筹学简介 运筹学的历史 战后

9、这些研究成果被应用到生产、经济领域，并得到迅速发展有关理论和方法的研究、实践不断深入。1947年美国数学家丹捷格(G.B.Dantzig）提出了求解线性规划的有效方法单纯形法。数学对运筹学的作用是有关理论和方法的研究基础，是建立运筹学模型的工具。计算机的发展，促进运筹学的进一步发展高速、可靠的计算是运筹学解决问题的基本保障。运筹学简介运筹学简介1.选址问题3.切割问题4.路线选择问题5.NEWSBOY问题6.飞行员排班问题2.装箱问题 典型运筹学问题7.排队服务问题8.人员招聘问题运筹学简介运筹学简介 运筹学学科体系： 规划理论（线性规划、运输问题、整数规划、目标规划、非线性规划、动态规划、多

10、目标规划） 网络流分析、图与网络计划 库存分析 决策分析 对策分析 排队分析运筹学简介 运筹学研究问题的主要步骤： 运筹学简介目前国际、国内著名的运筹学刊物有： Management ScienceOperations ResearchJournal of Operational Research SocietyEuropean Journal of Operations Research运筹学学报运筹与管理运筹学简介运筹学简介运筹学方法在中国使用情况(随机抽样) ：0 0101020203030404050506060707080809090统计统计计算机模拟计算机模拟网络计划网络计划线性规

11、划线性规划排队论排队论非线性规划非线性规划动态规划动态规划对策论对策论从不使用从不使用有时使用有时使用经常使用经常使用运筹学简介运筹学界对于运筹学的发展方向的观点： 从强调数学模型到强调应用、建模协调发展，重视多学科的横向交叉联系和解决实际问题的研究；引入非数学方法(AHP方法，Pareto解)；人机对话和现代优化算法(决策支持系统、专家系统；遗传算法、神经网络、模拟退火、进化算法、禁忌搜索等)。用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,12222212

12、12112abxaaxaa ，得，得两式相减消去两式相减消去2x一、二阶行列式的引入一、二阶行列式的引入;212221121122211baabxaaaa ）（，得，得类似地，消去类似地，消去1x,211211221122211abbaxaaaa ）（时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx ）（3.211222112112112aaaaabbax 由方程组的四个系数确定由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表称列）的数表)4(22211211aaaa

13、)5(42221121121122211aaaaaaaa行行列列式式，并并记记作作）所所确确定定的的二二阶阶称称为为数数表表（表表达达式式 即即.2112221122211211aaaaaaaaD 11a12a22a12a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,

14、2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD 则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为,2221121122212111aaaaababDDx 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式.2221121122111122aaaababaDDx . 12,12232121xxxx求解二元线性方程组求解二元线性方程组解解1223 D)4(3 , 07

15、112121 D,14 121232 D,21 DDx11 , 2714 DDx22 . 3721 二、三阶行列式二、三阶行列式333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表（）式称为数表（5 5）所确定的）所确定的. .323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (1)(1)沙路法沙路法三

16、阶行列式的计算三阶行列式的计算322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD . .列标列标行标行标333231232221131211aaaaaaaaaD 333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号元素的乘积冠以负号说明说明1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa

17、如果三元线性方程组如果三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式的系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 2 2. . 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同列的三个元素的乘积不同列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为三项为负负. . ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxax

18、abxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,33332321312323222121131

19、3212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baaba

20、abaaD ,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为:,11DDx ,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 2-43-122-4-21D 计算三阶行列式计算三阶行列式按对角线法则，有按对角线法则，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(2411 24843264 .14 . 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端1229184322

21、xxxxD, 652 xx解得解得由由052 xx3.2 xx或或例例4 4 解线性方程组解线性方程组 . 0, 132, 22321321321xxxxxxxxx由于方程组的系数行列式由于方程组的系数行列式111312121 D 111 132 121 111 122 131 5 , 0 同理可得同理可得1103111221 D, 5 1013121212 D,10 0111122213 D, 5 故方程组的解为故方程组的解为:, 111 DDx, 222 DDx. 133 DDx 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的程组引入的.对角线法则对

22、角线法则二阶与三阶行列式的计算二阶与三阶行列式的计算.2112221122211211aaaaaaaa ,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa三、小结三、小结一、概念的引入一、概念的引入引例引例用用1、2、3三个数字，可以组成多少个没三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？有重复数字的三位数？解解1 2 3123百位百位3种放法种放法十位十位1231个位个位12 32种放法种放法1种放法种放法种放法种放法.共有共有6123 二、全排列及其逆序数二、全排列及其逆序

23、数同的排法？同的排法？，共有几种不，共有几种不个不同的元素排成一列个不同的元素排成一列把把 n问题问题定义定义把把 个不同的元素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个个元素的全排列（或排列）元素的全排列（或排列）.nn 个不同的元素的所有排列的种数，通常个不同的元素的所有排列的种数，通常用用 表示表示.nnP由引例由引例1233 P. 6 nPn )1( n)2( n123 !.n 同理同理 在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义 我们规定各元素之间有一

24、个标准次序我们规定各元素之间有一个标准次序, n 个个不同的自然数，规定由小到大为不同的自然数，规定由小到大为标准次序标准次序.排列的逆序数排列的逆序数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数逆序数.例如例如 排列排列32514 中，中， 3 2 5 1 4逆序数为逆序数为31010故此排列的故此排列的逆序数为逆序数为3+1+0+1+0=5.计算排列逆序数的方法计算排列逆序数的方法方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的数前面比它大的数码之和即分别算出码之和即分别算出 这这 个元素个元素的

25、逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数.n,n,121 n,n,121 n逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列;逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列.排列的奇偶性排列的奇偶性分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数序数.方法方法2 2例例1 1 求排列求排列32514的逆序数的逆序数.解解在

26、排列在排列32514中中,3排在首位排在首位,逆序数为逆序数为0;2的前面比的前面比2大的数只有一个大的数只有一个3,故逆序数为故逆序数为1;3 2 5 1 40 1 0 3 1于是排列于是排列32514的逆序数为的逆序数为13010 t. 5 5的前面没有比的前面没有比5大的数大的数,其逆序数为其逆序数为0;1的前面比的前面比1大的数有大的数有3个个,故逆序数为故逆序数为3;4的前面比的前面比4大的数有大的数有1个个,故逆序数为故逆序数为1;例例2 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性偶性. 2179863541解解4536897125443100

27、10 t18 此排列为此排列为偶排列偶排列.54 0100134 321212 nnn解解12 ,21 nn当当 时为偶排列；时为偶排列；14 ,4 kkn当当 时为奇排列时为奇排列.34 , 24 kkn 1 nt 2 n 32121 nnn1 n 2 n2 2 排列具有奇偶性排列具有奇偶性.3 计算排列逆序数常用的方法有计算排列逆序数常用的方法有2 种种.1 1 个不同的元素的所有排列种数为个不同的元素的所有排列种数为n!.n三、小结三、小结一、概念的引入一、概念的引入三阶行列式三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD 322113312312332211aaaa

28、aaaaa 332112322311312213aaaaaaaaa 说明说明（1）三阶行列式共有）三阶行列式共有 项，即项，即 项项6!3（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积乘积（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列的三个元素的下标排列例如例如322113aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 211312 t322311aaa列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为 , 101132 t偶排列偶排列奇排列奇排列正号正号 ,负号负号 .)1(3213213332312322211

29、31211 ppptaaaaaaaaaaaa二、二、n阶行列式的定义阶行列式的定义nnnnnnnppptaaaaaaaaaDaaannnn212222111211212.)1(21 记记作作的的代代数数和和个个元元素素的的乘乘积积取取自自不不同同行行不不同同列列的的阶阶行行列列式式等等于于所所有有个个数数组组成成的的由由定义定义).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa为这个排列的逆序数为这个排列的逆序数的一个排列，的一个排列，为自然数为自然数其中其中tnpppn2121 nnnnppppppppptnnnnnnaaaaaaaaaaaaD21212

30、1212122221112111 说明说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;nn4、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 5、 的符号为的符号为nnpppaaa2121 .1t 例例1 1计算行列式计算行列式0004003002001000分析分析展开式

31、中项的一般形式是展开式中项的一般形式是43214321ppppaaaa41 p若若, 011 pa否则这个项为零。否则这个项为零。所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 t.24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314例例2 2 计算上计算上三角行列式三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是.2121nnpppaaa,npn , 11 npn, 1, 2, 3123 ppnpn所以不为零的项只有所以不

32、为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnntaaa2211121 .2211nnaaa 解解例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 同理可得同理可得下三角行列式下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa n 21 .12121nnn ;21n n 21例例4 4 证明证明对角行列式对角行列式n 21 11,212111nnnnntaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1

33、, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕一、行列式的性质一、行列式的性质 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211例如例如推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .,571571 266853.825825 361567567361266853说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式

34、中行与列具有同等的地位, 因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. . 行列式的某一行（列）中所有的元素都行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 行列式的某一行（列）中所有元素的公因行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面子可以提到行列式符号的外面性质性质行列式中如果

35、有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 性质性质5 5若行列式的某一列（行）的元素都是两若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和数之和. .nnnininnniiniiaaaaaaaaaaaaaaaD)()()(2122222211111211 则则D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和：nnninnininnninniniaaaaaaaaaaaaaaaaaaD 122

36、211111122211111例如例如性质性质把行列式的某一列（行）的各元素乘以把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列同一数然后加到另一列(行行)对应的元素上去，行对应的元素上去，行列式不变列式不变njnjninjjinjiaaaaaaaaaaaa122221111111111112122221()()()ijjnijjjijnninjnjnjaakaaaaakaaackcaakaaa k例如例如例例2101044614753124025973313211 D二、应用举例二、应用举例计算行列式常用方法：利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而

37、算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 312rr 4 42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 514rr413rr2220001000211003512013211 34rr 222002010021100351201321

38、1 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 习题习题8(2):计算计算n阶行列式阶行列式abbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D将第将第 都加到第一列得都加到第一列得n, 3 , 2 abbbabbbabbbbna1111) 1( babababbbbna 1) 1(00 .)() 1(1 nbabna例例1010nnnnnknkkkkkbbbbccccaaaaD1111111111110 设设,)det(111

39、11kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 证明证明证明证明;0111111kkkkkpppppD 设为设为化为下三角形行列式化为下三角形行列式，把，把作运算作运算对对11DkrrDji 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把作运算作运算对对22,DkccDji .0111112nnnknqqpqqD 设为设为,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 化为下三角形行列式化为下三角形行列式把把算算列作运列作运，再对后，再对后行作运算行作运算的前的前对对DkccnkrrkDjiji, nnkkqqppD1111 故故.21

40、DD 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb11110kkkpDpp1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb1111111111100kkkknnnknnnpppDccbbccbb1111111111100kkkknnnknnnpppDccbbccbb11210nnnqDqq 11111111110kkkknnknnnpppDccqccqq例例11 11 计算计算2 2n阶行列式阶行列式200000000nabababDcdcdcd解解 第第2 2n行依次与第行依次与第2 2n 1、第、第2行对换行对换(2(2n 2次次

41、),),再把第再把第2 2n列依次与第列依次与第2 2n 1、第、第2列对换列对换(2(2n 2次次) )得得200000000nabcdabDabcdcd 222(1)2(1)().nnnDD Dadbc D22(1)2(2)12()() ().()() .nnnnnDadbc Dadbcadbc DadbcDadbc,312213332112322311322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa例如例如 3223332211aaaaa 3321312312aaaaa 3122322113aaaaa 333

42、123211333312321123332232211aaaaaaaaaaaaaaa 一、余子式与代数余子式一、余子式与代数余子式在在 阶行列式中，把元素阶行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列划去后，留下来的列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素阶行列式叫做元素 的的余子式余子式，记作，记作nijaij1 nija.Mij ，记记ijjiijMA 1叫做元素叫做元素 的的代数余子式代数余子式ija例如例如44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD 44424134323114121123aaaaaaaaaM 2332231M

43、A .23M ,44434241343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaaaaaD ,44434134333124232112aaaaaaaaaM 1221121MA .12M ,33323123222113121144aaaaaaaaaM .144444444MMA .个个代代数数余余子子式式对对应应着着一一个个余余子子式式和和一一行行列列式式的的每每个个元元素素分分别别引理引理 一个一个 阶行列式，如果其中第阶行列式，如果其中第 行所有行所有元素除元素除 外都为零，那末这行列式等于外都为零，那末这行列式等于 与它的与它的代数余子式的乘积，即代数余子式的乘积，

44、即 ijijAaD niijaija44434241332423222114131211000aaaaaaaaaaaaaD .14442412422211412113333aaaaaaaaaa 例如例如定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即素与其对应的代数余子式乘积之和，即ininiiiiAaAaAaD 2211 ni, 2 , 1 证证nnnniniinaaaaaaaaaD212111211000000 二、行列式按行（列）展开法则二、行列式按行（列）展开法则nnnninaaaaaaa2111121100 nnnninaa

45、aaaaa2121121100 nnnninnaaaaaaa211121100 ininiiiiAaAaAa 2211 ni, 2 , 1 例例13351110243152113 D03550100131111115 312 cc 34cc 0551111115)1(33 055026115 5526)1(31 5028 .40 12rr 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例2证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxx

46、xxxxxxxD)1(，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 1nx从第 行开始，后行减去前行的 倍)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式推论推论 行列式任一行（列）

47、的元素与另一行（列）行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即. ji,AaAaAajninjiji 02211,11111111nnnjnjininjnjnjjaaaaaaaaAaAa 证证行展开，有行展开，有按第按第把行列式把行列式jaDij)det( ,11111111nnniniininjninjiaaaaaaaaAaAa 可得可得换成换成把把), 1(nkaaikjk 行行第第 j行行第第 i,时时当当ji ).(,02211jiAaAaAajninjiji 同理同理).(, 02211jiAaAaAanjn

48、ijiji 相同相同关于代数余子式的重要性质关于代数余子式的重要性质 ;,0,1jijiDDAaijnkkjki当当当当 ;,0,1jijiDDAaijnkjkik当当当当 .,0,1jijiij当当，当当其中其中0532004140013202527102135 D例例 计算行列式计算行列式解解0532004140013202527102135 D23110 072066 6627210 .1080124220 2312 5414235 53204140132021352152 13rr 122 rr 计算计算2n阶行列式阶行列式将将D2n先按第先按第1列展开列展开, 再分别按第再分别按第2

49、n -1列展开列展开, 得得200000000nabababDcdcdcd200nababDacdcdd210( 1)0nbabcabcdcd 22(1)2(1)2(1)()()().nnnnDad Dbc Dadbc D22(1)2(2)12()() ().()() .nnnnnDadbc Dadbcadbc DadbcDadbc克莱姆克莱姆(Gabriel Cramer, 公元公元1704年年7月月31日日公公元元1752年年1月月4日日)瑞士数瑞士数学家。他一生未婚，专心学家。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望治学，平易近人且德高望重，先後当选为伦敦皇家重，先後当选为伦敦皇家学会、柏

50、林研究院和法国、学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。意大利等学会的成员。1.7 Cramer法则法则1.7 Cramer法则法则他的主要著作是在他的主要著作是在1750年出版的年出版的代数曲缐的分代数曲缐的分析引论析引论, 首先定义了正则、非正则、超越曲缐首先定义了正则、非正则、超越曲缐和无理曲缐等概念和无理曲缐等概念, 第一次正式引入坐标系的纵第一次正式引入坐标系的纵轴轴(y轴轴), 然後讨论曲缐变换，并依据曲缐方程的然後讨论曲缐变换，并依据曲缐方程的阶数将曲缐进行分类。为了确定经过阶数将曲缐进行分类。为了确定经过5个点的一个点的一般二次曲缐的系数般二次曲缐的系数,应用了著名的应用了

51、著名的Cramers Rule, 即由缐性方程组的系数确定方程组解的表达式。即由缐性方程组的系数确定方程组解的表达式。该 法 则 於该 法 则 於 1 7 2 9 年 由 英 国 数 学 家 马 克 劳 林年 由 英 国 数 学 家 马 克 劳 林(Maclaurin)得到得到, 1748年发表年发表, 但克莱姆的优越符但克莱姆的优越符号使之流传。此外，他还留下若干数学史笔记，号使之流传。此外，他还留下若干数学史笔记，提出应用於数理经济和概率论的提出应用於数理经济和概率论的“数学效益数学效益”概概念。念。 一、克拉默法则一、克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组)1(2211222221211

52、1212111 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 0 .DDx,DDx,DDx,DDxnn 232211其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即jDDjnnnj ,nnj ,nnnj ,j ,jaabaaaabaaD11111111111 那么线性方程组那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解有解，并且解是唯一的，解可以表为可以表为 1教材例教

53、材例14 用克拉默则解方程组用克拉默则解方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解6741212060311512 D212rr 24rr 127702120603113570 12772121357 212cc 232cc 277010353 2733 ,27 67402125603915181 D,81 67012150609115822 D,108 60412520693118123 D,27 07415120903185124 D,27 , 3278111 DDx, 42710822 DDx, 1272733 DDx.

54、 1272744 DDx二、重要定理二、重要定理定理定理1 1 如果线性方程组如果线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则则 一定有解一定有解, ,且解是唯一的且解是唯一的 . . 1 1, 0 D定理定理2 2 如果线性方程组如果线性方程组 无解或有两个不同的无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零解，则它的系数行列式必为零. . 1 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111设线性方程组设线性方程组,21不全为零不全为零若常数项若常数项nbbb则称此方程组为则称此方程组为非非 非齐次线性方程组非齐次线性方程组;,21全为零全为

55、零若常数项若常数项nbbb此时称方程组为此时称方程组为齐次线性方程组齐次线性方程组.非齐次与齐次线性方程组的概念非齐次与齐次线性方程组的概念齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 2000221122221211212111 nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 的系数行列式的系数行列式 则齐次线性方程组则齐次线性方程组 没有非零解没有非零解. .0 D 2 2定理定理 如果齐次线性方程组如果齐次线性方程组 2有非零解有非零解, ,则它则它的系数行列式必为零的系数行列式必为零. . 0002211222212112121

56、11nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa有非零解有非零解. .系数行列式系数行列式0 D习题习题12 问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 ,01,032,0421321321321xxxxxxxxx 有非零解？有非零解？ 解解 111132421D134211101 2134(1)212110013(1)(3)2121100 13(1)(3)2121100D23 齐次方程组有非零解，则齐次方程组有非零解，则0 D所以所以 或或 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解.20 ,3 1. 1. 用克拉默法则解方程组的两个条件用克拉默法则解方程组的两个条件(1)(1)

57、方程个数等于未知量个数方程个数等于未知量个数; ;(2)(2)系数行列式不等于零系数行列式不等于零. .2. 2. 克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系数与常数项之间的关系. .它主要适用于理论推导它主要适用于理论推导. .三、小结三、小结思考题思考题当线性方程组的系数行列式为零时当线性方程组的系数行列式为零时, 能否用克拉默能否用克拉默法则解方程组法则解方程组? 为什么为什么? 此时方程组的解为何此时方程组的解为何?思考题解答思考题解答不能不能, 此时方程组的解为无解或有无穷多解此时方程组的解为无解或有无穷多解.把把 个不同的元

58、素排成一列，叫做这个不同的元素排成一列，叫做这 个元个元素的素的全排列全排列（或（或排列排列）nn个不同的元素的所有排列的种数用个不同的元素的所有排列的种数用 表示，表示，且且 nnP!nPn 逆序数为奇数的排列称为逆序数为奇数的排列称为奇排列奇排列，逆序数为，逆序数为偶数的排列称为偶数的排列称为偶排列偶排列在一个排列在一个排列 中，若数中，若数 ，则称这两个数组成一个则称这两个数组成一个逆序逆序 nstiiiii21stii 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆逆序数序数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之

59、和，即算出排列中每个元素的逆序数，码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数方法方法2 2方法方法1 1分别计算出排在分别计算出排在 前面比它大的前面比它大的数码之和，即分别算出数码之和，即分别算出 这这 个元素个元素的逆序数，这的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数排列的逆序数n,n,121 n,n,121 nn npppppptnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaD2121222211121121211 ., 2 , 1;, 2 , 12121列取和列取和的所

60、有排的所有排表示对表示对个排列的逆序数个排列的逆序数为这为这的一个排列的一个排列为自然数为自然数其中其中ntnppppppnn . ,)()4.,)()3.),()2.DD,1)T乘此行列式乘此行列式等于用数等于用数一数一数中所有的元素都乘以同中所有的元素都乘以同列列行列式的某一行行列式的某一行等于零等于零则此行列式则此行列式完全相同完全相同列列如果行列式有两行如果行列式有两行行列式变号行列式变号列列互换行列式的两行互换行列式的两行即即式相等式相等行列式与它的转置行列行列式与它的转置行列kk ., )( , )( )8., )( )7., )( )6. )( )5行列式的值不变行列式的值不变对