当杆件承受轴向载荷时,其轴向和横向尺寸均发生变化.杆件沿轴线

1、1当杆件承受轴向载荷时，其轴向和横向尺寸均发生变化。杆件沿轴线方向的变形称为轴向变形；垂直于轴线方向的变形称为横向变形。FF2集装箱运载桥集装箱运载桥DABCP轴向 拉杆下面我们将所圈区域放大3FFR2FR1CAB30 P刚度问题拉压静不定问题4 E 工程上使用的大多工程上使用的大多数材料，其应力应变关数材料，其应力应变关系的初始阶段都是线弹系的初始阶段都是线弹性的，亦即当应力低于性的，亦即当应力低于材料的比例极限时，应材料的比例极限时，应力与应变成正比，这就力与应变成正比，这就是胡克定律，可以写成是胡克定律，可以写成 pe1o oabFFp()5NFFAA ll 由由E EAlFlN 得得p

2、() ll + lb + bb FF胡克定律EA拉压刚度（抗拉刚度）6 2 1EG 三个弹性常数之间的关系：E 试验表明试验表明bb 横向正应变横向正应变EAbFEbbN p() 为为泊松泊松(Poisson)比比ll + lb + bb FF7EAlFlN 只适用于计算在长度l内FN及EA均为常值的情况，即在l长度内变形是均匀。 211N1 11211:FFlF lABNFFlEAEA l1l2ABF1CF2N2 22 2222:FlF lBCNFlEAEA l1l2ABF1CF28 211N1 1N2 22 212ACFFlFlFlF llllEAEAEAEA 如果变形是分段均匀的，则总变

3、形按右式分段求和：N1ni iiiiFllE A 2221112222N111N21EAlFEAlFFEAlFEAlFlllAC l1l2ABF1CF2l1l2ABF1CF29 如果变形是非均匀的，例如考虑自重的竖杆、变截面杆等，轴力N(x)或截面积A(x)是x的函数。则总变形按右式积分求和： lllxEAdxxFdxxdll)()(N lABlABF10ABCF1ABCF2l1l2ABF1CF2EAlFlAC11 EAllFlAC212 由此可见，几个载荷同时作用时产生的总效果，等于各个载荷单独作用时产生的效果的总和。此原理称为叠加原理。（线性范围） 2121 1ACACFllF lllEA

4、EA = = 2112 2FFlF lEAEA ACl11例1 如图螺栓内径为d=10.1mm,拧紧后在计算长度l=80mm内产生的总伸长量为 l=0.03mm。螺栓材料的弹性模量E=210GPa，泊松比 =0.3 。试计算螺栓内的应力、螺栓的预紧力和螺栓的横向变形。解：拧紧后螺栓内的轴向正应变为0.030.00037580ll 96210 100.00037578.8 10 Pa78.8MPaE 63278.8 10(10.1 10 ) /46310N6.31kNFA 0.3 0.0003750.0001125 0.0001125 10.1mm0.00114mmdd 12l1l2ABFCF

5、例 2 如 图 所 示 圆 截 面 杆 ， 已 知 F = 4 k N ，l1=l2=100mm，E=200GPa，为保证杆件正常工作，要求其轴向总伸长量不超过0.10mm，即许用变形l=0.10mm。试求截面直径d。解：分析。这是一个刚度设计问题，需要通过计解：分析。这是一个刚度设计问题，需要通过计算变形来确定杆的直径。因此首先需要计算杆的算变形来确定杆的直径。因此首先需要计算杆的变形与其直径之间的关系。变形与其直径之间的关系。13l1l2ABFCFF=4kN，l1=l2=100mm，E=200GPa， l=0.10mm。1、计算轴力、计算轴力N1N22FFFF 2、计算轴向变形、计算轴向变

6、形N1 1N2 212122284F lF lFlFlllEAE dEAE d总伸长：总伸长：112212FllllE d 3、刚度设计要求：、刚度设计要求： l l 31128.7 10 mFldEl 取取d=8.7mm14例3 如图所示涡轮叶片，当涡轮等速旋转时承受离心力作用。叶片横截面面积为A，弹性模量为E，单位体积的质量为，涡轮的角速度为，试计算叶片上的正应力与轴向变形。解：1、叶片的外力 22dFadmAdA d 2、叶片的内力与应力（截面法 Fx=0） 02222N0( )2RxAFxAdRx 222N0( )( )2FxxRxA xdxR0n nFN(x)R0R1 d xnndF

7、15xdxR0n n3、叶片的变形微段dx的变形 NxFxdlx dxdxdxEEA 叶片的总变形 0000111101N2222323000112326RRRRRRRRRRxFxldlx dxdxdxEEARxdxRR RREE FN(x) 222N0( )( )2FxxRxA 16解：1、叶片的外力 22dFadmAdA d 2、dF单独作用效果n-n截面上的正应力：2NdFdFddAA 叶片的变形： 2211RddFRdlEAE 3、所有离心力作用效果的总和n-n的正应力： 00222202RRxxddRx 叶片的总变形： 001122213230011236RRRRRdldlRR RR

8、EE R0 d R1xnndF17桁架是由二力杆铰接，外力作用在节点的结构模型。其变形通常用节点的位移来表示。例4图示桁架，杆材料为钢，E200GPa， 横截面积A1200mm2， A2250mm2，杆长l12m。试求P10kN时，节点A的位移。CAB30 P18解：1求轴力2计算变形N1220kNsin30PFP （拉伸）N2N1cos301.7317.3kNFFP （压缩）由节点A的平衡条件可得杆、杆的轴力分别为33N1 113120 102 101mm200 10200F llEA （伸长）33N2 223217.3 101.73 100.6mm200 10250FllEA（缩短）CAB

9、30 PFN1FN2PA30 19 3求A点位移。 变形后的A点是分别以C点和B点为圆心，以CD和BE为半径所作圆弧的交点A。 由于变形很小，上述弧线可近似地用切线代替，于是过D点和E点，分别作CD和BE的垂线，其交点A即可视为A的新位置。1lAD（伸长）2lAE （缩短）DCAB30 PEAA20 因此，A点的水平位移和垂直位移为：DAEFG20.6mmAxAEl 12sin30tan3010.63.04mm0.50.577AyllAFFG 应该强调指出，在小变形条件下，通常可按结构原有几何形状和尺寸计算支反力和内力，也可采用以切线代圆弧的方法确定位移。利用小变形概念，可以使许多问题的分析计

10、算大为简化。21 构件因变形而贮存的能量，叫做应变能或变形能，用V 表示。 对于由零开始地缓慢加载，由能量守恒定律可知，贮存在构件内的应变能V ，在数值上等于外力所作的功W ，即，W= V 。 利用应变能的概念，可以作出构件或结构的变形或位移计算，从而解决构件或结构的刚度或静不定等问题，这种方法就称为应变能法或能量法。ABF122条件：载荷从0开始缓慢的增加。W等于P- l曲线下的面积。当p时，有 ddWPl 10dlWPl 12WP l23EAlFEAPllN 对于在长度l内、N=P及EA均为常值的情况，即均匀拉伸：利用以上两式以及能量守恒定律有：2N11222FlWP lN lVEA 从上

11、式可以看出， V 恒为正。12WP l24 图a所示桁架，杆材料为钢质，E200GPa横截面积A1200mm2， A2250mm2， 杆长l12m。 试用能量法求P10kN时，节点A的垂直位移。解：1求轴力。由节点A的平衡条件可得杆、杆的轴力分别为CAB30 PN1220kNsin30FPP （拉伸）N2N1cos301.7317.3kNFFP （压缩）FN1FN2PA30 252应变能计算。22N1 1N2 21222FlFlEAEA CAB30 PV 22N2 1N1 112cos 3022FlFlEAEA 2233969620 10217.3 1023 /22 200 10200 102

12、 200 10250 1015.18N m 263位移计算。设节点A的铅垂位移为 ，由于 与P同向，则外力所作的功为W=P /2，由能量守恒定律可得/2WPV 322 15.18m0.00304m3.04mm10 10VP 为正，说明 与P同向的假设是正确的。由于V 恒为正，因此当只有一个外载荷P作功时， 必与P同向。！这里介绍的能量法只能求载荷方向的位移。从而有：CAB30 P27 dxdzdyyxz 22dxdzdydVdxdydz 2dVvdxdydz v 为单位体积内的应变能，称为应变能密度。p时，有E ,代入上式得:Ev22 单向受力，p22 VzyxVv dVdxdydzE28 d

13、xdzdyyxz 2dxdzdydV 22vG p时，有G ，代入上式得:剪切应变能密度：2dVvdxdydz22 VzyxVv dVdxdydzG剪切应变能： ，p p29FDdh刚杆刚套橡皮管(a)rF (b) 图(a)所示精密仪器底板隔振器，由圆截面钢杆、圆环截面橡皮管和钢套组成，且相互之间牢固连接，设钢杆和钢套可视为刚体，橡皮管的切变模量为G，试求钢杆的位移。解：1应力分析。由于钢杆和钢套与橡皮管牢固连接，因此，当F作用时，橡皮管内外壁相当于受到一对剪力的作用，因此，可以假设橡皮管处于纯剪切状态，且设切应力沿高度方向均匀分布。取一同轴圆柱面，其应力分布如图(b)，由力的平衡可得020zFrhF 得2Frh 302应变能计算。22vG 剪切应变能密度剪切应变能 2/220/2022/22220/2021lnln84hDVdhDdVv dVrd drdxGFFd drdxD