第七章抽样推断

1、第七章 抽样推断v本章内容 第一节第一节 抽样推断概述抽样推断概述 第二节第二节 抽样推断的几个基本概念抽样推断的几个基本概念 第三节第三节 抽样误差抽样误差 第四节第四节 参数估计的一般问题参数估计的一般问题 第五节第五节 一个总体参数的区间估计一个总体参数的区间估计 第六节第六节 样本容量的确定样本容量的确定抽样方案设计抽样方案设计v本章重点v 第三、五、六节内容第三、五、六节内容v本章难点v 第三、五节内容第三、五节内容v具体要求v 理解抽样推断的含义、作用及基本概念理解抽样推断的含义、作用及基本概念v 掌握抽样误差的计算、参数估计的方法等。掌握抽样误差的计算、参数估计的方法等。7.1抽

2、样推断概述 一、抽样推断的概念一、抽样推断的概念 “抽样推断、抽样调查和抽样估计抽样推断、抽样调查和抽样估计”基本上基本上是相同的意思。是相同的意思。回顾第二节回顾第二节“抽样调查抽样调查”的概的概念念 抽样推断是按照抽样推断是按照随机原则随机原则从全部研究对象中从全部研究对象中抽取一部分单位进行观察，并根据被抽取的那部抽取一部分单位进行观察，并根据被抽取的那部分单位的数量特征，运用一定的数理统计方法，分单位的数量特征，运用一定的数理统计方法，对总体的数量性作出具有一定可靠程度的估计和对总体的数量性作出具有一定可靠程度的估计和判断。判断。 【参书中的例子或自己举些例子】【参书中的例子或自己举些

3、例子】 二、抽样推断的特点二、抽样推断的特点 1 1、抽样推断是非全面调查。可以节省人力、抽样推断是非全面调查。可以节省人力物力和财力，取得事半功倍的效果。物力和财力，取得事半功倍的效果。 2、抽样推断是按随机原则抽选调查单位。、抽样推断是按随机原则抽选调查单位。 3、抽样推断是用样本的指标数值去推算总、抽样推断是用样本的指标数值去推算总体的指标数值。体的指标数值。 4、抽样推断运用的是概率原理。、抽样推断运用的是概率原理。 5、抽样推断中产生的误差可以事先计算并加、抽样推断中产生的误差可以事先计算并加以控制。以控制。 三、抽样推断的作用（适用范围）三、抽样推断的作用（适用范围） 1 1、对无

4、限总体全面情况的了解，必须采用对无限总体全面情况的了解，必须采用抽样推断。抽样推断。 2 2、对破坏性或消耗性检查，必须采用抽样调对破坏性或消耗性检查，必须采用抽样调查。查。 3 3、对某些可以但事实上不必或不可能进行全对某些可以但事实上不必或不可能进行全面调查的现象总体，可以采用抽样推断获取相关面调查的现象总体，可以采用抽样推断获取相关资料。资料。 4 4、抽样调查可以对全面调查得来的资料进行抽样调查可以对全面调查得来的资料进行验证，并据以进行补充和修改。验证，并据以进行补充和修改。 5 5、抽样推断可以用于生产过程的质量控制。抽样推断可以用于生产过程的质量控制。 7.2抽样推断的几个基本概

5、念一、全及总体和抽样（样本）总体一、全及总体和抽样（样本）总体 1 1、全及总体全及总体又称母体，简称总体，它是指所要认又称母体，简称总体，它是指所要认识的，具有某种共同性质的许多单位的集合体。识的，具有某种共同性质的许多单位的集合体。 组成全及总体的单位称为组成全及总体的单位称为总体单位总体单位，全及总体的单，全及总体的单位数一般用位数一般用N N表示。表示。 2 2、抽样总体抽样总体又称子样，简称样本，是从全及总体又称子样，简称样本，是从全及总体中随机抽取的那一部分单位所构成的集合体。中随机抽取的那一部分单位所构成的集合体。 组成抽样总体的单位称为组成抽样总体的单位称为样本单位样本单位，样

6、本单位数亦，样本单位数亦称称样本容量样本容量，一般用，一般用n n表示。表示。 样本单位数的范围样本单位数的范围: :1nN1nN 抽样比例：抽样比例： 大样本：大样本：n30n30；小样本：；小样本：n30n30 重点理解：重点理解：如果说对于一次抽样调查，如果说对于一次抽样调查，全及总体是唯一确定的，那么抽样总体就不是全及总体是唯一确定的，那么抽样总体就不是这样，样本是不确定的，这样，样本是不确定的，一个全及总体可能抽一个全及总体可能抽出很多个样本总体出很多个样本总体，样本的个数和样本的容量，样本的个数和样本的容量有关，也和抽样的方法有关。有关，也和抽样的方法有关。nN二、样本容量和样本个

7、数二、样本容量和样本个数 1.样本容量样本容量：是指一个样本所包含的单位数，是指一个样本所包含的单位数，通常用通常用n表示。（总体单位数用表示。（总体单位数用N表示）表示） 2.样本个数：样本个数：样本可能数目，是从一个总体中样本可能数目，是从一个总体中可能抽取的样本个数。可能抽取的样本个数。 如：样本容量为如：样本容量为n重复抽样：重复抽样：样本个数为样本个数为不重复抽样：不重复抽样：样本个数为样本个数为nNnNPnNNNN) 1()2)(1(三、总体指标和样本指标三、总体指标和样本指标1.总体指标（参数）总体指标（参数）总体平均数总体平均数总体成数总体成数 当研究的是总体个单位的属性特征时

8、，当研究的是总体个单位的属性特征时，只能用一定的术语来描述，所以就应该计算只能用一定的术语来描述，所以就应该计算比重结构指标，称为总体成数。用大写比重结构指标，称为总体成数。用大写 P 表示，它说明了总体中具有某种标志的单位表示，它说明了总体中具有某种标志的单位数在总体中所占的比重。数在总体中所占的比重。NX 设总体设总体N个单位中，有个单位中，有N1个单位具有某个单位具有某种属性，种属性，N0个不具有某种属性，个不具有某种属性， N1 +N0=N，P为总体中具有某种属性的单位数所占的比为总体中具有某种属性的单位数所占的比重，重，Q为布局有某种属性的单位所占的比重，为布局有某种属性的单位所占的

9、比重，则总体成数为：则总体成数为：PNNNNNQNNP1 101总体标准差、总体方差总体标准差、总体方差NXX222.样本指标（统计量）样本指标（统计量）样本平均数样本平均数i.样本成数样本成数nxxpnnnnnqnnp1 101样本标准差、样本方差样本标准差、样本方差122nxxs 四、重复抽样和不重复抽样四、重复抽样和不重复抽样 抽取样本有两种基本方法，不同的方法会影响抽样抽取样本有两种基本方法，不同的方法会影响抽样的误差。的误差。 1、重复抽样（重置抽样、放回抽样）、重复抽样（重置抽样、放回抽样） 基本的特点和做法基本的特点和做法 样本个数的计算：样本个数的计算：Nn（可重复（可重复排列

10、数排列数） 2、不重复抽样（不重置抽样、不放回抽样）、不重复抽样（不重置抽样、不放回抽样） 基本的特点和做法基本的特点和做法 样本个数的计算：样本个数的计算： （不重复（不重复排列数排列数） N(N-1)(N-2).(N-n+1)N!/(N-n)! 以上都是考虑以上都是考虑顺序顺序的抽样！的抽样！ 五、总体分布、样本分布和抽样分布n总体中各元素的观察值所形成的分布总体中各元素的观察值所形成的分布 n分布通常是未知的分布通常是未知的n可以假定它服从某种分布可以假定它服从某种分布 1.总体分布 (population distribution)n一个样本中各观察值的分布一个样本中各观察值的分布 n

11、也称经验分布也称经验分布 n当样本容量当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐接近逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布总体的分布 2.样本分布 (sample distribution)n样本统计量的概率分布，样本统计量的概率分布，是一种理论分布是一种理论分布 在重复选取容量为在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有的样本时，由该统计量的所有可能取值形成的相对频数分布可能取值形成的相对频数分布 n随机变量是随机变量是 样本统计量 样本均值样本均值, 样本比例，样本方差等样本比例，样本方差等n结果来自结果来自容量相同的的所有可能样本可能样本n提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行提供了样本统

12、计量长远而稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据依据 3.抽样分布(sampling distribution)抽样分布的形成过程 (sampling distribution)样本均值的抽样分布与中心极限定理x5x50 x5 . 2x中心极限定理(central limit theorem)nxx中心极限定理 (central limit theorem)抽样分布与总体分布的关系正态分布正态分布非正态分布非正态分布样本均值样本均值正态分布正态分布样本均值样本均值正态分布正态分布样本均值样本均值非正态分布非正态分布 7.3 抽样误

13、差23 一、 抽样误差 1 1 抽样误差的概念抽样误差的概念 一般地说，抽样误差是指根据样本数据计算而得的样本一般地说，抽样误差是指根据样本数据计算而得的样本统计量值与被它估计的未知的总体参数真值之间的差值。统计量值与被它估计的未知的总体参数真值之间的差值。总体参数真值总体参数真值样本统计量值样本统计量值抽样误差抽样误差例如例如X Xx x均值抽样误差均值抽样误差 2 2、统计调查误差的种类、统计调查误差的种类 （1 1）登记性误差（工作误差）登记性误差（工作误差） 调查过程中由于主客观原因在登记、汇总、计算、过录调查过程中由于主客观原因在登记、汇总、计算、过录中所产生的差错。中所产生的差错。

14、 （2 2）代表性误差）代表性误差 用部分推算总体时产生的误差。用部分推算总体时产生的误差。 偏差（系统性误差）：由于抽样调查没有遵循随机原偏差（系统性误差）：由于抽样调查没有遵循随机原则而产生的误差。则而产生的误差。 随机误差随机误差 （偶然性误差）：在没有登记性误差又遵循（偶然性误差）：在没有登记性误差又遵循了随机原则的情况下，所产生的样本指标与被它估计的总体相了随机原则的情况下，所产生的样本指标与被它估计的总体相应指标的差数。应指标的差数。 3 3、抽样误差的进一步理解、抽样误差的进一步理解 它就是指随机误差；它就是指随机误差； 它是一个随机变量；它是一个随机变量； 它是抽样推断中不可避

15、免不可消除的误差；它是抽样推断中不可避免不可消除的误差； 抽样误差的大小反映了样本代表性的高低；抽样误差的大小反映了样本代表性的高低； 它可以用数理统计方法进行计算和控制。它可以用数理统计方法进行计算和控制。 二、抽样平均误差二、抽样平均误差1. 1.抽样平均误差的含义：抽样平均误差的含义： 抽样平均误差从一般意义上说是所有样本指标与总体抽样平均误差从一般意义上说是所有样本指标与总体指标差数的平均水平，它反映了抽样指标与总体指标的平指标差数的平均水平，它反映了抽样指标与总体指标的平均离差程度。均离差程度。 实质就是实质就是所有可能出现的样本指标的标准差。所有可能出现的样本指标的标准差。u 一全

16、及总体可抽取的样本有多个一全及总体可抽取的样本有多个 u 每个样本都可以计算出相应的样本指标（抽样平均数或每个样本都可以计算出相应的样本指标（抽样平均数或抽样成数指标）抽样成数指标） u 样本指标和总体指标的抽样误差各不相同（随机变量）样本指标和总体指标的抽样误差各不相同（随机变量） 为了测定样本（指标）的代表性程度的高低，单独用为了测定样本（指标）的代表性程度的高低，单独用某一次的抽样误差来衡量是不科学的，因此就需要采用某一次的抽样误差来衡量是不科学的，因此就需要采用一一定的方法（求标准差的方法）定的方法（求标准差的方法）计算所有抽样误差的平均数，计算所有抽样误差的平均数，这就是抽样平均误差

17、。同时它在参数估计中也要用到。这就是抽样平均误差。同时它在参数估计中也要用到。 5 .21NxNii25. 1)(122NxNii3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n = 2 的样本（共16个）3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）样本平均数概率11.522.533.541/162/163/164/163/162/161/16x)(xP样本平均数的均值样本平均数的均

18、值或或5 . 2160 . 45 . 10 . 11MxniiX16/ 1416/25 . 316/25 . 116/ 11)(xPxiX 5 . 27906. 016) 5 . 24 () 5 . 25 . 1 () 5 . 21 ()(22212MxMiiX625. 02X 从以上计算中可以看出：从以上计算中可以看出：（1）抽样平均误差就是抽样指标的标准差，）抽样平均误差就是抽样指标的标准差，所以也称为抽样标准误差或估计标准误。所以也称为抽样标准误差或估计标准误。（2）抽样平均误差（即抽样指标的标准差）抽样平均误差（即抽样指标的标准差）比总体标准差小的多，仅为总体标准差的比总体标准差小的多

19、，仅为总体标准差的 。n134 l依据抽样分布的基本原理，可以利用以下计算公式直接计算出依据抽样分布的基本原理，可以利用以下计算公式直接计算出相应样本统计量的抽样平均误差。相应样本统计量的抽样平均误差。 l（1）样本均值的抽样平均误差）样本均值的抽样平均误差2.抽样平均误差的计算D重复抽样条件下：x n nN 1NnN 1 N1N Q 一般情况下N比较大Nnx )1 (n2 D不重复抽样条件下： 1NnNn2 (x 35 （2）样本成数的抽样平均误差）样本成数的抽样平均误差抽样平均误差) 1 p n ( p p D重复抽样条件下：N n )( 1 n ) 1 ( 1 N n N n ) 1 (

20、 p Pppp D不重复抽样条件下：36 l 【例】从【例】从10000名 学 生 中 抽 查名 学 生 中 抽 查200名测得平均名测得平均身高为身高为1.65m，已知学生身高的已知学生身高的总 体 标 准 差总 体 标 准 差=0.28。其中女。其中女生占全部学生的生占全部学生的比重比重30%。求学。求学生平均身高和女生平均身高和女生比重的抽样平生比重的抽样平均误差。均误差。 抽样平均误差(举例)解：已知N=10000,n=200, x =1.65m, = 0.28,p = 30% 在重复抽样的条件下: 在不重复抽样的条件下:200 x n 0.28 0.0198) 1 P n ( p P

21、 ) 1 0.3 200( 0.33.24%10000200)( 1200)1(n)1(p0.30.3 P P N)( 1n3.21%Nnx )1 (n2 10000200)1(2002 0.28 0.0196 在没有总体方差和标准差时怎么办？在没有总体方差和标准差时怎么办？ （用样本的相关指标代替即可）（用样本的相关指标代替即可）不重复抽样重复抽样抽样平均数Nnnnxx1不重复抽样重复抽样抽样成数NnnPPnPPnppp1)1 ()1 (计算公式汇总： 三、影响抽样（平均）误差的因素三、影响抽样（平均）误差的因素 1、抽样单位数目的多少；、抽样单位数目的多少； 2、总体被研究标志的变异程度；

22、、总体被研究标志的变异程度； 3、抽样方法和组织形式的不同。、抽样方法和组织形式的不同。7.4 参数估计的一般问题参数估计的一般问题估计量与估计值估计量与估计值评价估计量的标准评价估计量的标准点估计与区间估计点估计与区间估计估计量：用于估计总体参数的随机变量估计量：用于估计总体参数的随机变量如样本均值，样本比例、样本方差等如样本均值，样本比例、样本方差等例如例如: 样本均值就是总体均值样本均值就是总体均值 的一个估计量的一个估计量参数用参数用 表示，估计量表示，估计量用用 表示表示估计值：估计参数时计算出来的统计量的估计值：估计参数时计算出来的统计量的具体值具体值如果样本均值如果样本均值 x

23、=80，则，则80就是就是 的估计值的估计值一、估计量与估计值 (estimator & estimated value)二、评价估计量的标准1. 无偏性(unbiasedness) 无偏性：估计量抽样分布的数学期望等于估计量抽样分布的数学期望等于被被 估计的总体参数估计的总体参数 122.有效性有效性(efficiency)3.一致性(consistency) 一致性：一致性：随着样本容量的增大，估计量的随着样本容量的增大，估计量的 值越来越接近被估计的总体参数值越来越接近被估计的总体参数三、点估计与区间估计估估 计计 方方 法法点点 估估 计计区间估计区间估计（一）点估计 (point e

24、stimate)用样本的估计量直接作为总体参数的估计用样本的估计量直接作为总体参数的估计值值例如：用样本均值直接例如：用样本均值直接作为作为总体均值的估计总体均值的估计例如：用两个样本均值之差直接例如：用两个样本均值之差直接作为作为总体均总体均值之差的估计值之差的估计2.没有给出估计值接近总体参数程度没有给出估计值接近总体参数程度的信息的信息（二）区间估计 (interval estimate)在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的范围，该区间由样本统计量加减抽样误差而得到的根据样本统计量的抽样分布能

25、够对样本统计量与总根据样本统计量的抽样分布能够对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量体参数的接近程度给出一个概率度量比如，某班级平均分数在比如，某班级平均分数在7585之间，置信水平是之间，置信水平是95% 区间估计的图示区间估计的图示XXzX2 抽样极限误差抽样极限误差（抽样允许误差、抽样边际误（抽样允许误差、抽样边际误差）差） 含义：含义： 抽样极限误差是指抽样指标和总体指标抽样极限误差是指抽样指标和总体指标之间抽样误差的可能范围。即之间抽样误差的可能范围。即 ，也可用，也可用E表表示。示。 意义：意义：由于抽样误差是一个随机变量，因此在实由于抽样误差是一个随机变量，因此在实际工

26、作中到底际工作中到底允许抽样误差允许抽样误差在一个什么样在一个什么样的范围的范围内，内，这要根据实际情况来定。这要根据实际情况来定。X2zX2zE 影响区间宽度影响区间宽度(E)的因素的因素1. 总体数据的离散程度，总体数据的离散程度，用用 来测度来测度样本容量，样本容量，2.置信水平置信水平 (1 - )，影响，影响 z 的大小的大小nX将构造置信区间的步骤重复很多次，置将构造置信区间的步骤重复很多次，置信区间包含总体参数真值的次数所占的信区间包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平比例称为置信水平 表示为表示为 (1 - 为是总体参数为是总体参数未在未在区间内的比例区间内的比例 常用的

27、置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%相应的 为为0.01，0.05，0.10置信水平 由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间为置信区间统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间正的总体参数，所以给它取名为置信区间 用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的用一个具体的样本所构造的区间是一个特定的区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是区间，我们无法知道这个样本所产生的区间是否包含总体参数的真值否包含总体参数的真值我们只能是希望这个区间是大量包含总体参

28、数真我们只能是希望这个区间是大量包含总体参数真值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包值的区间中的一个，但它也可能是少数几个不包含参数真值的区间中的一个含参数真值的区间中的一个置信区间 (confidence interval)置信区间 (95%的置信区间)7.5 一个总体参数的区间估计总体均值的区间估计总体均值的区间估计总体比例的区间估计总体比例的区间估计（一）总体参数估计的一般模式：即概率保证程度（置信度）已知，求抽样极限误差的可能范围。此模式的具体步骤为： （1）根据样本计算样本指标并以此作为总体指标的估计值 ； （2）计算样本标准差以推算抽样平均误差 。 （3）根据给定的可信度，查概

29、率表求出概率度z的值。运用概率度z和抽样平均误差的关系式求出抽样极限误差E。 （4）最后根据抽样极限误差，对总体指标的区间作出估计。X2zE nXxXExE-x（一）总体均值的区间估计的一般模式（一）总体均值的区间估计的一般模式 (例题分析例题分析)25袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.595.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.695.497.8108.6105.0136.8102.8101.598.493.3总体均值的区间估计(例题分析)28.109,44.10192.336.105251096.1

30、36.1052nzx36.105x总体均值的区间估计(例题分析)36个投保人年龄的数据 233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532总体均值的区间估计(例题分析)63.41,37.3713.25 .393677.7645.15 .392nszx5 .39x77. 7s（二）参数估计的另一种模式 抽样极限误差已知，求概率保证程度。抽样极限误差已知，求概率保证程度。 此模式的具体步骤为：此模式的具体步骤为： （1）根据样本计算样本指标并以此作为总体指标的估计值；）根据样本计算样本指标并以此作为总体指

31、标的估计值；计算样本标准差以推算抽样平均误差。计算样本标准差以推算抽样平均误差。 （2）根据给定的抽样极限误差，求出总体指标的上限和下）根据给定的抽样极限误差，求出总体指标的上限和下限，即置信区间。限，即置信区间。 （3）运用抽样平均误差和抽样极限误差的关系式求出）运用抽样平均误差和抽样极限误差的关系式求出 的值，然后查概率表求出相应的置信度，即概率保证程度。的值，然后查概率表求出相应的置信度，即概率保证程度。2z 例：某城市进行居民家计调查，随机抽取例：某城市进行居民家计调查，随机抽取400个居个居民户，调查得年平均每户文化用品消费支出为民户，调查得年平均每户文化用品消费支出为900元，标准

32、差为元，标准差为200元。要求抽样允许误差不超过元。要求抽样允许误差不超过18元，拭对该市居民年平均每户文化用品消费支出情元，拭对该市居民年平均每户文化用品消费支出情况做出估计。况做出估计。 解：解： 以以92.8%的概率保证程度，估计该市居民户年均文的概率保证程度，估计该市居民户年均文化用品消费支出在化用品消费支出在885915（900-15900+15）元之间元之间.200900 x元）(10400200nX8 . 110182XEZ18E二、总体成数的区间估计总体成数的区间估计(例题分析)%35.74%,65.55%35.9%65100%)651%(6596.1%65)1(2nppzpp 7.6样本容量的确定估计总体均值时样本容量的确定估计总体比例时样本容量的确定影响样本容量的因素 1.总体的变异程度总体的变异程度() 2.允许误差的大小（允许误差的大小（ ） 3.推断的可靠程度（推断的可靠程度（1-） 4.抽样方法和抽样组织方式抽样方法和抽样组织方式X2zE 估计总体均值时样本容量估计总体均值时样本容量n为为样本容量样本容量n与总体方差与总体方差 2、允许误差、允许误差E、可、可靠性系数靠性系数Z或或t之间的关系为之间的关系为与总体方差成正比与总体方差成正比与边际误差成反比与边际误差成反比