掌握原函数与不定积分概念

1、1 掌握原函数与不定积分概念；掌握原函数与不定积分概念；2 掌握基本积分方法掌握基本积分方法 分部积分分部积分 法、换元积分法、有理法、换元积分法、有理 函数积分法、三角函数有理式的函数积分法、三角函数有理式的 积分、几种无理函数的积分。积分、几种无理函数的积分。 教学目标：教学目标：第八章第八章 不定积分不定积分一一 原原函函数数与与不不定定积积分分 前面我们学习了导数与微分，由已知函数利用基本求导公式和求导法则可以求出它的导数，那自然会想到：求导运算能否和数的四则运算那样，知道了)(xf导数反过来就能求出)(xf？比如知道了物体的运动速度，求路程，知道了加速度求速度？ 例 1 一个静止的物

2、体，其质量为 m 在力 tAFsin 的作用下沿直线运动，求物体的运动速度。 解 由牛顿第二定理 tAmFasin 即 mtAmFdtvdsin 这就归结为已知 dtdv 求 v， 由求导运算 1 不定积分的概念不定积分的概念mtACtmAsin)cos( 得 CtmAvcos， 其中 C 为待定常数，若初始时刻是静止的 0)0(v mACCmAv0cos)0(0， 从而 得 mAtmAvcos 我们称这类由)(xf 求 )(xf 的运算为积分法 定义（原函数） 如果在区间 I 上 )()(xfxF，则称)(xF为)(xf在区间 I 上的原函数。 例如例 1 中的CtmAcos 是 tmAsi

3、n的原函数； Cx11 是 ) 1(x的原函数，等等 因为常数导数为零，所以如果)(xf的原函数)(xF存在，则对任意常数 C，CxF)(都是)(xf的原函数。这就是说，原函数存在的话，它有无限多个。而且容易证明，)(xf的任意两个原函数之间相差一个常数。换句话说)(xf的原函数的全体为 )(CxF，C 为任意常数。 定义（不定积分）)(xf在区间 I 上原函数的全体称为)(xf在 I上的不定积分。记作 dxxf)(。 其中为积分号，)(xf为积分 函数，x为积分变量。 不定积分的几何意义 一个函数的原函数尽管有无限多个, 但它们的几何图形是一模一样的, 最多是在坐标系中的高低位置不一样, 相

4、差一个上下平移关系， F(x)+CF(x)二二 基本积分公式基本积分公式 怎样求不定积分呢？我们先按照不定积分的定义给出一些常见函数的不定积分： ) 1(dxx Cxdxxln1 Caadxaxxln Cxxdxcossin Ctgxxdx2sec Cctgxdx2csc Cxtgxdxxsecsec Cxctgxdxxcsccsc Cxxdxarcsin12 Carctgxdxx211 这些积分公式是我们后面计算不定积分的基础， 一定要把它记住。 2 2. . 不定积分的基本性质: 以下设)(xf和)(xg有原函数. dxxfdxxfdxfdxxf)()( ),( )( . (先积后导, 形式不变). cxfxdfcxfdxxf)()( ,)()(. (先导后积, 多一个常数) 0时， .)()(dxxfdxxf .)()()()(dxxgdxxfdxxgxf 由、可见, 不定积分是线性运算, 即对R , , 有 .)()()()(dxxgdxxfdxxgxf ( 当0时,上式右端应理解为任意常数. ) 三三利利用用不不定定积积分分基基本本公公式式计计算算不不定定积积分分 例 6 nnnnaxaxaxaxP1110)(. 求dxxP)(. 例 7 .)121( 112224dxxxdxxx. 例 8 221xdxx. 例 9 dxxxx)1 () 1(22. 例