第三章_单自由度机械系统动力学汇总

1、 机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各构机械的真实运动规律是由作用于机械上的外力、各构件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机械件的质量、尺寸及转动惯量等因素决定的，而研究机械在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题在外力作用下的真实运动则是机械动力学的基本问题（机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题（机械动力学的正问题）。本章主要研究两个问题: 第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实运第一，研究单自由度机械系统在外力作用下的真实运动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握通动规律，即机械系统的运动随时间的变化规律。掌握通过建立动力学模型建立力与运动参数之间的

2、运动微分方过建立动力学模型建立力与运动参数之间的运动微分方程来研究真实运动规律的方法。程来研究真实运动规律的方法。 第二，研究机械运转速度波动产生的原因及其调节方第二，研究机械运转速度波动产生的原因及其调节方法。法。3.1 概概 述述机械运转的三个阶段机械运转的三个阶段1.启动阶段启动阶段原动件的速度由零逐渐上升到开始稳定的过程。原动件的速度由零逐渐上升到开始稳定的过程。2.稳定运转阶段稳定运转阶段1）周期变速稳定运转：角速度）周期变速稳定运转：角速度常数，产生周期性波动，会在运动副常数，产生周期性波动，会在运动副中产生附加动反力，需进行动力学分析。中产生附加动反力，需进行动力学分析。2）等速

3、运转：）等速运转：=常数的稳定运转。常数的稳定运转。3.停车阶段停车阶段原动件的速度从正常工作速度下降到零的阶段。原动件的速度从正常工作速度下降到零的阶段。在启动和制动阶段是会产生较大的动载荷，需进行动力学计算。在启动和制动阶段是会产生较大的动载荷，需进行动力学计算。在机械上作用的力：在机械上作用的力：驱动力驱动力 由原动机发出并传给驱动构件的力，此力在一个运动循环內作正由原动机发出并传给驱动构件的力，此力在一个运动循环內作正功。功。生产阻力生产阻力 完成有用功时作用于机械上的阻力，此功做负功。完成有用功时作用于机械上的阻力，此功做负功。重力重力 当构件的重心向上运动或向下运动时分别作负功或正

4、功，在一个当构件的重心向上运动或向下运动时分别作负功或正功，在一个循环内作功为零。循环内作功为零。摩擦力摩擦力 由运动副表面的摩擦产生的有害阻力，作负功。由运动副表面的摩擦产生的有害阻力，作负功。3.2 作用在机械上的力作用在机械上的力一、作用在机械上的力的特征一、作用在机械上的力的特征3.2 作用在机械上的力作用在机械上的力一、作用在机械上的力的特征一、作用在机械上的力的特征生产阻力生产阻力的几种情况：的几种情况：1、生产阻力为常数，例如起重机、轧钢机、刨床等。、生产阻力为常数，例如起重机、轧钢机、刨床等。2、生产阻力随位移而变化，例如活塞式的压缩机和泵、曲柄压力机、生产阻力随位移而变化，例

5、如活塞式的压缩机和泵、曲柄压力机等。等。3、生产阻力随速度而变化，例如鼓风机、离心泵、螺旋桨。、生产阻力随速度而变化，例如鼓风机、离心泵、螺旋桨。4、生产阻力随时间而变化，例如球磨机、揉面机等。、生产阻力随时间而变化，例如球磨机、揉面机等。驱动力驱动力的几种情况：的几种情况：1、驱动力是常数，例如以重锤作为驱动装置的情况；、驱动力是常数，例如以重锤作为驱动装置的情况；2、驱动力是位移的函数，例如用弹簧作驱动件时；、驱动力是位移的函数，例如用弹簧作驱动件时；3、驱动力是速度的函数，例如一般的电动机，机械特性均表示为输、驱动力是速度的函数，例如一般的电动机，机械特性均表示为输出力矩随角速度变化的曲

6、线。出力矩随角速度变化的曲线。 如图所示，三相异步电动机的输出力矩随角速度变化的曲线，称如图所示，三相异步电动机的输出力矩随角速度变化的曲线，称为为机械特性机械特性。AC段的运转是稳定的，当外载荷加大而导致机械减速段的运转是稳定的，当外载荷加大而导致机械减速时，输出力矩将增加，并与外载荷达到新的平衡。而时，输出力矩将增加，并与外载荷达到新的平衡。而AD段的运转是段的运转是不稳定的，而外载荷增加导致转速下降时，输出力矩也下降，更无法不稳定的，而外载荷增加导致转速下降时，输出力矩也下降，更无法与外载荷平衡，造成转速进一步下降，直至停车。因此三相异步电动与外载荷平衡，造成转速进一步下降，直至停车。因

7、此三相异步电动机应在机应在AC段工作。点段工作。点B是电动机的额定工作点。是电动机的额定工作点。二、三相异步电动机的机械特性二、三相异步电动机的机械特性 电机铭牌上给出如下数据：电机铭牌上给出如下数据： 额定功率额定功率PH（kW），额定转速），额定转速nH（r/min），同步转速），同步转速n0（r/min）；）； 最大转矩最大转矩MK与额定转矩与额定转矩MH的比值的比值=MK/MH； 启动转矩启动转矩MD与额定转矩与额定转矩MH的比值的比值1=MD/MH通过铭牌上得数据可确定机械特性曲线上四个特征点的坐标：通过铭牌上得数据可确定机械特性曲线上四个特征点的坐标：A(MK,K), A(MH,H

8、), A(0,0), A(MD,0)。例题例题 某起吊重物用的电动葫芦的电动机，型号为某起吊重物用的电动葫芦的电动机，型号为Y90L-4，额定功率，额定功率PH=1.5kW，同步转速，同步转速n0=1500r/min，额定转速，额定转速nH=1410r/min，求，求该电动机在额定转速附近的机械性能。该电动机在额定转速附近的机械性能。解：在加载过程中电动机角速度只在额定角速度附近波动，可采用解：在加载过程中电动机角速度只在额定角速度附近波动，可采用直线形式的机械特性直线形式的机械特性例题例题 电动机型号电动机型号Y100L2-4，额定功率，额定功率PH=3kW，同步转速，同步转速n0=1500

9、r/min，额定转速额定转速nH=1420r/min，最大转矩与额定转速之比，最大转矩与额定转速之比=MK/MH=2.2，推导出三，推导出三相异步电动机机械特性图中相异步电动机机械特性图中AC段的机械特性。段的机械特性。3.3 单自由度机械系统的动力学方程单自由度机械系统的动力学方程一、拉格朗日方程一、拉格朗日方程拉格朗日方程：拉格朗日方程：),.,2 , 1()(niFqEqEqEdtdiipikik式中：式中：Ek系统的动能；系统的动能； Ep系统的势能；系统的势能； qi广义坐标，它是可以完全确定机械系统运动的一组独立广义坐标，它是可以完全确定机械系统运动的一组独立参数；参数； Fi广义

10、力，当广义坐标为一角位移时广义力，当广义坐标为一角位移时Fi为一个力矩，当广为一个力矩，当广义坐标为一线性位移时义坐标为一线性位移时Fi为一个力；为一个力； n系统的广义坐标数。系统的广义坐标数。 利用拉格朗日方程进行系统的动力学分析时，先选定系统的广利用拉格朗日方程进行系统的动力学分析时，先选定系统的广义坐标，然后列出系统动能、势能和广义力的表达式，代入拉格朗日义坐标，然后列出系统动能、势能和广义力的表达式，代入拉格朗日方程中，即可导出系统的动力学方程。方程中，即可导出系统的动力学方程。3.3 单自由度机械系统的动力学方程单自由度机械系统的动力学方程一、拉格朗日方程一、拉格朗日方程二、单自由

11、度机械系统的动力学方程二、单自由度机械系统的动力学方程 单自由度系统只有一个广义坐标，用单自由度系统只有一个广义坐标，用q表示。对主动构件做回转表示。对主动构件做回转运动这种一般情况，常将主动构件的转角选定为系统的广义坐标。整运动这种一般情况，常将主动构件的转角选定为系统的广义坐标。整个系统的能量和机械功均可表示为这个广义坐标的函数。个系统的能量和机械功均可表示为这个广义坐标的函数。1、系统的动能、系统的动能 设机械系统中的第设机械系统中的第i个构件做一般平面运动，启动能个构件做一般平面运动，启动能Eki可表示为可表示为222121isiSiikiJvmE式中：式中：mi构件构件i的质量；的质

12、量； JSi构件构件i相对于其质心的转动惯量；相对于其质心的转动惯量； vSi构件构件i质心的速度；质心的速度； i构件构件i的角速度。的角速度。 作平动的构件的动能只含上式的第一项，作绕质心的定轴转动作平动的构件的动能只含上式的第一项，作绕质心的定轴转动的构件则只含第二项。的构件则只含第二项。 机械系统全部构件的动能总和为机械系统全部构件的动能总和为)2121(2211isiSiililikikJvmEE式中式中l为活动构件总数为活动构件总数 动能也可以表示为动能也可以表示为221qJEek式中式中liiSiSiieqJqvmJ122)()(Je称为系统的称为系统的等效转动惯量等效转动惯量。

13、 称为称为广义速度广义速度，是随时间变化的。，是随时间变化的。q 2、系统的势能、系统的势能 对刚体机械系统，不计构件的弹性变形和变形能，而且一般情对刚体机械系统，不计构件的弹性变形和变形能，而且一般情况下，由构件的重量产生的势能与动能相对数值也很小，因此拉格朗况下，由构件的重量产生的势能与动能相对数值也很小，因此拉格朗日方程中的势能常常可以略去。日方程中的势能常常可以略去。3、系统的广义力、系统的广义力 设设Fk（k=1,2，m）和）和Mj（j=1,2，n）分别为作用于机）分别为作用于机械上的外力和外力矩，则这些力和力矩的功率为械上的外力和外力矩，则这些力和力矩的功率为mknjjjkkkMv

14、FP11)()cos(式中：式中：j有外力矩有外力矩Mj作用的构件的角速度；作用的构件的角速度； vk外力外力Fk作用点的速度；作用点的速度； kFk与与vk的夹角。的夹角。式中第二项符号的确定方法为：当式中第二项符号的确定方法为：当Mj与与j同向时取正号，反向时取负号。同向时取正号，反向时取负号。 广义力广义力就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中就是作用在广义坐标处的一个力或力矩，它所作的功等于系统中全部力和力矩在同一时间内所作的功。全部力和力矩在同一时间内所作的功。广义坐标为一个角位移时，广义力广义坐标为一个角位移时，广义力F为一等效力矩为一等效力矩Me，它可按下式计算

15、：，它可按下式计算：)()cos(11mjjjmkkkkeqMqvFMFMe表示式中的广义传动比表示式中的广义传动比 、 是由机构的尺度和位置决定的，是由机构的尺度和位置决定的，Me仅仅是机构广义坐标仅仅是机构广义坐标q的函数，与广义速度的函数，与广义速度 的变化无关。的变化无关。单自由度机械系统的动力学方程单自由度机械系统的动力学方程：qj/qvk/q eeeMqqJqJ221 三、等效力学模型三、等效力学模型 机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂机械系统是复杂多样的，在进行动力学研究时，通常要将复杂的机械系统，按一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。的机械系统，按

16、一定的原则简化为一个便于研究的等效动力学模型。 为了研究单自由度机械系统的真实运动，可将机械系统等效转为了研究单自由度机械系统的真实运动，可将机械系统等效转化为只有一个独立运动的化为只有一个独立运动的等效构件等效构件，等效构件的运动与机构中相应，等效构件的运动与机构中相应构件的运动一致构件的运动一致。等效转化的原则等效转化的原则 等效构件的等效质量或等效转动惯量具有的动能等于原机械系等效构件的等效质量或等效转动惯量具有的动能等于原机械系统的总动能；统的总动能； 等效构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率等于原机械系等效构件上作用的等效力或力矩产生的瞬时功率等于原机械系统所有外力产生的瞬时功率之

17、和。统所有外力产生的瞬时功率之和。 把这种具有等效质量或等效转动惯量，其上作用有等效力或等把这种具有等效质量或等效转动惯量，其上作用有等效力或等效力矩的等效构件称为原机械系统的等效动力学模型。效力矩的等效构件称为原机械系统的等效动力学模型。 对于单自由度机械系统，只要确定了一个构件的运动，其他构对于单自由度机械系统，只要确定了一个构件的运动，其他构件的运动就随之确定，因此，通过研究等效构件的运动规律，就能件的运动就随之确定，因此，通过研究等效构件的运动规律，就能确定原机械系统的运动。确定原机械系统的运动。1、等效构件、等效构件 具有与原机械系统等效的质量或等效转动惯量、其上具有与原机械系统等效

18、的质量或等效转动惯量、其上作用有等效力或等效力矩，而且其运动与原机械系统相应作用有等效力或等效力矩，而且其运动与原机械系统相应构件的运动保持相同的构件。构件的运动保持相同的构件。2、等效条件、等效条件(1) 等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能；等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能；(2) 等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。等效构件的瞬时功率等于原机械系统的总瞬时功率。3、等效参数、等效参数(1) 等效质量等效质量me，等效转动惯量，等效转动惯量Je；(2) 等效力等效力Fe，等效力矩，等效力矩Me。 对于单自由度的机械系统，只要知道其中一个构件的运对于单自由度的机械系

19、统，只要知道其中一个构件的运动规律其余所有构件的运动规律就可随之求得。因此可把复动规律其余所有构件的运动规律就可随之求得。因此可把复杂的机械系统简化成一个构件（称为等效构件杂的机械系统简化成一个构件（称为等效构件),),建立最简单建立最简单的等效动力学模型，将使研究机械真实运动的问题大为简化。的等效动力学模型，将使研究机械真实运动的问题大为简化。当等效构件为一个绕机架转动的构件时，模型为图当等效构件为一个绕机架转动的构件时，模型为图a a。当等效。当等效构件为一个移动滑块时，模型为图构件为一个移动滑块时，模型为图b b 。图图a等效动力学模型的建立等效动力学模型的建立图图 b等效参数的确定等效

20、参数的确定1 1等效质量和等效转动惯量等效质量和等效转动惯量 等效质量和等效转动惯量可以根据等效原则等效质量和等效转动惯量可以根据等效原则等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能来确等效构件所具有的动能等于原机械系统的总动能来确定。定。2 2、等效力和等效力矩、等效力和等效力矩 等效力和等效力矩可以根据等效原则等效力和等效力矩可以根据等效原则等效力等效力或等效力矩产生的瞬时功率等于机械系统所有外力和或等效力矩产生的瞬时功率等于机械系统所有外力和外力矩在同一瞬时的功率总和来确定。外力矩在同一瞬时的功率总和来确定。（2）求等效转动惯量）求等效转动惯量加载前的等效转动惯量为加载前的等效转动惯量为2

21、22221221.007256. 0.)0025. 018. 92040115. 000715. 0(1mkgmkgrgGiJJJe加载后，还应加上重物的等效转动惯量加载后，还应加上重物的等效转动惯量222222.009804. 0.)40181. 91 . 04000007256. 0(1mkgmkgrgGRJJee另一种形式的动力学方程另一种形式的动力学方程根据动能定理，等效力矩所作的功根据动能定理，等效力矩所作的功W等于等效构件动能的增量，即等于等效构件动能的增量，即四、动力学方程四、动力学方程WE 若等效构件由转角若等效构件由转角 运动到运动到 时，角速度相应的由时，角速度相应的由 变

22、为变为 ，则上式可改写为则上式可改写为1212212112222121dMJJeee该式称为该式称为能量形式的动力学方程能量形式的动力学方程 若等效构件作直线运动，其位移由若等效构件作直线运动，其位移由S1变到变到S2时，角速度相应地由时，角速度相应地由v1变为变为v2，则，则212112222121sseeedsFvmvm该式称为该式称为力矩（力）形式的动力学方程力矩（力）形式的动力学方程五、等效转动惯量及其导数的计算五、等效转动惯量及其导数的计算等效转动惯量计算式可改写为等效转动惯量计算式可改写为ljjjSjySjxjeqJvvqmJ12222)()(1由此式对由此式对q求导可得求导可得)

23、(213ljjjjSjySjySjxSjxjeJavavmqdqdJ例题例题P72 = （ ）一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数一、等效转动惯量和等效力矩均为位置的函数（Md=Md( )，Mr=Mr( )， Me=Me( )，Je=Je( )） 00)(21)()(21202dMJJeee 00)()(2)(20dMJJJeeee 00 时，时，tt 00,eeJJ 1. 等效构件的角速度等效构件的角速度 02022121dMJJeeev 注意：注意：3.4 动力学方程式的求解动力学方程式的求解 0)(0dtt 00)(ddttt变换后积分变换后积分 = （t）dtd )(v 2. 等效

24、构件的角加速度等效构件的角加速度 dddtddddtd v以电动机驱动的鼓风机、搅拌机、离心泵以及车床等之类机械属于这种情况。这些以电动机驱动的鼓风机、搅拌机、离心泵以及车床等之类机械属于这种情况。这些机器的驱动力是速度的函数，而生产阻力是常数或者是速度的函数，机器的速比是常机器的驱动力是速度的函数，而生产阻力是常数或者是速度的函数，机器的速比是常数。因此，其等效力矩仅仅是速度的函数，而等效转动惯量是常数，此时，用力矩形数。因此，其等效力矩仅仅是速度的函数，而等效转动惯量是常数，此时，用力矩形式的运动方程式求解比较方便。式的运动方程式求解比较方便。dtJMMMeerede/d)()()()(/

25、 eeMdJdt 二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时二、等效转动惯量是常数，等效力矩是速度的函数时 0)(0eeMdJtt 0)(eeMdJt分离变量分离变量积分积分 时时00tt 00 = （t）dtd dt(t)t 0 dt(t)tt00 时时00tt 00 dtd eeeMddJdtdJ22v用电动机驱动的刨床、插床、冲压机床以及往复式空气压缩机等机械属于这种情况。用电动机驱动的刨床、插床、冲压机床以及往复式空气压缩机等机械属于这种情况。这些机器中包含有速比不等于常数的机构，因而其转动惯量是变量，而驱动力是速度这些机器中包含有速比不等于常数的机构，因而其转动惯量是变量，而驱动

26、力是速度的函数，生产阻力是是机器位置的函数，因此，等效力矩是机器的位置和速度的函数。的函数，生产阻力是是机器位置的函数，因此，等效力矩是机器的位置和速度的函数。dMJdee),(2)(2三、等效转动惯量是变量，等效力矩是位置和速度的函数三、等效转动惯量是变量，等效力矩是位置和速度的函数求导),()(22eeeMddJdtdJv这个非线性方程一般不能用解析法求解，需用数值方法求解。这个非线性方程一般不能用解析法求解，需用数值方法求解。如图为一齿轮驱动的正弦机构，已知：如图为一齿轮驱动的正弦机构，已知：z1=20, 转动惯量为转动惯量为J1；z2=60，转动惯量为转动惯量为J2，曲柄长为，曲柄长为

27、l，滑块，滑块3和和4的质量分别为的质量分别为m3，m4 ,其质其质心分别在心分别在C和和D点，轮点，轮1上作用有上作用有驱动力矩驱动力矩M1,在滑块在滑块4上作用有上作用有阻抗力阻抗力F4，取曲柄为等效构件，取曲柄为等效构件，求：图示位置时的等效转动惯求：图示位置时的等效转动惯量量Je及等效力矩及等效力矩Me。2244223322211)/()/()/(vmvmJJJe解解：1）求）求J elvvc23 2224sinsin lvvc 24423322221122m21m21212121vvJJJe22224222322121)/sin()/()/( lmlmJzzJJe 22242321s

28、in9 lmlmJJ )/(180cos)/(244211 vFMMe 2412224121sin3)/sin()/( lFMlFzzM 1）Je的前三项为常数，第四项为等效构件的位置参数的前三项为常数，第四项为等效构件的位置参数 2的函数，为变量。的函数，为变量。 2）工程上，为了简化计算，常将）工程上，为了简化计算，常将等效转动惯量中的变等效转动惯量中的变量部分用其平均值近似代替，或忽略不计。量部分用其平均值近似代替，或忽略不计。说明说明2）求）求M e)(180cos44112vFMMe 瞬时功率不变瞬时功率不变已知：各齿轮齿数，齿轮已知：各齿轮齿数，齿轮3的分的分度圆半径度圆半径r3，

29、各齿轮的转动惯量，各齿轮的转动惯量，工作台重工作台重G，当取齿轮，当取齿轮1为等效为等效构件时，试求该机械系统的构件时，试求该机械系统的J e。22332222211212121)(212121 gGJJJJJe 32212332213221221)()(zzzzrgGzzzzJzzJJJ 解：解：212133212221)()()( vgGJJJJJe 求解稳定运转状态下的速度波动有求解稳定运转状态下的速度波动有预估初值法预估初值法和和方程求根法方程求根法3.5 稳定运动状态的动力学分析稳定运动状态的动力学分析一、预估初值法一、预估初值法 所谓稳定运转状态，就是角速度表现出了周期性。经过两三个或稍多的所谓稳定运转状态，就是角速度表现出了周期性。经过两三个或稍多的几个周期，即可满足周期性条件几个周期，即可满足周期性条件）（）（T-式中式中T为运动周期，一般情况下为为运动周期，一般情况下为2。若机械的等效力矩为若机械的等效力矩为 ，等效阻力矩为，等效阻力矩为 ，在稳定运转的一个周期，在稳定运转的一个周期T内，平均阻力矩为内，平均阻力矩为)(dM)(rMTrrmdMTM0)(13.5 稳定运动状态的动力学分析稳定运动状态的动力学分析一、预估初值法一、预估初值法如