高中数学基础知识汇总

1、f(x)在区间M上是增函数如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。； y tan x: T ； y tan x : T I I y Asin( x),y Acos( x ): T第一部分集合1.理解集合中元素的意义是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？；2,数形结合是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；3. (1)含n个元素的集合白勺子集数为2n，真子集数为2n1；非空真子集的数为2n2;(2) ABABAABB;注意：讨论的时候不要遗

2、忘了A的情况。4. 是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。第二部分函数与导数1 .映射：注意第一个集合中的元素必须有象；一对一，或多对一。2 .函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式相ba-；利用数形结合或几何意义(斜率、22距离、绝对值的意义等)；利用函数有界性(aX、sinx>cosx等)；导数法3.复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若f(X)的定义域为a,b,则复合函数fg(X)的定义域由不等式a<g(X)w解出若的(刈的定义域为a,b,求f(X)的定义域,相当于XCa,b时,求g(X)的值域。(2)复合函数单调性的判定

3、：首先将原函数yfg(X)分解为基本函数：内函数ug(X)与外函数yf(u);分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性；根据同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。4 .分段函数：值域(最值)、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5 .函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件；f(x)是奇函数f(_x)=f(X)；f(x)是偶函数f(-x)=f(X)奇函数f(x)在原点有定义，则f(0)0;在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性;若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性；6 .函数的单调性单调性的定义：X

4、i，X2M,当XiX2时有f(Xi)f(X2);f(x)在区间M上是减函数x1,x2M,当x1x2时有f(x)f(X2);单调性的判定定义法：一般要将式子f(x1)f(X2)化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号;导数法(见导数部分)；复合函数法；图像法。注：证明单调性主要用定义法和导数法。7 .函数的周期性(1)周期性的定义：对定义域内的任意X,若有f(XT)f(x)(其中T为非零常数)，则称函数f(x)为周期函数，T为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。(2)三角函数的周期ysinx:T2:丫cosx:T2(3)与周期有关的结论f(xa)f(xa)或f(x2a)f(

5、x)(a0)f(x)的周期为2a；8 .基本初等函数的图像与性质哥函数：yx(R)；指数函数：yax(a0,a1);对数函数：ylogax(a0,a1)；正弦函数：ysinx；余弦函数：ycosx；(6)正切函数：ytanx；一元二次函数：ax2bxc0；其它常用函数：ka正比例函数：ykx(k0);反比例函数：y(k0)；函数yx(a0)；XX9 .二次函数：解析式：一般式：f(x)ax2bxc；顶点式：f(x)a(xh)2k,(h,k)为顶点;零点式：f (x) a(x x1)(x x2)。二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。b二次函数y

6、 ax2 bx c的图象的对称轴万程是x ，顶点坐标是2ab 4ac b2. O2a 4a12 .函数零点的求法：直接法(求f (x) 0的根)；图象法；二分法(4)零点定理：若 y=f(x)在a,b上满足f(a)f(b)<0,则y=f(x)在(a,b)内至少有一个零点。13 .导数导数定义：f(x)在点x。处的导数记作y f (x0)lim _L(x2x)f(x0)；x x x 0u/c0x 0v10 .函数图象：图象作法：描点法(特别注意三角函数的五点作图)图象变换法导数法图象变换：平移变换：i)yf(x)yf(xa),(a0)左“+右ii)yf(x)yf(x)k,(k0)上“+下对

7、称变换：i y f (x)(0,0)iii y f (x)y0-f(x)；iiyf(x)yf(x)；f(x)；ivyf(x)yxxf(y)；1 ) y f (x) y f (| x|)右不动，右向左翻(f (x)在y左侧图象去掉)；翻转变换:常见函数的导数公式：C0；(xn)nxn1；(sinx)cosx；(cosx)sinx；(ax)'axlna；(ex)ex；(logax)1:的*)-。xlnax导数的四则运算法则：(uv)uv；(uv)uvuv；(-u)*uv;vv(理科)复合函数的导数：yxyuux;导数的应用：利用导数求切线：注意：i)所给点是切点吗？ii)所求的是在“还是过

8、”该点的切线？利用导数判断函数单调性：f(x)0f(x)是增函数；f(x)0f(x)为减函数；f(x)0f(x)为常数；利用导数求极值：i)求导数f(x)；ii)求方程f(x)0的根；值)列表得极值。ii)yf(x)y|f(x)|上不动，下向上翻(|f(x)|在x下面无图象)；11.函数图象(曲线)对称性的证明证明函数yf(x)图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上；利用导数最大值与最小值：i)求的极值；ii求区间端点值(如果有)；iii)得最值。第三部分三角函数、三角恒等变换与解三角形1.角度制与弧度制的互化：弧度180,1弧度，1弧度禺)5718180弧长

9、公式：|R;扇形面积公式：SjR2Rl。22(2)证明函数yf(x)与yg(x)图象的对称性，即证明yf(x)图象上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点在yg(x)的图象上，反之亦然；注：曲线Ci：f(x,y)=0关于点(0,0)的对称曲线C2方程为：f(-x,-y)=0;曲线Ci：f(x,y)=0关于直线x=0的对称曲线C2方程为：f(x,y)=0;曲线Ci:f(x,y)=0关于直线y=0的对称曲线C2方程为：f(x,y)=0;曲线Ci：f(x,y)=0关于直线y=x的对称曲线C2方程为：f(y,x)=0_ab,一f(a+x尸f(bx)(xCR)y=f(x)图像关于直线x=对称；2特别地：f

10、(a+x)=f(a-x)(xCR)-y=f(x)图像关于直线x=a对称；2 .三角函数定义：角“中边上任意一P点为(x,y),设|OP|r则：sin)，烟金布门rrx3 .三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；4 .诱导公式记忆规律：函数名不(改)变，符号看象限”；k5 .yAsin(x)对称轴：xk3对称中心：(，0)(kZ)；yAcos(x)对称轴：x6.同角三角函数的基本关系:7.三角函数的单调区间:k-k；对称中心：(2.22sinxcosxsinxcosxtanx;,0)(kZ)'2.表（侧）面积与体积公式:ysinx的递增区间是2k-,2k一（kZ）,递减区间是

11、22柱体:表面积:锥体:表面积:32k,2k(k22Z）；ycosx的递增区间是2k,2k（kZ）,递减区间台体:表面积:是2k,2k(kZ)ytgx的递增区间是k球体:表面积:递减区间是k,k(kZ)。8.两角和与差的正弦、余弦、正切公式:sin(sincoscossincos()coscossinsin；tan(tantan1tantan3.位置关系的证明直线与直线平行:直线与平面平行:平面与平面平行:直线与平面垂直:平面与平面垂直:9.二倍角公式：sin22sincos2cos2cos2sin22cos112sin2tan22tan1tan2(sincos)22sincos1sin2s=

12、s侧+2S底；侧面积：S侧=2rh；体积：v=s底hs=s侧+S底；侧面积：S侧=rl;体积：v=-s底h：3S=S侧+S上底S下底;侧面积：S侧=2,4_3S=4R2;体积：V=R33（主要方法）：公理4;线面平行的性质定理;线面平行的判定定理；面面平行1(rr)l；体积：v=(S+JSSS)3面面平行的性质定理。线面平行。面面平行的判定定理及推论；垂直于同一直线的两平面平行。直线与平面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理。定义-两平面所成二面角为直角；面面垂直的判定定理。注：理科还可用向量法。4.求角：（步骤Io找或作角；no求角）异面直线所成角的求法：平移法：平移直线，构造三角形；用向量法

13、直线与平面所成的角:直接法（利用线面角定义）；用向量法：h；cosrr|cosa,b|10.正、余弦定理：正弦定理：-sinAsin|coscurrAB,n|sinBsinC2R(2R是ABC外接圆直径5.求距离：（步骤Io找或作垂线段；Ho求距离）注：a:b:csinA:sinB:sinC；a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；IAB点到平面的距离：等体积法；向量法：dIn|sinAsinBcsinCOsinAsinBsinC6.结论：长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为余弦定理：a22-2bc2bccosA等三个；cosA,222bca号人等三个。2bca,b,c,则对角线长为,

14、.a2b211。几个公式：三角形面积公式:SABC11-ah-absinC;22内切圆半径r=2SABC,abc外接圆直径2R=sinAsinBc;sinC2ab+2bc+2ca,体积V=abc。正方体的棱长为a,则对角线长为长方体或正方体的外接球直径正四面体的性质：设棱长为,全面积为6a2,体积V=a3。,3a2R等于长方体或正方体的对角线长。a,则正四面体的：高：ha；对棱间距离:32，一.6a;内切球半径：a；外接球半径:2126a。4第四部分立体几何1.三视图与直观图：第五部分直线与圆1.直线方程xy点斜式：yyk（xx）；斜截式：ykxb；截距式：一一1；abyy1xx1-一-两点式

15、：LLL；一般式：AxByC0,（A,B不全为0）。y2yi又2xi2 .求解线性规划问题的步骤是：（1）列约束条件；（2）作可行域，写目标函数；（3）确定目标函数的最优解。3 .两条直线的位置关系：直线方程平行的充要条件垂直的充要条件备注11 :yk1xbik1k2,b1b2k1k21l1,l2有斜率12 :yk2xb2已知l1:A1x+B1y+C1=0,l2：A2x+B2y+C2=0,则I1L2的充要条件是A1A2+B1B2=0。4.几个公式设A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x3,y3）,/ABC的重心G:（x1x2x3_y_y2y3）；3'3点P（x0,yO）至1直线Ax

16、+By+C=0的距离：d1Ax0By0cl;A2B2两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0的距离是dIC1C2I；A2B25 .圆的方程：标准方程：（xa）2（yb）2r2；x2y2r2。22_22一般万程：xyDxEyF0(DE4F0)注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆A=CO且B=0且D2+E24AF>0;6 .圆的方程的求法：待定系数法；几何法。7 .点、直线与圆的位置关系：（主要掌握几何法）点与圆的位置关系：（d表示点到圆心的距离）dR点在圆上；dR点在圆内；dR点在圆外。直线与圆的位置关系：（d表示圆心到直线的距离）dR相切；dR相交；dR相离。

17、圆与圆的位置关系：（d表示圆心'距，R,r表示两圆半径，且Rr）dRr相离；dRr外切；RrdRr相交；dRr内切；0dRr内含。8、直线与圆相交所得弦长|AB|2r2d2第六部分圆锥曲线1 .定义：椭圆：|MF1|MF2|2a,（2a|F1F2|）;双曲线：|MF1|MF2|2a,（2a|FF2|）；抛物线:|MF|=d2 .结论焦半径：椭圆：|PFaex0,|PF2aex0（e为离心率）；（左"+右-“'）；抛物线：PFx02弦长公式：ab,1k2x2整.（1k2）（x1x2）24x1x22汪：抛物线：AB=x1+x2+p；通径（最短弦）：椭圆、双曲线：也；抛物线

18、：2p。a22.过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mxny1（m,n同时大于0时表示椭圆，mn0时表示双曲线）；当点P与椭圆短轴顶点重合时F1PF2最大；双曲线中的结论：2222双曲线上_y_1（a>0,b>0）的渐近线：土_L0;2.22.2abab22共渐进线y°x的双曲线标准方程为工工（为参数，W0；aa2b2双曲线为等轴双曲线eJ2渐近线为yx渐近线互相垂直；焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。3 .直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法）：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于x”还是关于黄的一元二次方程？直线

19、斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（代点相减法）：处理弦中点问题步骤如下：设点A（x1,y1）、B（x2,y2）；作差得kAB-；解决问题。xx24 .求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相关点法或转移法）；待定系数法；（5）参数法；（6）交轨法。第七部分平面向量设a=(xi,yi),b=(x2,y2),则：a/b(b加)a=b(R)xiy2x2yi=0；aXb(a>b礼)ab=0x1x2+yiy2=0ab=|a|b|cos<a,b>=x2+yiy2；注：|a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影

20、；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;ab的几何意义：ab等于|a|与|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘积。定义法（利用AP,GP的定义）；累加法（an1一a累乘法（一cn型）；构造法（an1kanancn型)；公式法：JS1(n=1)an=-，一一SnSn-1(n>2)b型)；abcos<a,b>=；|a|b|间接法（例如：an1an4anan111anan14）；（理科）数学归纳法。uuruuinuuu三点共线的充要条件：P,A,B三点共线OPxOAyOB且xy1;uuuuuuuuruuur(理科)P,A,B,C四点共面OP

21、xOAyOBzOC,且xyz1。第八部分数列1.定义：等差数列anan1and(d为常数)2anan1an1(n2,nN*)4 .前n项和的求法：分组求和法；裂项法；错位相减法。5 .等差数列前n项和最值的求法：an0或an0；利用二次函数的图象与性质。an10an10第九部分不等式均值不等式:ab-2anknbsnAnBn;b2注意：一正二定三相等；变形,等比数列an咄q(q0)an2an-1a-(n2,nN)b)22.2ab22.绝对值不等式：|a|b|ab|a|b|3.不等式的性质:等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dn1an“q前n项和n(a1an)n(n1)dSnnad221

22、.q1时，Snna1；2 .q1时，Sna1(1q)1qaanq1q性质Dan=am+(nm)d,an=amqn-m；m+n=p+q时am+an=ap+aqm+n=p+q时aman=apaqDSk,S2kSk,S3kS2k,成APSk,S2kSk,S3kS2k,成GPak,akm,ak2m,成AP,d'mdak,akm,ak2m,成GP,q'qm2.等差、等比数列性质3.数列通项的求法:abba；ab,bcacbd；ab,c0acbd；ab,c0acbc；ab,cdacbc；ab0,cd0acbd;ab0anbn0(nN);(6)ab0五nb(nN)第十部分复数1.概念：(l)

23、z=a+biCRb=0(a,bCR)z=zz2>&出2=2+旧是虚数bw0(a,bR);闭2=2+旧是纯虚数a=0且bw0(a,氐R)z+z=0(zw。z2<0;a+bi=c+dia=c且c=d(a,b,c,d£R);2.复数的代数形式及其运算：设zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则：(1)z1±z2=(a+b)(c+d)i;zi.z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i;zi包2(abi)(cdi)(cdi)(cdi)acbd""272cdbcadiicd(z2W0)；3.几个重要的结论:/

24、八 1 i 1 i i;i；Xn) -Xi ；n i 1ZiZ22忆题22(2Z2);(2)zz|z2麻；(1i)2i性质：t=4；i4n1,i4n1i,i4n21,i4n3i；i4ni4n1i42i4n3o；4.模的性质：|Z1Z2|Z1|Z2|；|亘|11-1；|Zn|Z1noZ2|Z2|第十一部分概率1 .事件的关系：事件B包含事件A:事件A发生，事件B一定发生，记作AB;事件A与事件B相等：若AB,BA,则事件A与B相等，记作A=B;并(和)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生或B发生，记作AB(或AB);并(积)事件：某事件发生，当且仅当事件A发生且B发生，记作AB(或AB)注：每个

25、部分所抽取的样本个体数=该部分个体数N2 .总体特征数的估计：样本平均数x-(x1x2n样本方差S2(X1X)2(X2X)2(XnX)2-n(Xi天)2；nni1样本标准差SH(X1X)2(X2X)2(XnX)2=4-n(X为2；nni1n_(Xix)(yiy)3.相关系数(判定两个变量线性相关性)：r,i1nX)2(yiy)2i1(6 )对立事件： A B为不可能事件，A B为必然事件，则 A与B互为对立事件。2.概率公式：互斥事件(有一个发生)概率公式： P(A+B尸P(A)+P(B);量的线性相关性越强；|r|接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。4.回归分析中回归效果的判定:

26、古典概型:P(A)A包含的基本事件的个数基本事件的总数总偏差平方和:n(yi1y)2残差:ei yi yi ；残差平方和:n(yi yi)2 ；1小口 L大旭丽构成事件A的区域长度(面积或体 积等)几何概型： P(A) -()试验的全部结果构成的区域长度(面积或体积等)第十二部分统计与统计案例1.抽样方法简单随机抽样：一般地，设一个总体的个数为N,通过逐个不放回的方法从中抽取一个容量为的样本，且每个个体被抽到的机会相等，就称这种抽样为简单随机抽样。注：每个个体被抽到的概率为;N常用的简单随机抽样方法有：抽签法；随机数法。系统抽样：当总体个数较多时，可将总体均衡的分成几个部分，然后按照预先制定的

27、规则，从每一个部分抽取一个个体，得到所需样本，这种抽样方法叫系统抽样。注：步骤：编号；分段；在第一段采用简单随机抽样方法确定其时个体编号l ;按预先制定的规则抽取样本。分层抽样：当已知总体有差异比较明显的几部分组成时，为使样本更充分的反映总体的情况，将 总体分成几部分，然后按照各部分占总体的比例进行抽样，这种抽样叫分层抽样。回归平方和:n(yii 1y)2n(yi yi)2;相关指数R2i 1(yiy。2i 1 on2(yi yi) i 1注：R2得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好;R2越接近于1,则回归效果越好。5.独立性检验(分类变量关系)：随机变量K2越大，说明两个分类变量

28、，关系越强，反之，越弱。第十三部分算法初步1.程序框图：图形符号：终端框(起止况)；/ 输入、输出框;事件A与事件B互斥：若AB为不可能事件(AB),则事件A与互斥;注：r>0时，变量x,y正相关；r<0时，变量x,y负相关；|r|越接近于1,两个变处理框（执行框）；判断框；且（and）:命题形式 p q;或（or）:命题形式 p q;非（not）:命题形式p .程序框图分类：顺序结构：/输:n /i=2条件结构：.r=0?循环结构：卜求n除以i的余数4,全称量词与存在量词注：循环结构分为：I2.基本算法语句:/n不是质素/ / n是质野.当型（while型）n ,直到型（unti

29、l型）先判断条件,是 再执行循环体；i=i+1先执行一次循环体，再判断条件。输入语句：Input ”提示内容”；变量;输出语句：|PRINT “提示内容”；表达式赋值语句：条件语句：变量=表达式IF条件THEN语句体END IFIF 条件 THE语句体1ELSE语句体2END IF循环语句：当型:直到型：WHILE条彳循环体WENDDO循环体LOOP UNTIL 条件第十四部分常用逻辑用语与推理证明1 .四种命题: 原命题：若 否命题：若p则q；p则 q；逆命题：若q则p；逆否命题：若q则 ppqp qp qp真真1真真假真假假真假假真假r真真假假假假真全称量词-所有的"、任意一个”

30、等，用 表示;全称命题p：xM , p（x）；全称命题p的否定p：xM ,存在量词 存在一个”、至少有一个”等，用 表示；特称命题p：xM, p（x）；特称命题p的否定p：xM ,第十五部分推理与证明1.推理：合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实，经过观察、分析、比较、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。p（x）。p（x）;联想，在进行归纳、归纳推理：由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。类比推理：由两类对象具有类似和其中一类

31、对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理，简称类比。注：类比推理是特殊到特殊的推理。演绎推理：从一般的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。注：演绎推理是由一般到特殊的推理。三段论”是演绎推理的一般模式，包括：大前提 已知的一般结论；小前提所研究的特殊情况；结 论根据一般原理，对特殊情况得出的判断。二.证明L直接证明综合法一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由 因导果法。分析法一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，

32、把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法。注：原命题与逆否命题等价；逆命题与否命题等价。2 .充要条件的判断：（1）定义法-正、反方向推理；（2）利用集合间的包含关系：例如：若AB,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件；3 .逻辑连接词：4 .间接证明-反证法一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种证明方法叫反证法。附：数学归纳法（仅限理科）一般的证明一个与正整数n有关的一个命题，可按以下步骤进行：期望：EX = Xipi + X2p2 + + x)pn +证明当n取第一个值