立体几何问题的模型化处理.

1、数学随笔中学数学文摘2006 年第 4 期中学立体几何的的基础是对空间点、线、面、体的各种位置关的讨论和研究.高考中也常以棱柱、棱锥等简单的几何体为载体，考查空间中的线线关系、线面关系、面面关系及其相关量的计算与证明.然而，在教学中，如何使学生的空间想象能力有进一步的提高，更上一个台阶， 是摆在广大数学教师面前的一大难题。笔者根据自己的教学实践摸索出“构造模型法”帮助学生突破思维定势，寻找解题的突破口，提高解题能力.常见的模型有正方体模型、长方体模型、 “三节棍”模型等.1 构造正方体模型解题当问题没有给出具体的图形，只是给出了相关点、线、面的关系（如平行、垂直等），要判断某些元素的位置关系时

2、、通常可考虑构造正方体模型，把这些线、 面变成正方体中的线段或某一个面，进而加以解决 .例 1 对于直线 m, n 和平面，下面问题中的真命题是A ，如果 m,n， m,n 是异面直线，那么n /B ，如果 m, n， m, n 是异面直线，那么n 与相交C，如果 m， n /， m, n 共面，那么 m / nD ，如果 m /,n /， m, n 共面，那么 m / nC1B1分析： 构造正方体，如图 1，D1A1对于 A，设为平面 ABCD ， m 为 AB ， n 为C1C 则 n，A 错.CB对于 B，设为平面 ABCD ， m 为 AB ， n 为D图 1AA1 D1 ，则 n /

3、，B 错.对于 D，设为平面 ABCD ， m 为 A1B1 ， n 为 B1C1 ，此时 m 与 n 相交于 B1 ， D 错 .于是选 C。事实上，这个不难验证 .例 2 由空间上一点 O 出发的四条射线，两两所成的角都相等，求这个角.解：先构造一个正方体，如图2，正方体的中心O 到四个顶点 A 、B 、C、D 连线所夹的AOD 就是所求的角 .A角相等，则D3 a ，A1设正方体的棱长为 a ，则 OAODO2B9C图 2数学随笔中学数学文摘2006 年第 4 期AD2a,cosOA2OD 2AD 21AOD2OA OD3则所求的角为arccos1.3评注： 这个例子是把一个正四面体内接

4、于一个正方体中，因此，在立体几何中一般能用“正四面体”解决的问题都可用“正方体”模型解决.正四面体的体积是它外接“正方体”体积的 1 ，并可由这个模型推导出正四面体的体积V3例 3 已知平面及以下三个几何体，（ 1）长、宽、高均不相等的长方体；（ 2）底面为平行四边形，但不是菱和矩形的四棱锥；（ 3）正四面体问这三个几何体在平面上的射影可以为正方形吗？请加以说明 .2 a3 （ a 为四面体的棱长）12D 1A1FB1DEAB图 3.C1C分析： 对于（ 1），只要将长方体底面绕较短的边旋转抬起到一定高度可使其在底面（即水平面 ）上的射影可变为正方形 .对于（ 2）与（ 3）的判断，须借助构造

5、正方体方能判断.D1C1A对于（ 2），如图 3，在正方体 ABCDA1 B1C1D1 中，分别1B1BB1 、 DD1 上取 E、 F，使得 BE11在3BB1, D1 F3 D1D ，DC则四棱锥 A1 AEC1F 符合条件 .BA对于（ 3），把正四面体 A1 BC1D 放在正方体 ABCD图 4A1 B1C1 D1 中，如图 4，即可得其在底面上的射影为正方形 .评注： 对于（ 2）、（ 3）如果没有一个正方体作为载体，很难想象它们的射影可以得出一个正方形 .例 4 已知 PA 平面 ABC， ACB 90，PA ACBC ，求 AB 与 PC 所成的角 .解： 构造一个正方体，如图5

6、，PC 与 AB 两异面直线所成的角为DB 与 AB 所成的角，ABD 是等边三角形，得PC与 AB 成60角.P而DB1评注： 此题为巧建“正方体”模型快速求解两10ACB图 5数学随笔中学数学文摘2006 年第 4 期异面直线所成的角，也可用正方体模型来快速判定两直线的位置关系，如异面、平行、相交.2 构造长方体模型解题在某些类似的问题中，当用正方体模型解决不了时，可考虑构造长方体模型.例 5过球 O 的球面上一点 P 作球的两两垂直的三条弦PA、 PB、 PC，且 PA3 ，PB5， PC15 ，求球 O 的半径 .分析： 构造长方体，以P 为顶点的三条棱PA、PB、PC 两两垂直，球O

7、 就是这个长方体的外接球，对角线PD 就是球 O 的直径，设半径等于R，则有 2RPA2PB2PC 2=23，得R23.2评注： 从同一点出发的三条棱两两互相垂直，其长度分别为a,b,c ，就可以构造长方体模型，外接球的直径就是对角线的长，所以2Ra2b2c2 .例 6 已知四面体的四个面都是边长分是5、 6、 7 的全等三角形，求这个四面体的体积.分析： 若按常规思路，这个问题的解答很繁.ABCD A1B1C1D1DC通过分析已知条件，构造长方体，如A图 6，其中四面体D1 AB1C 符合条件。令AC=5 ， B1C6 ，BAB1 7 ，由勾股定理得AB 219, BC 26, AA1230

8、 ，D 1C1得 V四面体1V长方体1196 302 95.A1B33图 61评注： 若四面体是对棱相等的四面体，则它外接一个长方体，并可把它推广：其中四面体的体积是外接长方体体积的1.3例 5 是全日制普通高中教科书数学第二册（下A）第 73 页例2 的改编题，该题是2003 年全国高考理科第12 题和 2005 年辽宁省高考题理科17 题中第 3 小题的原形题 .3 构造“三节棍”模型解题A全日制普通高中教科书（实验修订本必修）第二册（下 B）第 80 页复习E参考题九第 2 题给出了三条棱 AB 、 BC 、 CD ，这是一个很有用的几何BC11图 7FD数学随笔中学数学文摘2006 年

9、第 4 期模型，经研究，这个四面体具有下面两个性质：（1） CD平面 ABC ， AB平面 BCD ；（ 2）相邻两节所在的三角形中，第三边上的垂线恰好是该边与另一节所在平面的垂线（即BE 平面ACD ， CF平面 ABC ）.此四面体的三条两两互相垂直的棱，如同一条三节棍，因此，我把它称为“三节棍”模型.利用此模型，可解决棱柱或棱锥中的线线、线面的垂直问题，应用十分广泛.例 7 如图 8，在三棱锥ABCD 中， AB 、 BC、ACD 两两垂直 .F（ 1）由该棱锥所有相邻的两个面组成的二面角中，E哪些是直二面角？BD（ 2）若 AD 与平面 BCD 成 45， AD 与平面 ABC所成角为

10、 30 ，求二面角 B ADC 的余弦值 .图 8C分析：（1）可由找三棱锥各个面的垂线入手.AB 、 BC、CD 两两垂直成“三节棍”模型，得 AB平面 BCD ，又 AB 平面 ABD ，得平面 ABD平面 BCD ，且面 ABC面 BCD.同理， A BD C,ABCD,D ACB 等都是直二面角 .（ 2）由 AB平面 BCD ，得ADB 为 AD 与平面 BCD 所成的角，于是 ADB45.同理，DAC 30 ，作 BEAC 于点 E，作 BFAD 于点 F，连结 EF，可得 BE面ACD.因 BFADEF AD ，得BFE 是二面角 BADC 的平面角 .又 EFAFtan 303

11、AF ，BFAFtan(9045) AF.3故 cosBFEEF33BF，即二面角 BAD C 的余弦值为.33P例 8 如图 9，在四棱锥 P ABCD 中，底面ABCD 为矩形，侧棱 PA底面 ABCD ， AB3 ，ENCD12AFB图 9数学随笔中学数学文摘2006 年第 4 期BC=1 ， PA=2 ，E 为 PD 的中点 .（ 1）求直线AC 与 PB 所成角的余弦值；（ 2）在侧面PAB 内找一点N ，使 NE面PAC，并求出点N 到 AB 和 AP 的距离 .分析：（ 1）略；（ 2）因 PAAD ， ADDC ，即 PA、 AD 、 DC 两两垂直 .故 PA、AD 、 DC 构成了一个三节棍模型.过 D 作 AC 的垂线 DF 交 AB 于 F，由性质（ 2）DF面 PAC，且知ADF，连结6PF，则 N 为 PF 的中点即为所求的点.因 EN/DF ，而 DF面 PAC，得 EN面 PAC.此时，N 到AB 的距离为1AF3.26评注： 这是 2005 年湖北省高考理科第20 题，第（ 2）问中，要在平面PAB