立体几何(一).

1、立体几何（一）立体几何在学习的过程中是在锻炼人的空间想象能力，是以公理、定理、定义为依据定型的来研究图形（点、线、面）之间的位置关系。研究的过程是一种转化的过程，是利用公理、定理、定义把空间之间的位置关系转化为平面之间的位置关系，从而利用平面几何的知识来解决问题。重要的是：空间平面。一、线面的位置关系1四个公理 ：（ 1）公理 l：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。作用：证明直线在平面内。（ 2）公理 2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。作用：证明点在直线上。（ 3）公理 3：经过不在同一

2、条直线上三点，有且只有一个平面。（确定一个平面）作用：如何确定一个平面。推论 1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。推论 2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。推论 3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。（ 4）公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。2线面的位置关系：（ 1）直线与直线的位置关系：（ 2）直线与平面的位置关系：（ 3）平面与平面的位置关系：对于定理，首先要记忆准确，其次要明确它的作用，即用此定理能够解决什么问题。例 1已知：三条直线两两相交，有三个交点，求证：这三条直线共面。证明：如图， ab=A，直线 a，b 确定一个平面bc=B， Bb， B，同理

3、， C直线 BC（公理一），即： c，直线 a，b， c 共面于平面。，（公理三的推论），例 2已知： ABC 的三条边的延长线与平面交于P、Q、 R 三点，求证： P、 Q、 R 三点共线。证明：如图，直线BA 的延长线与平面交于P 点，点 P且 P面 ABC ，点 P 是平面与平面 ABC 的公共点，同理点 Q、R 也是平面与平面 ABC 的公共点，P、Q、 R 三点共线于平面与平面 ABC 的公共直线。二、有关线面平行问题1直线与直线平行：（ 1）平行于同一条直线的两条直线平行；（ 2）如果一条直线与一个平面平行， 经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线与交线平行；（ 3）如果两

4、条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行；（ 4）如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行；2直线与平面平行：（ 1）如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；（ 2）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面；3平面与平面平行：（ 1）如果一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，那么这两个平面平行；（2）如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。在平行的定义与定理中体现了新、旧知识之间的联系，线线平行 线面平行 面面平行，我们在解决问题时也应该遵循这个思路。例若三个平面两两相交有三条交线，则这三条交线平行或共点。

5、证明：如图， a， =b，直线 a， b 共面于平面，直线 a，b 的位置关系为平行或相交，（ 1）当 ab 时，又=c， a c，这三条交线平行；（ 2）当 ab=O时，Oa，=a， O，Ob， =b， O，点O 在平面，的公共点，=c，点O 在直线c 上，这三条交线共点。三、有关线面垂直问题1直线与直线垂直：（ 1）如果两条平行线中的一条垂直于第三条直线， 那么另一条直线也垂直于第三条直线；（ 2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于平面内的所有直线；（ 3）三垂线定理： 如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直；三垂线定理的逆定理：

6、如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么它也与这条斜线在这个平面内的射影垂直；2直线与平面垂直：（ 1）如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 那么这条直线与这个平面垂直；（ 2）如果两条平行线中的一条垂直于一个平面， 那么另一条也垂直于这个平面；（ 3）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个；（ 4）两个平面垂直，如果一个平面内的一条直线垂直于交线，那么这条直线垂直于另一个平面；3平面与平面垂直：（ 1）如果两个平面相交所成的二面角为直二面角，那么么这两个平面垂直；（ 2）如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直；注意：垂直不是位置关系中的

7、一种，它只是相交中的一种特殊情况，垂直中最重要的是线线垂直，因此三垂线定理及其逆定理是我们解决问题中最常用的定理，它还应用于成角与距离问题。例已知： ABCD 为矩形， PA底面 ABCD ，M 、 N 分别为 PC、 AB 的中点，求证： MN AB 。证法一：连接AC，取 AC 中点 O，连接 MO、NO，M 、N 分别为 PC、AB 的中点， MO PA， NOBC，PA底面 ABCD ， MO底面 ABCD ，NO 为 MN 在平面 ABCD 上的射影，ABCD 为矩形， BCAB ， NOAB ，MN AB 。证法二：连接PC、MA 、 MB ， PA底面 ABCD ，BCAB ，

8、PBBC， PBC 为直角三角形，同理， PAC 也为直角三角形， MA=MB ， N 为 AB 的中点， MN AB 。证法三：（利用向量的方法）（BCAB ，）， MN AB 。四、有关线面成角问题1异面直线所成的角：经过空间任意一点，分别引两条异面直线a、 b 的平行线、，、所成的锐角（或直角）叫做异面直线a、b 所成的角。（ 0° 90）°2直线与平面所成的角：（ 1）平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角，叫做斜线与平面所成的角；（ 2）当线面垂直时，垂线与平面所成的角为直角；（ 3）线面平行或线在面内，规定线面角为零角。直线与平面所成的角：0°。90&

9、#176;3平面与平面所成的角：（ 1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。（ 2）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。（0° ）180°成角问题再次体现的转化，面面角（二面角）、线面角、异面直线所成的角都要通过转化的思想，转化成为线线角（相交直线出现的角），从而在三角形（经常是直角三角形）中解决问题。例已知：四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形， AB DC， DAB=90° ，PA底面 ABCD ，且 PA=AD=DC=AB=1 ，M 是 PB 的中点。（

10、）证明：面PAD 面 PCD；（）求 AC 与 PB 所成的角；（）求面 AMC 与面 BMC 所成二面角的大小。证法一：（）证明： PA面 ABCD ，CDAD ，由三垂线定理得：CDPD。因而， CD 与面 PAD 内两条相交直线 AD ，PD 都垂直，CD面 PAD ，又 CD 面 PCD，面 PAD 面 PCD。（）解：过点B 作 BE CA，且 BE=CA ，则 PBE 是AC与PB 所成的角。连结 AE ，可知 AC=CB=BE=AE=所以四边形 ACBE 为正方形。由，又PA面AB=2 ，ABCD 得 PEB=90°在 RtPEB 中BE=，PB=， AC 与 PB 所

11、成的角为。（）解：作AN CM ，垂足为 N ，连结 BN 。在 RtPAB 中， AM=MB ，又 AC=CB ， AMC BMC ， BN CM ，故 ANB 为所求二面角的平面角， CBAC ，由三垂线定理，得 CB PC，在 RtPCB 中， CM=MB ，所以 CM=AM ，在等腰三角形AMC 中， AB=2 ，故所求的二面角为。方法二：因为 PAPD，PAAB ，AD AB ，以 A 为坐标原点 AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系则各点坐标为A(0,0,0)，B(0,2,0)，C(1,1,0)，D(1,0,0)，P(0,0,1)，M（0，1，）。（）证明：因，故，所以 AP

12、DC，由题设知 AD DC，且 AP 与 AD 是平面 PAD 内的两条相交直线，由此得 DC面 PAD。又 DC 在面 PCD 上，故面 PAD 面 PCD。（）解：因，故，所以。（）解：在MC 上取一点 N(x,y,z) ，则存在，使，要使 AN MC ，只需，即，解得，可知当时， N 点坐标为，能使。此时，有由，得 AN MC ，BN MC ，所以 ANB 为所求二面角的平面角。，。，故所求的二面角为。五有关线面距离问题1点与点的距离：直线段的长；2点与直线的距离：点与垂足间的距离；3点与平面的距离：垂线段的长；4直线与直线的距离： （1）平行：一直线上任意一点到另一直线的距离； （2）

13、异面：公垂线段的长；5直线与平面的距离：直线与平面平行时，直线上任意一点到平面的距离；6平面与平面的距离：平面上任意一点到平面的距离；距离问题最重要的是点、面距离，它可以通过找到垂足，利用点点距求出；更常用的是利用等积（体积）法求出。其他的距离（线线、线面、面面）都可以通过转化的思想转化为点面距，转化的前提要证明平行的存在。例如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEC1F 所截面而得到的，其中 AB=4 ，BC=2，CC1=3，BE=1。（）求 BF 的长；（）求点 C 到平面 AEC 1F 的距离。解法 1：（）过 E 作 EHBC 交 CC1于 H ，则 CH=BE=1 ， EHAD ，且 EH=AD ，又AF EC111， FAD= C EH， RtADF RtEHC ，DF=C1，。H=2（）延长 C1E 与 CB 交于 G，连 AG ，则平面 AEC1F 与平面 ABCD 相交于AG，过 C 作 CM AG ，垂足为 M，连 C1M ，由三垂线定理可知AG C1M ，由于 AG面 C1MC ，且 AG 面 AEC 1F，所以平面 AEC1F面 C1MC。在 Rt C1CM 中，作 CQMC 1，垂足为 Q，则 CQ 的长即为 C 到平面 AEC 1F的距离，由可得， BG=1 ，从而，由 GAB= MCG ，得，。解法 2：（）建立如图