正态总体参数的假设检验

1、3.2 正态总体参数正态总体参数 的假设检验的假设检验一、均值的检验一、均值的检验二、方差的检验二、方差的检验设总体设总体),(2 NX关于参数关于参数2, 检验有检验有002:,)1 ( H检验检验已知已知方差方差002:,)2( H检检验验未未知知方方差差2020:,)3( H检检验验已已知知均均值值2020:,)4( H检检验验未未知知均均值值):(:,)5(00002 HH或或检检验验已已知知方方差差):(:,)6(00002 HH或或检检验验未未知知方方差差):(:,)7(20202020 HH或或检检验验已已知知均均值值):(:,)8(20202020 HH或或检检验验未未知知均均

2、值值一、一个正态总体一、一个正态总体0100202:,. 1 HH检检验验已已知知方方差差(一一)、均值检验、均值检验选取检验统计量：选取检验统计量：nXU00 )10(，N拒绝域拒绝域),(210 uUxxWnH 0100202:,. 2 HH检检验验已已知知方方差差选取检验统计量：选取检验统计量：nXU00 )10(，N拒绝域拒绝域),(10 uUxxWnH 0100202:,. 3 HH检检验验已已知知方方差差选取检验统计量：选取检验统计量：nXU00 )10(，N拒绝域拒绝域),(10 uUxxWnH (一一)、均值检验、均值检验0100202:,. 4 HH检检验验未未知知方方差差选

3、取检验统计量：选取检验统计量：nsXT0 )1( nt拒绝域拒绝域),()1(210 nnHtTxxW 0100202:,. 5 HH检检验验未未知知方方差差选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域),()1(10 nnHtTxxW nsXT0 )1( nt0100202:,. 6 HH检检验验未未知知方方差差选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域),()1(10 nnHtTxxW nsXT0 )1( nt0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知已知 )(2000未知未知 nXZ/0 nSXt/0 000 000 2/ zzzzzz )1()1()1(2/ nttntt

4、ntt 2 1(二二)、方差检验、方差检验202120200:,. 7 HH检检验验已已知知均均值值选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域)(),(221210nxxWnH niiX120202)(1 2)(n )(),(2221nxxn 202120200:,. 8 HH检检验验已已知知均均值值选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域)(),(21210nxxWnH niiX120202)(1 2)(n 202120200:,. 9 HH检检验验已已知知均均值值选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域)(),(2210nxxWnH niiX120202)(1 2)(n 2021

5、20200:,.10 HH检检验验未未知知均均值值选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域) 1(),(221210 nxxWnH 2022)1( sn 2)1( n )1(),(2221 nxxn 202120200:,.11 HH检检验验未未知知均均值值选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域)1(),(2210 nxxWnH 2022)1( sn 2)1( n 202120200:,.12 HH检检验验未未知知均均值值选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域)1(),(21210 nxxWnH 2022)1( sn 2)1( n 0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(20

6、2202202未知未知 2022)1( Sn 202202202 )1()1()1()1(22/1222/221222 nnnn 或或4)(202202202已知已知 2022 nS 202202202 )()()()(22/1222/221222nnnn 或或3解解500:500: ,)111010202 HH检验检验未知未知方差方差选取检验统计量：选取检验统计量：nsXT0 )1( nt拒绝域拒绝域3060. 2),(110 TxxWnH9 n )8(025. 0t3060. 218713. 0 t接受接受H10, 认为包装的平均重量合乎要求认为包装的平均重量合乎要求.例例 设某包装食盐的

7、机器正常工作时每袋食盐的标准重量设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为为500克，标准差不得超过克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取的食盐中随机抽取9袋，测得其净重如下袋，测得其净重如下（单位：克）（单位：克） 497 , 507 , 510 , 475 , 484 , 488 , 524 , 491 , 515 .问此时包装机工作是否正常问此时包装机工作是否正常?)05. 0( 解解222122022010:10:, ).2 HH检检验验未未知知均均值值选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域507.15)8(),(205. 021

8、0 nHxxW2022)1( sn 2)1( n 5 .202 拒绝拒绝H20, 认为包装的重量方差超出要求认为包装的重量方差超出要求.综合之：平均重量没有系统误差，但方差太大，此时包装综合之：平均重量没有系统误差，但方差太大，此时包装机工作不太正常。机工作不太正常。例例 设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为为500克，标准差不得超过克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取的食盐中随机抽取9袋，测得其净重如下袋，测得其净重如下（单位：克）（单位：克） 497 , 507 , 510 , 475

9、, 484 , 488 , 524 , 491 , 515 .问此时包装机工作是否正常问此时包装机工作是否正常?)05. 0( 解解222122022010:10:,500 ).2 HH检检验验均均值值选取检验统计量：选取检验统计量：拒绝域拒绝域)(),(21210nxxWnH niiX120202)(1 2)(n 例例 设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量设某包装食盐的机器正常工作时每袋食盐的标准重量为为500克，标准差不得超过克，标准差不得超过10克，某天开工后从包装好克，某天开工后从包装好的食盐中随机抽取的食盐中随机抽取9袋，测得其净重如下袋，测得其净重如下（单位：克）（单位：

10、克） 497 , 507 , 510 , 475 , 484 , 488 , 524 , 491 , 515 .问此时包装机工作是否正常问此时包装机工作是否正常?)05. 0( 例例2 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均长度为平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:7 .102 .107 .105 .108 .106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的长度服从正态

11、分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变且标准差没有变化化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因因为为 , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验验假假设设 15/15. 05 .1048.10/ 0 nx 则则,516. 0 查表得查表得,645. 105. 0 z 1.645,0.516/ 05. 00 znx 于是于是 . , 0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05. 0 如果在例如果在例2 2中只中只假定切割的长度服从正态分假定切割的长度服从正态分布布, 问该

12、机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?)05. 0( 解解 , , ),( 22均均为为未未知知依依题题意意 NX , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验验假假设设,15 n,48.10 x,05. 0 ,237. 0 s 15/237. 05 .1048.10/0 nsxt ,327. 0 查表得查表得)14()1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0 t . , 0无无显显著著变变化化认认为为金金属属棒棒的的平平均均长长度度故故接接受受 H例例3 某种电子元件的寿命某种电子元件的寿命X(以小时计以小时计)服从正态分服

13、从正态分布布, 均为均为 未知未知. 现现测得测得16只元件的寿命如只元件的寿命如下下:170485260149250168362222264179379224212101280159问是否有理由认为元件的平均寿命大于问是否有理由认为元件的平均寿命大于225(小时小时)?2, 例例4解解 ,225:,225:100 HH依题意需检验假设依题意需检验假设 ,05. 0 取取,16 n, 5 .241 x,7259.98 s查表得查表得7531. 1)15(05. 0 t 6685. 0/0 nsxt .225 , 0小时小时大于大于认为元件的平均寿命不认为元件的平均寿命不故接受故接受 H三、两个

14、正态总体参数的假设检验三、两个正态总体参数的假设检验(一一)、均值差的检验、均值差的检验(二二)、方差比的检验、方差比的检验 4)(22221212121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz32 1表表3.17),(21222122212221未知)(0

15、00成对数据DDDnSDtD/0000DDD) 1() 1() 1(2/nttnttntt0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知2022) 1(Sn2221SSF 202202202222122212221) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFFnnFF或65例例5 在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法在平炉上进行一项试验以确定改变操作方法的建议是否会增加钢的得率的建议是否会增加钢的得率, 试验是在同一只平试验是在同一只平炉上进行

16、的炉上进行的. 每炼一炉钢时除操作方法外每炼一炉钢时除操作方法外, 其它条其它条件都尽可能做到相同件都尽可能做到相同.先采用标准方法炼一炉先采用标准方法炼一炉, 然然后用建议的新方法炼一炉后用建议的新方法炼一炉, 以后交替进行以后交替进行, 各炼了各炼了10炉炉, 其得率分别为其得率分别为(1)标准方法标准方法: 78.1, 72.4, 76.2, 74.3, 77.4, 78.4, 76.0, 75.5, 76.7, 77.3; (2)新方法新方法:79.1, 81.0, 77.3, 79.1, 80.0, 78.1, 79.1, 77.3, 80.2, 82.1; 设这两个样本相互独立设这

17、两个样本相互独立, 且分别来自正态总且分别来自正态总体体),( ),(2221 NN和和 ,221均为未知均为未知 问建议的新操作方法能否提高得率问建议的新操作方法能否提高得率? )05. 0( 取取解解 0. : 0, : 211210 HH需需要要检检验验假假设设分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本分别求出标准方法和新方法下的样本均值和样本方差方差:,101 n,23.76 x,325. 321 s,102 n,43.79 y,225. 222 s,775. 221010)110()110( 22212 sssw且且,7341. 1)18( 05. 0 t查查表表可可知知101101

18、 wsyxt因为因为,295. 4 , 0H所以拒绝所以拒绝即认为建议的新操作方法较原来的方法为优即认为建议的新操作方法较原来的方法为优.).2(21 nntt ,7341. 1)18(05. 0 t查表查表8.1知其拒绝域为知其拒绝域为例例6 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 1

19、9.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方差相等.解解 , ),(),( ,2221 NNYX和和分别服从正态分布分别服从正态分布和和两总体两总体依题意依题意 , 221均为未知均为未知 )05. 0( . : , : 211210 HH需需要要检检验验假假设设, 81 n,925.19 x,216. 021 s, 72 n,000.20 y,397. 022 s,547. 0278)17()

20、18( 22212 sssw且且,160. 2)13( 05. 0 t查查表表可可知知7181 wsyxt,160. 2265. 0 , 0H所以接受所以接受即甲即甲、乙两台机床加工的产品直径无显著差异乙两台机床加工的产品直径无显著差异. 三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验( t 检验检验 ) 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品, 或两种仪器或两种仪器, 两种方法两种方法等的差异等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试验我们常在相同的条件下作对比试验, 得到得到一批成对的观察值一批成对的观察值. 然后分析观察数据作出推断然后分析观察数据作出推断. 这这种方法常称为种方法常称为逐

21、对比较法逐对比较法.例例6 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种金属用来测量材料中某种金属的含量的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差异为鉴定它们的测量结果有无显著差异, 制备制备了了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均匀性等各不它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同相同), 现在分别用这两台机器对每一试块测量一次现在分别用这两台机器对每一试块测量一次, 得到得到9对观察值如下对观察值如下: 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?解解 本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出即对同一试块测出一对数据一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的因素引起的. 这也表明不能将光谱仪这也表明不能将